Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 34
Текст из файла (страница 34)
3.8,б), совпадает с исходной непрерывной системой (рис. 3.8.а). В настоящее время не представляется возможным дать некоторые единые рекомендации для ныбора шага дискретизации Л(, при котором можно пренебречь влиянием элемента запаздывания на величину погрешности моделирования. Это обусловлено как большим разнообразием нелинейных систем, так и недостаточной изученностью рассматриваемого вопроса, Опыт моделирования 222 замкнутых нелинейных,. систем радиоавтоматики (следящих координаторов), содержащих один нелинейный элемент с характеристикой нелинейности в виде дискриминационной кривой, показал, что влияние элемента запаздывания практически не ощущается при Аг(,Т410, где Тх — постоянная времени замкнутой следящей систе- Рис.
з.а. мы в линейном режиме (см. й 4.3). Это соотношение, по-вндимому, можно использовать для ориентировочного выбора шага дпскретизации и при моделировании других замкнутых нелинейных систем. Увеличения точности при заданном шаге дискретизации в системе с элементом задержки можно достичь, используя метод фирмы 1ВМ, основанный на сочетании метода корневых годографов с методом г-преобразования илн же метод квазплинеарнзацни. Примеры применения этих методов даны в (1091. 5. Моделирование инерционных нелинейных нефункциональных систем Моделирование на ЦВМ нелинейных систем 1У класса в общем случае может быть осуществлено с помощью стандартных алгоритмов численного интегрирования си' стем нелинейных дифференциальных уравнений, таких, как метод Рунге — Кутта, метод Адамса и др.
Метод Рунге — Кутта явлнется одним из наиболее известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Приведем наиболее распространенную фор- 223 мулировку этого метода (метод Рунге- — Кутта четвертого порядка). Пусть задана система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка Нк —,=[(1, х). (3.109) где х(1) — В-мерный вектор (вектор-функция).
Значения неизвестной вектор-функции х(1) в дискретных точках 1 =пМ по методу Рунге — Кутта вычисляются рекуррентно: х [п] = х [п — Ц + и (а, [п — Ц+ 2а, [п — 2]+ +2а [и — Ц+а [п — Ц), (3.110) где х[п]=х(пМ); а,[п]=М1(пМ, х[и]); а, [п] = М1' (пМ + М12, х [п] + а, [пЦ 2), а, [п] = Щ(пМ+ М]2, х [п] + а, [п]/2), а, [п] =М),(пМ+М, х [п]+ а, [п]).
Если нелинейная динамическая система описывается одним или несколькими дифференциальными уравнениями порядка выше первого, то для использования алгоритма (3.110) требуется свести уравнения высших порядков к системе (3.109) уравнений первого порядка. Такое преобразование, как известно [3], всегда возможно и ос шествляется достаточно просто.
)~ искретная аппроксимация по методу Рунге — Кутта применима, конечно, и для систем П и И1 классов, а также для линейных систем. Однако этот метод, как и другие стандартные методы численного интегрирования,прн той же точности по объему вычислений обычно менее эффективен, чем рассмотренные выше методы цифрового моделирования [109]; к тому же стандартные методы не обладают той физической наглядностью, какую имеют методы дискретной аппроксимации по принципу замены непрерывных систем дискретными системами.
~74 З.б. Моделирование типовых нелинейных преобразований сигналов и помех в радиосистемах Типовыми нелинейными операциями в радиосистемах являются операции модуляции, преобразования частоты (в том числе и умножения частоты) н демодуляции (детектирования). Лля физического осуществления этих операций используются, как известно, различные нелинейные управляемые элементы совместно с фильтрами. Одним,нз принципов моделирования на ЦВМ нелинейных систем, осуществляющих указанные операции, с целью получения алгоритмов преобразования сигналов и помех в этих системах является воспроизведение на ЦВМ нелинейных уравнений, описывающих динамику рассматриваемых систем. При этом в зависимости от обстоятельств конкретной задачи могут быть использованы те или иные ранее описанные общие методы моделирования нелинейных систем.
В связи с тем, что задача разработки моделирующих алгоритмов ао такому принципу ближе примыкает к вопросам математического обеспечения при использовании цифровых вычислительных машин для анализа нелинейных цепей, мы яе будем останавливаться иа подробностях ее решения. Рассмотрим моделирование на ЦВМ типовых нелинейных преобразований радиосигналов и радиопомех, основанное на функциональном принципе. 1. Модуляция Операции модуляции плодят в ыатсыагячсскяе моделя радяосягаалоя я радиопомех.
Поэтому аоглрояззедскяс па ЦВМ операцяй подуляцяк осуществляется, в сущцостм, пря рсалязацяв цяфровых моделей радяосягяалоз я радиопомех ($1.1). 2. Преобразование частоты Назяачсяясм операций преобразокаяяя частоты язляется нсяскажсцяый псрсяос спектра сягяала с одной средней частоты ез (пасущей) па другую срсдяюю частоту еяр (пропсжугочяую). С $уякцпональяой точки зрения такое преобразозкаяе, очевидно, сзодятся просто к запсяс в патсхатячссцой ыолсля сигнала с частотой ыз саяалон с частотой еяр.
Пря опясаяпя радиосистем по методу огябающяк эта заыспа эквпаалсвтяа тождественному прсобрэаоэааяю. Если требуется с помощью ЦВМ последовать более детальные нэповская э скгяалах, пропскодюцяе э коякрстаой схеме прсобразо- !6 — 160 226 натела частоты, найример нелинейные искажкени, появление донолнитсльяых гармоник и т и., то в этом случае нужно воспроизвести на г(ВМ цифровуго модель нелинейной динамической системы, каковой является данный преобразоватевь частоты, используя описанные выше методы цифрового моделирования. 3. Детектирование Рассмотрим теперь возможные способы моделирования нелинейных операций, осуществляемых над радиосигналами и помехами при различных видах детектирования, основанные на функциональном подходе и методе огибающих.
Пусть задан некоторый узкополосный процесс и(1) =Ке() (/)еьч'=-Ке(/(1) е " е~" (3.111) в виде последовательности дискретных значений Щп) его комплексной амплитуды (/(/) или же в виде последовательностей значений 1/г(л) и (/е(п) его квадратурных компонент (/т(1)=Ке()(/) и (/т(Г)=1гп()(1).
Требуетсн найти алгоритмы, которые позволяли бы по известному дискретному комплексному процессу Щп) получать,последовательности значений процессов (/(Г), цг (/), г/ сон~ (/), з!пр„(1), О(г) = — „/ три(г), выделяемых прн раз- личных видах идеального детектирования: амплитудного фазового и частотного. Такие алгоритмы легко предложить, используя из- вестные формулы, выражающие параметры колебании (3.111) (амплитуду (/(Г), фазу гр„(1), частоту 1л(1) и др.) через комплексную огибающую к) (1) и квадратурные составляющие (/т(/), 1/а(/), а имещю: (/() = ) () (1) ! =~'(/',(1)+(/',(1), р„(1) = агк () (1) = агс1й' — ' =~ и (1) М, о соз е„(1) =- соз агс1й',,' 1, -- ',, (3.112) //, (г) и, (/) 1 г/~ 1~) 1,/ г/~ (г)+р'-* 1/) мьп=йьпп — ' и.
(г[ и [г) у/ ие[г)+и,'[г) л и. [и и д1 и', [~1 — и, и) и', [г) и (г) и'рй+их[г) Подвергая формулы (3.112) дискретизации и заменяя прн этом интеграл суммой, а производные — их первыми разностями, получим искомые алгоритмы: И (п[ = Ю [' (и) + О, И щ, [и) = агс1~ й — "„-=ИЙ (а[+ р„(п — Ц, ~рИ= ° ' т (")=— и~ [и[ из[п[ * $Г и~ [п[ + и~ ~[и[ ~ и[ [п[ + (Я [и[ (3.113) 1 и, [ [ [и. [ [ — * [ — [1 — и* [ [ [и [ [ — ° [и — [[1 О (и[ — а и~ [и[ +уи ~[и[ 1 и,'[п[и,[п ц и,[п[и,[ ц й [.[+ и,' [.1 Следует сделать некоторые замечания к формулам (3.113).
Эти формулы являются простыни алгоритмами преобразования дискретных кнадратурных компонент узкополосного процесса в дискретные значения изменяющихся во времени параметров процесса, для выделения которых служат различные виды детекторов. Реальные детекторы реализуют преобразования (3.113) приближенно. Так, например, амплитудный детектор практически выделяет не саму огибающую и([), а некоторую функцию от нее. Эта функция для детектора на вакуумном диоде при большом сопротивлении нагрузки хорошо аппроксимируется выражением (27) А=[и 1,(и), где [з(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого .порядка.
Реальный ампчнтудный детектор обладает также ннершюнностью. Аналогичным образом отличаются от [б' Щ идеальных реальные фазовые и частотные детекторы. У реального частотного детектора нелинейная зависимость выходного эффекта от частоты входного сигнала имеет вид дискриминационной кривой. Реальные фазовые детекторы обычно выделяют фазу сигнала по модулю 2л или и (приведенная фаза) и обладают нслинейностью. Все априорно известные отличия реальных детекторов от идеальных в случае необходимости нетрудно учесть при цифровом моделировании, подвергнув идеальные параметры, получаемые по формулам (3.!13), нелинейному преобразованию в соответствии с нелинейной зависимостью выходного эффекта детектора от соответ-.
ствующего входного параметра. Для имитации инерционности можно использовать линейный фильтр с соответствующей постоянной времени. Достоинством алгоритмов, идеального детектирования и алгоритмов, полученных на основе алгоритмов идеального детектирования путем введения коррекции с учетом характеристик реальных детекторов, является возможность исключить из рассмотрения трудоемкие операции нелннейны: инерционных преобразований быстроосциллируюп1нх функций и оперировать лишь с медленно меняющимися квздратурнымн компонентами детектируемых колебаний. Алгоритмы формирования дискретной фазы н дискретной частоты (вторая и пятая формулы из (1.113)! можно уточнить, если использовать более точные формулы численного интегрирования и дифференцирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
