Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тогда . Дрполнйтельное упри(ение оценки величнны Ь' можно получить, если учесть следующее обстоятельство. Пусть Ьз = э~„/ае — отношениедасиерсии ошибки интерполяцпи входного сигнала к дисперсии самого сигнала. После прохождения процессов Ли(1) и и(Г) через заданную линейную систему отношение нх дисперсий будет равно искомой величине Лз. Спектр ошибки интерполяции входного сигнала обычно в несколько раз шире спектра самого сигнала, следовательно, у процесса Ли(1) доля дисперсии, приходящаяся на высокочастотные составляющие, больше чем у процесса и(1). При прохождении зтнх процессов через заданную систему (при условии, что она пропускает в основном низкие частоты) высокочастотные составляющие отфильтровываются (см.
рнс. 1.7), так что отношение дисперсии этих процессов уменьшается. Следовательно, в этих случаях ЛР.. ~ь о (3. И2) Таким образом, прн достаточно широких условиях опюсительная погреппюсть выходного сигнала Ь', возникающая в результате замены непрерывной,'системы дискретной системой, не превышает относительйой погрешности интерполяции входвго сигнала Ь' ,. Величина Ь~ ~может быть найдена по формулам, выведенным в 5 1.7, в,.частности',по', формулам (1;46). Рассмотрим теперь несколько иное использование приведенной здесь методики нахождения погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем.
Пусть в качестве моделируемой системы задана некоторая линегшая непрерывная следящая система с передаточной функцией К(р). Если и(1) и о(1) — входной ~ выходной сигналы системы соответственно, то ошибка слежения будет равна Лиа(1) =а(1) — п(1). Прн замене непрерывной следящей системы эквивалентной импульсной следящей системой ошибка слежения будет равна йи„(Г) =и(г) — о,(Х). Погрешность дискретной аппроксимации в этом случае можно оценить, сопоставляя дисперсии з „и ах ошибок 2 две (О и ли, (Г) при случайном стационарном входйом сигнале. ..1 й — 1ез 241 '$ Двсперсню ошибки ли,(») можно, очевидно, .вьюазить в ниде ~ало ~ (г~)! 1 К ()ш)! о Лля вычисления дисперсии ошибки Ли*(») можно воспользоваться формулой (1.42), если заменить,в ней Ке()го) произведением Ке()ш)К()го), т.
е. заменить передаточную функцию интерполнрующего фильтра передан»»» ла»»» Рис. ЗЛ». точной функцией приведенной непрерывной части. В этом легко убедиться, сравнивая рис. 3.1! и !.6, на которых показаны схемы формирования ошибок Ли Щ н Лие(») (на рис. 1.6 зто Ли(»)) соответственно.
Отношение искомых дисперсий будет равно а э еья Л яь о ~ ~6(ы) (1 — а» ))е К,Оы) К Ое)) + а» Ф(ы)~Х о ~а( ) 11 — К а )1 лы о и 1 К ()ы) К ()ге) )эг»ы (3.133) Величина Л наряду с величиной Ла может служить еще одной мерой погрешности дискретной аппроксимации непрерывных следящих систем. Пример 1. Рассмотрим применение полученных выше соотношений лля оценки погрешности цифрового интегрирования сташгонарного экспопенцналыю.коррелированного случайного процесса и(»). Корреляционная функция я энергетический спектр его, а также 242 тиергетичвшй спектр кда!увйгствующего дпсвретного случайкого процессе и<п) выражаютсп фар!пулами (1.47) . Величицу интеграла Т о ) и(!) б! (3.
134) в кожно ржсматризагь как величину сшмвза о(!) в точке 1=Т, маблюлпемого иа выходе мепрерывной линейной системы, импульсная переходная характеристика н передаточная функция которой имеют саотпетствепно вкд й (() ' ~ ' г( <)м) = е ! ч!х. (3 135) (1, йчь(~Т, Тз(пзыТГ2 (о, !<о, г >т, (.т;2)' Вычисление япгеграла (3334) по рпззичным формулам численного иптегрпровация с равцым шагом дискретизации соответствует, ккк лшко видеть, аамене данной непрерывной системы эквивалентной импульсной системой по схеме рис. 1.4 с различными типами интерполкрукицнх фильтров. В чжтпости, при использовании формулы прямоутолышков н формулы трапеций передаточные функции кягерполирующих, фильтров будут иметь внд, показанный в табл. 1.1 (Рй 1, 2, 3).
В результате дискретизации вычисленное значение о. ннт ала (1. 134) будет отличаться от его истинного значения о. 'А иведепных характержтпк достаточно, чтобы, подставив их в вырвжения ф3.129) .(3.1л!), найти соответствующие оценки погрешности цифрового интегрнровамня случайного процесса. Рассмотрим, в чжтности, случай, когда иятервал интегрирования Т в несколько раз больше времени корреляции процесса и(!). Это означает, что полоса пропусканяя системы с перелаточпой функцией (3 135) существенно меньше ширины спектра входного сигнала и(!) и тем более .меньше ширины спектра ошибки интерполяции этого сигнала ($1.7! рис. '1.7).
В таком случае согласно формулам (3.129). '(3331) дисперсия ошибки аяз)ропота интегрирования (дисперсия разности Ло=о — о,) ме зависит от тяпа пнтерполирующего фильтра (т. е. метода интегрирования) и равна г в'э (йпй(О) — О(О)) ~йз(() П= <йй))<О) — О<9)) Т. Отсюда, используя.выражения (1.47) и (3.133), легко получим зйа 2т аэ Тй! ~ — — )* з =ы ЗГ.
<сйе — 1 е )* (3.136) Лжперсня самого интеграла [1.134) равна ев = — ~ 6 (ы) ( К < )!' ! з ес 8 Г з(пз(ыТ!2) 0ы 2 = — (ы Т+е " — 1). яро~ 3 ыз (1 „) эы,.ыз) ы * о Ф В рассматравзеиом случае Гы ,"в,1, сееловательяо, е~~~ О и, ".
-„— (,7- В. (3.'137) ! з еза 8 г' 1 езйе д*= — -— в 1), рт 8 — 1) 2 сйе — 1 те (злзз) где О=ььг — безразмерный параметр, равный отиошсиию времеви иитегрировапия яо времени корреляции случайного процесса (па( уровне 1/е). При малых е выражение (ЗЛЗЗ) .прииимает зид 8 чз дз — — ° 8 — 1 6 [3. Р39) Рассмотрим числеиеый ярииер. Пусть е=6,7 ~(при атом яозффипиевт иорреляцая между соседиими дисхретами входного сшпала равен 0,3) и О = 3,6. Согласао (3.133) "и ~(3139) получаем соответственно Дз=ОО7 и Ьз-о,11.
'Видим, что формула (ЗЛ39) дает несколько завышеииый результат. Сравнивая зги результаты с результатами $1.7, убеждаемся, что отиосительиая погрешность цифрового иптегрироваяия значительно меньше отиосительиой погрешности иггерполшош входного сш вала (формула (1АЗЦ. Заметим, что даииый чяслеиаый пример рассматривался в раба.
те (13), где ииым методом получена формула оценив погрешиости цифрового иитегрироваяия случайных процессов. Сравнение числеипых результатов показывает полное их совпадение. В заключение этого параграфа необходимо сделать некоторые замечания. Полученные формулы позволяют оценить среднеквадратнческую погрешность выходного сигнала при наиболее распространенных методах дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем, подверженных стационарному случайному воздействию.
В ряде случаев полученные аналитические выражения для оценки отличаются простотой (формулы (3.129)— (3.132), (3.136) — (3.139)], что существенно облегчает нх практическое использование. В общих случаях выражения для оценок оказываются более громоздкими. При решении практических задач методом цифрового моделирования рассмотренные еыше приемы оценки погрешности дают скорее лишь некоторое представление 244 Используя (3.136) и (3.137), отиосительвую средиехвадратяче- ) сяую погрешность цифрового иитегрвровяиия можно выразить в виде ь величине погрешнйчкв результатов, чем конкретную ее величину, так как йрактнчески решаемые задачи содержат обычно значительно более сложные преобразования сигналов и помех, чем простые линеш~ые преобразования.
Чтобы получить дискретную модель сложной непрерывной системы, обладающую требуемой точностью, практически можно использовать следующий довольно эффективный прием. Сначала шаг дискретизация выбирается ориентировочно, исходя нз данных выше оценок, Окончательно шаг дискретизации выбирается при реали. зации цифровой модели на ЦВМ путем проведения нескольких пробных,решений задачи для различных последовательно уменьшающихся, например в два рази, значений шага дискретизации, начиная с выбранного значения шага и кончая тем значением шага, когда результаты решения практически перестают изменяться. Разница в результатах решения при выбранном и при минимальном шагах дискретизации дает величину погрешности дискретной аппроксимации.
Б некоторых случаях оценку погрешности цифрового моделирования удобно проязводить путем сравнения результатов при выбранном шаге дискретизации с результатами аналитического решения задачи, если это решение нетрудно получить при некоторых упрощающих условиях. Этот вопрос будет рассмотрен и $4.2. Глава четвертая ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РАДИОТЕХНИКИ 4.1. Предварительные замечания В данной главе приводятся примеры применения изложенных выше методов цифрового моделирования для решения сложных статистических задач радиотехники. На этих примерах показаны принципы реализации цифровых моделей па вычислителвной машине для решения задач в целом, показаны преимущества и недостатки метода цифрового моделирования по сравнению с другими методами исследований. Кроме этого, даны результаты решения задач, ~представляющих интерес для специалистов.
Прежде чем переходить к изложению конкретных примеров, целесообразно рассмотреть некоторые общие вопросы цифрового моделирования радиосистем. Данные выше алгоритмы цифрового моделирования радиосигналов, помех, различных классов случайных процессов и процессов втреобразования сигналов н помех при прохождении через линейные .и нелинейные системы являютсн основными. Они отражают в удобной для реаЛизации на ЦВМ форме поведение целого ряда наиболее распространенных оггьектов моделирования. Однако эти алгоритмы непосредственно позволяют получить описание поведения лишь отдельных элементов радиосистем нли их .параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
