Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Однако эта теорема не дает ответа на вопрос, какова 234 будет велпчнна оши(]]й4>цри задайном шаге дискретизации в реальных условиялх,' когда функции не имеют строго ограниченного спектра. Поэтому задача оценки погрешности дискретизации является предметом самостоя> ельных исследований.
В общем случае погрешность дискретной аппроксимацип непрерывных систем зависит от шага дискретизации, метода дискретизации, .инда входного сигнала, характеристик системы н, наконец, от выбранной числовой меры погрешности. Такое разнообразие факторов, влияющих на погрешность, существенно затрудняет ее количественную оценку. Поэтому обычно задачу оценки погрешности дискретной аппроксимации сужают, В первую очередь это относится к ограничению класса входных сигналов: оценку погрешности проводят при некоторых типовых (стандартных) воздействиях. Часто погрешность дискретной аппроксимации непре-. рывных систем оценивают при воздействии в виде единичного скачка (оценка погрешности путем сравнения переходных процессов в непрерывной и дискретной системах (85, 100]).
Суть такого метода состоит в следующем. При выбранном шаге дискретизации вычисляется переходная характеристика дискретной системы н сравнивается с аналогичной ч>ереходной характеристикой непрерывной системы. В качестве меры погрешности мо>кет быть выбрано, например, среднеквадратическос отклонение кривых.
Еслп прн выбранном шаге дискретизации различие переходных процессов велико, то, уменьшая шаг, можно добиться приемлемой точности дискретной аппроксимации. Переходнан характеристика дискретной линейной системы строится путем расчета по рекуррентным формулам вида (3.24) прн и[а]=1, л=О, 1, 2, ... и пулевых начальных условиях, что легко осуществляется, например, с помощью настольной клавиш>юй вычислительной машины.
Для построения переходной характеристики непрерывной системы могут быть использованы хорошо нзвсстныс из теории линейных систем автоматического регулирования методы (см., например, (45]), в частности метод получения переходной характеристики путем оты- 1 скання оригинала изображения — К(р), где К(р) — пе- ~> редаточная функция системы. 235 Если жостросйие переходного процесса в непрерывной".' системе затруднительно, то шаг дискретизации практи-.= чески можно выбрать следующим образом. Строится последовательность переходных характери- '. стик дискретной системы для ряда уменьшающихся (например, в два раза) значений шага дискретизации И. После этого выбирается то значение ЛГ, начиная с кото-,„., рого переходная характеристика практически не изменяется с уменьшением Лб В основу такого приема поло- .: жен тот факт, что прн 'И вЂ” ~-О процессы в эквивалентной импульсной системе совпадают с ~процессами в непрерывной системе.
В качестве стандартного сигнала используется также гармоническое колебание (оцснка погрешности путем сравнения частотных характеристик непрерывной и дискретной систем (85)). Нетрудно найти общую формулу для такого сравнения. Лействительно, частотная характеристика непрерывной системы с передаточной функцией К(р) есть К()ы). Частотная характеристика эквивалентной дискретной системы с передаточной функцией К,(з), как известно (85), получается нз К (г) путем замены з на е ь'м, т. е. К„(уо)=К„(з) при з=е '"". Функции К Цв) и К„(е '"") имеют аналогичный смысл: для непрерывных систем К(уо) означает то, что гармоническое колебание е~"~, поданное на вход системы, вызывает на выходе в установившемся режиме гармоническую реакцию и (г) = К 0в) е~~; для дискретных систем К„(е ™) означает то, что дискретная гармоника е'" " на входе системы вызывает на выходе снаэемы в установившемся режиме дискретную гармонику п(п)=Кя(е ~~)е' ~".
О погрешности дискретной аппроксимации можно судить по отношению частотных характеристик (3. 127) которое при выбранном шаге дискретизации равно отношению комплексной амплитуды гармоники 'на выходе дискретной системы к комплексной амплитуде гармони- 236 кп,яа выходе исхгй$М~й, 'непрерывной системы при одной н том,же гармоннчйскбм, воздействии с частотой ы на входах обеих систем В области частот, где будут малы соответственно амплитудные и фазовые погрепшбстн дискретной аппроксимации, Зная передаточную функцию К(р) н ее дискретный эквивалент К (г) при различных методах дискретной аппроксимации (3 3.2; 3.3), в каждом конкретном случае по формуле (3.127) можно довольно просто рассчитать погрешность дискретизации в частотной области.
Примеры использования формулы (ЗЛ27) для оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации интегрирующего звена первого порядка днны в (83). В некоторых работах (20, 23) оценивается ошибка дискретной аппроксимации непрерывных систем при стационарном случайном воздействии ла входе. Поскольку случайный процесс представляет собой целый ансамбль сигналов, оценка погрешности при случайном воздействии дает некоторую усредненную величину погрешности по ансамблю сигналов, а не по одному какому-нибудь элементарному сигналу.
Это является важным доводом в пользу такого рода оценок. Ниже рассматрнваютсн вопросы оценки среднеквадратической погрешности'дискретной аппроксимации непрерывных систем, когда в качестве стандартного .входнпго сигнала используется стог(покорный случайный процесс. Случайный сигнал является более сложным по структуре, чем элементарные стандартные сигналы в виде единичной ступеньки илн гармонического колебания, ио, несмотря на это, он позволяет найти довольно про-.
стые оценки погрешности, а прн некоторых условиях даже более простые, чем прн классических стандартных сигналах. Пусть задана некоторая линейная непрерывная система с постоянными параметрами с рередаточпой функцией К(р) и импульсной переходной характеристикой н(г). на вход которой воздействует стационарный слу'чайный процесс $(Г) с энергетическим спектром 6(е). ззт Рассмотрим методы дпскретизации заданной системы, которые соответствуют замене ее эквивалентной импульсной системой |по схеме, представленной на рис.
3.1 ($3.2). К таким методам относятся метод гпреобразованпя ($ 3.3), который эквивалентен дискретизации непрерывной свертки с использованием формулы прямоугольников ($3.2); метод Цыпкнна — Гольденберга; метод Рагаззини — Бергена (й 3.3). а .зда Различие между выходными сигналами непрерывной и эквивалентной импульсной системы образуется а результате неточного восстановления входного сигнала ннтерполнруюшим фильтром в схеме рис.
3.1. Ошибку выходного сигнала йо(1) =о(1) — и (1) в этом случае можно рассматривать как выходной сигнал схемы, .показанной на рис. 3.10,а, которая, очевидно, эквивалентна схеме, представленной на рис. 3.10,6. Ошибка Ли(1) явлнется результатом преобразования ошибки интерполяции входного сигнала Ли(1) заданной линейной системой. Коррелиниоино-опектральныс характеристики ошибки -Аи(Г) при различных видах интерполяции стационарных случайных сигналов были найдены в $ 1.7.
Зная их, легко можно найти характеристики ошибки выходного сигнала. 238 Действителыю, есзи 6 (е) — энергетический спектр ошибки интерполнции- входного сигнала, то дисперсия иско- мой ошибки равна = — ~ О (в) г(е = — ( 6 (в) 1 К ()м) ~' Не, о о где 6, (м) = Оз„(м) ) К Ци) )' — энергетический спектр иско- мой ошибки. Учитывая, что дисперсия выходного сигнала в рас- сматриваемом случае равна '= — '-~6())К( )! (, е и используя формулу (1.42) для вычисления энергетиче- ского спектра ошибки интерполяции входного сигнала, получим следующее общее выражение для нахождения относительной среднеквадратической погрешности вы- ходного сигнала, возникающей в результате замены не- прерывной линейной системы эквивалентной иь(пульсной системой ~ ~п("1~! — з~ йек.(р))+ —,„Ф(11к,( 11 ~1кц 11 л о ы П (м)1К 1 ИЧе (З.12й) где Кз()ы) — частотная характеристика интерполирую- щего фильтра; Ф(е) — энергетический спектр дискретного случайного процесса и[п).
Величину Лз целесообразно принять в качестве меры погрешности дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем. Формула (3.!28) позволяет найти точное значение этой меры в виде зависимости от шага дискретизации Ж, от метода дискретизации (характеризуемого типом передаточной функции Кй()ы) интерполирую- щего Фильтра), от энергетического спектра 6(е) входного случайного сигнала и от передаточной функции 239 ~„=а р> — '1~ка ач =а„~оф ра, а (3.129) ~(К(3 И' ( й' = 6 „(О) ~ (3.130) П (в))( К ()в)Р Лв Величина 6,„(0) может быть вычислена по формуле (1.44). Поскольку у наиболее распространенных типов интерполирующих фильтров коэффициенты передачи на нулевой частоте Ка(0) одинаковы и равны б( (см.
табл. 1.!), то согласно формуле (!.44) 6,„(0) =2иФ(0) -6(0). (3.131) Из соотношений (1.129) — (!.!31) следует, что погрешность дискретной аппроксимации слабо зависит от типа внтерполирующего фильтра. На это указывалось в !18). Однако этот эффект ие имеет абсолютного характера: ои наблюдается только яри выполнении указанных выше условий. В частности, им нельзя пользоваться в случаях, когда спектр входного сигнала в области частот выше частоты дискретизации резко убывает или же равен нулю. 240 К()е) ааданной:непрерывной системы.
К сожал(н)ию,это -1 выражение- нвлнется довольно громоздкпм. Однако нме- 1 ется воэможность найти более простые приближенные:; оценки величины Ла. Действительно, если частота дискретизации входтюго .' сигнала в несколько раз превышает полосу пропусквння ' спстемы, а спектр сигнала е области высоких частот убывает достаточно медленно, то в пределах полосы пропускання энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала можно принять постоянным и равным 6а„(О) (см. рис. 1.7, на котором сплошными линиямн (О, 1, 2, 3, 4) показаны примеры энергетических спектров ба„(в) и пунктиром — частотная характеристика системы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
