Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Подвергнув формулы (3.84), (3.85) дискретизации, используя при этом, иаи и ранее, методы численного интегрирования, получим следующие алгоритмы вычисления дискретных значений комплексной огибающей на,выходе системы: Н В Ч„[л] = —,, ~» ] с, [й] Н [й] () [а — - й] = ~ а [й] 0 [ц — — й], ь=в ь=в (3.89) Н[~]() [~ — й]=~" ~[й]Ц[ — й], в=в (3.8О) У„[л] = — „Я~, [й] где М вЂ” шаг дискретизации; И= Т!Лт; с~[й) — коэффициенты, зависящие от метода численного интегрирования; Н[й1= Н(МИ) †дискретн значения комплексной огибающей импульсной переходной характеристики системы; Щп) — дискретные значения комплексной огибающей входного сигнала; а[Я= — С,ЯН[й1. И Величина шага И в формулах (3.89), (3.90) определяется величиной верхней частоты в спектре модуляции высокочастотных колебаний, а не в спектре самих высокочастотных колебаний, как это было бы беэ привлечения метода огибающих.
Это обычно дает возможность значительно увеличить шаг дискретизации и тем самым сократить вычислительные затраты. Замена непрерывных сверток (3.84) и (3.85) дискретными свертками (3.89) и (3.90) соответственно означает замену непрерывных комплексных фильтров эквивалентными дискретными комплексными фильтрами с передаточными функциями СО К„(з)= у'.а[й[з", А=3 К (з) =~ а[й)з".
(3.92) т=а Отличие формул (3.91) и (3.92) от формул (3. 14) и (3.15) состоит лишь в том, что коэффициенты перед з" в формулах (3.91) и (3.92) являются, вообще говоря. ;комплексными. Структурные схемы фильтров с передаточными функциями (3.!8) и (3.92) одинаковы (см. рис. 2Л). Процесс дискретной комплексной фильтрации дискретного сигнала Щл) фильтром с передаточной функцией (3.92) в соответствии с рис. 2.1 состоит в следующем. Последовательность комплексных чисел Щл), порождаемая непрерывной комплексной огибающей входного сигнала, поступает на линию задержки с Ф отводами, задержка между которыми равна М. Отводы линии задержки подключены к весовым усилителям с комплексными коэффициентами усиления а[й1 Выходы весовых усилителей суммируются, в результате чего образуется последовательность комплексных чисел 'т[п), представляющая собой дискретные значения комплексной огибающей вы- !4-!ао тор ходного спгнала; Такая схема вычислений может быть' реализована в виде стандартной программы.
Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются на ЦВМ по стандартной подпрограмме. Вычисления в соответствии с алгоритмом (3.90) можно проводить н без привлечения операций яад комплекснымн числами. Лля этого нужно выразить дискретные комплексные огибающие через дискретные квадратурные компоненты и виде У„, [л[=~ а, [й[0, [а — й[ — ~ а, [й[0,[л.— й[, У (3.93) У, [и[ = ~ а, [й[(), [л — й[+ ~ а, [й[ Ю, [и — А[, э=О *=а где О,., [л[ = О,., (пН), (~„,, [и[ = 'т',, (аИ) — дискретные значения квадратурных составляющих входного н выходного сигналов соответственно; а,, [й[ =(дГ(2) с, щ Н,, щ. НыЯ=Ньз(йй() — дискретные квадратурные составлнющие импульсной переходной характеристики. Последнее означает замену дискретного комплексного фильтра двумерным вещественны н дискретным фкльтром с передаточной матрицей К (,) — ~~ К * (') — "' *( ) ~~, где К„,(а) = ~Р и, [й[ аэ, К„,(а) = ч~Р~ а, [й[ аь.
Структурная схема этого двумерного дискретного фильтра показана на рис. 3.3. Она является эквивалентом схемы рис. 3.4 так же, как и формулы (3.93) являются дискретным эквивалентом формул (3.86). Из (3.93) видно, что осуществление дискретной комплексной свертки при прочих равных условиях требует в общем случае в четыре раза больше операций, чем осуществление вещественной дискретной свертки. В частных случаях количество операций может быть меньшим. Так, если ~рь(й) — 0 (в этом случае узкополосная система ФО Й этом случив свертка огибающих является вщцествеи. ной, и двумерный фильтр, превращается в одномерный.
В некоторых случаях для вычислений удобна тригонометрическая форма записи комплексной свертки (3.90) в виде У„ьз [и] = ~~ а[й] Ю [и[ — А[ (рь [и]+ р„[л — Гг]). (3.97) Если попользовать метод дискретизации комплексной свертки, основанный на принципе замены непрерывного комплексного фильтра эквивалентным импульсным фильтром, то по аналогии с дискретизацией вещественной свертки ($ 3.2) получим алгоритмы вида (3,89)-- (3.90) с той лишь разницей, что вместо весовой функции а[й] будет использоваться весовая функция Н [й] †дискретная импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части комплексного фильтра.
Тогда т' [и]= ~ Н„[й] ь) [л — й], (3.98) ~.[л]=Х Н.[й]и[и — й] «=-в (3.99) Из формул (3.98), (3.99) можно легко получить алгоритмы, аналогичные алгоритмам (3 93) — (3.97), заменив в последних а,[й], а,[й] и а[й] на И„,[й]=РеН„[й]„о„,[й[= =йпН+ [к] и Й„[й]=[Н„[А][ соответственно. 3. Моделирование узкополосных линейных систем с помощью комплексных рекуррентныл разностных уравнений Оказывается, что алгоритмы вида (3.98> прп определенных условиях можно заменить более зко;юмнчнымп рекуррентными алгоритмами [17], т.
е, рази стные методы, описанные в $3.3, допускают обобщение на случай цифрового моделирования комплексных линейных фильтров, к которым по методу огибающих свод ггся узкополосные линейные системы. 212 Такое обобщение возможно„если передаточная функция комплексного фильтра является дробно-рациональной функцией вида Ач+ А1р+ ... + А~р~ в,+в,р+...+в р где Аа 1=1, 1, Вь 1=1, т — н общем случае комплексные коэффициенты. Последнее имеет место в целом ряде практически важных случаев.
действительно, передаточная функция К(р) есть не что иное, как укороченная передаточная функция узкополосной системы, которая является операторной записью укороченного дифференциального уравнения, связывающего комплексные огибающие 1)(1) и У(1) н приближенно заменяющего полное дифференциальное уравнение узкополосной системы (ЗЦ. Укороченную передаточную функцию узкополосной системы можно получить (ЗЦ, зная комплексный коэффициент передачи системы г((1ь1), записанный как функция сравнительно неболыпих расстроек й=чь — ьм, где е — частота входного гармонического сигнала, ыь — средняя (резонансная) частота системы, путем простой замены аргу мента )О на р, т.
е. К (р)."=К ОП) ~,.=, Так. например, комплексный коэффициент передачи усилителя промежуточной частоты (УПЧ) с одиночными настроенными в резонанс контурами равен (27) к. о()) =„+~~,',„)„, (3.!00) где л — число каскадов; йщ — коэффициент усиления на резонансной частоте; Ле†полоса пропускання одного контура на уровне 0,7. Комплексные моэффициенты передачи УПЧ с попарно расстроенными контурами и УПЧ с двухконтурными полосовыми фильтрами имеют одинаковый вид А И+ - Г+ - Л где йьз — коэффициент, определяющий усиление УПЧ на резонансной частоте; Лы — полоса пропускаппя одного 2!з контура на уровне О,у; гп — числа пар расстроенных каскадов в первом случае и число каскадов во втором случае; Ро†расстройка контуров в первом случае, йч= =(Ич» — во втором случае ([) †факт связи, равный произведению коэффициента связи между контурами иа добротность) .
Передаточные функции К(р), соответствующие формулам (3.!00), (3.101), имеют вид (3.102) У [п] = а,() [и[+ ... + аЛ) [и — 1]— — Ь,У„[п — 1] — ... — Ь У„[п — тп]. (3.103) Здесь в отличие от (3.23) и (3.24) коэффициенты аь Ь; и последовательности Щп], У,[п] являются, вообще говоря, комплексными. Структурная схема дискретного комплексного фильтра с передаточной функцией (3.102) будет такой же, как схема, показанная на рис. 2.2, если в последней заменить вещественные дискретные сигналы х[п] и Яп] на комплексные сигналы Щп] и У.[п], а коэффициенты усиления а; и 6! — на коэффициенты а; и Ь;. 2И 'Таким образом, получили, что передаточные функции комплексных фильтров в данных примерах являются дробно-рациональными. Это имеет место и а других случаях.
Для получения рекуррентиых уравнений, моделирующих процессы комплексной фильтрации, нужно, как и в случае вещественной фильтрации, перейти от непрерывных дробно-рациональных передаточных функций комплексных фильтров к эквивалентным дискретным передаточным функциям. Для этой цели полностью пригодны все методы дискретной аппроксимации, описанные в $ З.З. Применяя их, придем к дробно-рациональным дискретныч укороченным передаточным функциям и рекуррентным уравнениям вида а, + а,е+ ...
+ анн ч(е)=! 1 !,х 1 .~.В т ° 2 Учвтыввв, что К (О)= ! н то, что велвчнны а„еэ и См, Сте ": комплексно-сойрмвевные, эапншем К э (г) = 1+ (1 — г) 2 )]е 1 — (1 — г) )]е С„ 1+1 1 — ее'г 1 — еч'г После элементврвых преоарвэаваний окончательно получим а,г+ а,г' Ксл( ) !+в,г+Ь, '' в, =1 — е "(э!вам+ соевы); ьк а, = е л" (е л" + э!нам — савве); Ь, = — 2е соевы; Ье=е Ивентнфпнврув перелвточную функпню К.,(г), найдем следующее рекурренппое урввненпе, снвэыввввпее паслевоввтельность энвчепнй У,[л] комп.чекснай вмплнтулы снгнвлв нв выходе УПЧ с послелаевтельностыо значений ййл] комплексной амплитуды входного спгпвлв У, [л] =- а,0 [л — !1+ а,и [и — 2]— — ЬЗУ 1л — Ц вЂ” Ь,Ч 1п — 21.
(3.!ы) В ленном случве коэффициенты вь вь Ьь Ьэ — вешественные чнслэ. Уравнение (3.104) является простым алгоритмом, моделирующим процесс преобразования колебания с произвольными законами амплитудной и фазовой модуляции прн прохождении его через УПЧ со связанными контурами. Формула (3.104) в отличие от формулы дискретного свертывания (3.89), которую также можно было бы применить в данном случае, при любом и!аге Лх требует одинакового количества операций для вычисления одной дискреты комплексной амплитуды выходного сигнала. При дискретной свертке количество операций на одну дискрету растет пропорционально величине отношения э!остоянной времени моделируемой системы к шагу дискретизации.
В случаях, когда зто отношение составляет десятки и сотни, формулы дискретного свертывания потребовали бы на 1 — л порядка операций больше, чем зто требует уеиуррентная формула (3.89). Р1 !! 3.5. Моделирование нелинейных систем 1. Классификация нелинейных систем При рассмотрении способов цифрового моделирования нелинейных систем целесообразна следующая их классификация. Во ~первых, нелинейные системы можно разделить на два основных класса: безынерционные нелинейные системы (класс 1) и инерционные нелинейные системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
