Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ут Среди инерционных нелинейных систем можяо выделить системы,:которые являются комбинацией из двух типов развязанных между собой отдельных функциональных звеньев: линейных инерционных и нелинейных безынерционных (функциональные системы), и системы, которые не являются таковыми (ииерционные нелинейные нефункциональные системы — класс 1Ч). Класс П образуют функциональные системы, у которых нелинейные звенья не включены в контуры с обратной связью (инерционные нелинейные функциональные замкнутые системы). Класс П1 образуют функциональные системы с иелинейностями в контурах с обратной связью (инерционные нелинейные (функцаональные замкнутые системы).
На рис. 3.6 приведены примеры функциональных нелинейных систем 1, П и П! классов, где НЭ вЂ” нелинейный безынерционный элемент, К~(р) и Кз(р) — передаточные функции линейных динамических звеньев, Схема П на рнс. 3.6 попользуется, например, как типовое радиотехническое звено, при этом К~(р) — передаточная функция радиоусилителя (УПЧ), НЭ вЂ” детектор, Кз(р) — передаточная функция видеофильтра. К схе- 217 ме Ш сводятся обычно следящие системы радиоустройств, при этом характеристика нелинейного элемента описывает дискриминационную кривую.
Нелинейные системы 1Ч:класса могут быть заданы в виде принципиальной схемы, как, например, схемы амплитудного и частотного детекторов, у которых существенно влияние реактивной нагрузки на нелинейные элементы (диоды), или в виде нелинейных дифференциальных уравнений (системы уравнений), описывающих процессы в системе, например аэродинамические дифференциальные уравнения движения летательного аппарата. Приведенная классификация нелинейных систем является,в определенном смысле условной.
Одну и ту же систему можно отнести к тому или другому классу, в зависимости от существа решаемой задачи, т. е. в зависимости от характера ее постановки, целей решения, точности воспроизведения процессов в системе, наличия априорных сведений о характеристиках системы и т. и.
Так, например, амплитудный детектор в случаях, когда емкостпый фильтр не имеет развязки с нелинейным элементом, строго говоря, является нелинейной системой 1Ч класса, однако при определенном выборе параметров его можно отнести к системам 1! класса (801 (типолое радиотехническое звено), а по характеру преобразования огибающей входного колебания — к системам 1 класса, т. е, к безынерционному нелинейному звену, преобразующему огибающую Г(1) в напряжение о(1) =ЯГ(1)1, где )д- — детекторная характеристика. В последнем случае детектор выполняет свое функциональное назначение — выделение огибающей нли же некоторой функции от огибающей.
При такого рода эквнналентных преобразованиях нелинейных систем используются заранее известные характеристики этих систем, полученные теми илн иными методами. Эти преобразования позволяют упростить цифровые модели. Для преобразования нелинейных систем 1Ъ' класса в эквивалентные системы 111 класса можно использовать богатый опыт составления функциональных электронных схем для решения нелинейных дифференциальных уравнений на аналоговых вычислительных машинах (40, 52). Рассмотрим возможныс способы цифрового моделирования нелинейных систем различных классов.
218 2. Моу(еимрованме ()евынерцмоммых неимнеймых систем Моделирование нелинейных безынерционных звеньев осуществляется весьма просто: на ЦВМ производится нелинейное функциональное преобразование входного сигнала а(г) в соответствии с характеристикой нелинейности звена у=((х) в виде пИ=Ф4п)).
Способы нелинейных преобразований входной величины и(п) в выходную величину о(л), используемые для имитации на ЦВМ нелинейных звеньев, зависят от того, в какой форме задана характеристика нелинейности. Если характеристика нелинейности задана в виде аналитического выражения (например, полннома), то,преобразование осушествляется путем вычисления по формуле. Если функция у=):(х) задана таблицей или графически, то в ЦВМ вводятся ее табличные значения и преобразование производится путем выборки из таблиц с использованием интерполяции.
3. Моделирование мнерпвчоммын мепммеймых разомкнутых функциональных сметем Моделирование нелинейных систем [! класса также не встречает затруднений. В этом случае дискретные функции, соответствующие непрерывным сигналам в различных точках системы, вычисляются последовате.чьно путем применения описанных выше алгоритмоз моделирования к отдельным линейным динамическим звеньям н нелинейным безынерционным звеньям.
Пример 1. Пусть требуется волучигь алгоритм преобразования днсиретных значений вколюгго сигнала и[и[, детктвуюшсго иа нелинейную систему, блок-схема которой показана па рнс. З.у„а, в дискретные значения выходного снппьта о[н!. Положим, что динамические звенья К~(р) и Кя(р) являются ливейнымн звеньями с постоянными сосредоточенными парамстрамн первого и второго порядка со.
ответстввпю. Положим также длн определенности, что характери.. гствка нелинейного злсмснта нвляетсн зксноненнналыюй инда Для построения нифровой модели системы заменим непрерывные фильтры Кг(р) и Кз(р) соответгтвуюнгими дискретными фнньт- Р ' ми, используя методы дискренюй апнроксвмаю~и, данные н й 3.3. результате непрерывной зеливсйиой системс будет поставлена 9!9 в шотяетствис эюювазентная дискретная нелинейная система, у ко-: торой передаточные функции К.~(з) и К.з(а) в общем случае имеют,~ зид а'«+ а',з а", -[- а",х -[- а"зз' К«1(з) 1 1 У з з К*з(З) 1+Укз [ Ьгг з з где постоянные коэффициенты перед з" определяются параметрами юпрерывных фильтров, шагом дискретизации и методом дискретной итнроксвмацин.
кгйР г из и С итЯ кс(тр а) «(л) и иг(л~ «Гв) к Ке) нз ит(л) к т(е) и,(в) Ф Рнс. 3.У. переходя от передаточных функций Кы(з) и К з(з) к рекур рентным уравнениям, получим следующую последовательность операций преобразования сигнала и[л) в сигнал е[л[ 1(рнс. З.й,б): и1 [и[= аl, [л) +а',и [ — Ц вЂ” Ь',и, [ — Ц. из [л[ = е (3.105) и [л[ = а",и, [л[ + а",из [л — Ц + а",и, [л — 2[— — Ь" 1о [л — Ц вЂ” Ь"зо [л — 2[. Лля осуществления на быстродействующей ПВМ преобразований (3305) требуется весьма немного времени. Это дает возможность в короткий срок производить многократные вычисления, например в целях получения статистических характеристик прн случайном воздействии на входе нелинейной системы. Прн однократных вычислвпнях, например при построении переходного процесса в нелинейной системе, уравнения,(3.105) можно использовать н качестве экономичных расчетных формул для реализации па клавишных вычнслнтелиных машинах (в данном случае с использованием таблиц функции е").
220 4. Моделирование инерционных нелинейных функциональных замкнутых систем Сложнее обстоит дело с цифровым моделированием замкнутых функциональных нелинейных систем (системы 111 класса). Пример 2. Рассмотрим иелииейиую систему, показанную иа рис. 3.8,а, у которой нелинейный элемепт стоит в прямой цепи петли обратной связи. Положим, что линейный фильтр с псредаточиой фупкцией К(р) является системой второго порядка. Запевна этот фильтр дясирстпым фильтром (рис. 3.8,б) с передаточиой фупкцией ав+ ива+ авг* 7(.(')= 1+Ь,а+Ь, ° ' получки следующие урашиашя„оппсываювцие прообраз»валия сиг- пала и[а] в экаивалептпой дискретной иелииейвой системе: в [л) = и [л! — о, [и], в, ]л] = )(в [п)) = 1 (и [п] — о [п]), с„ [п] = авв, ]и! + а,вв [л — Ц + аев, [л — 2[ — (3.108) — Ь,о ]п — Ц вЂ” Ь,о [л — 2) = ив[(и [л] — о [п]) + +а,в, [п — Ц+авв, [и — 2) — Ь,о [л — Ц вЂ” Ьво [л — 2!.
Поскольку вычисления производятся рекурреягио, все ветнчвны в последнем уравнении в (3.106), кроме о,[а], можио считать изяестиыми. Поэтому для яахождеиия интересующего иас неизвестного эиачеиия о.[л] требуется решить относительно ойл] нелинейное ураввепве о [л) а,[(и[л] — о [п])+с„, (3.107) где с„= а,в, [л — Ц + авв, [л — 2] — Ь,о, [п — Ц вЂ” Ь,о [л — 2]. Ураппепие '(3.107) требуется решать яа каждом шаге.
Наиболее общим методам решеиия является метод итераций. )(ля простых иелицейиосгей решеиие этого уравнения иногда удается затпгсатьв виде формулы, иапример, если 1(х) =хв, то о [л] = ав (ив [п] — 2и [п) о [л) + о' [л1 ) + с„ Аот [п! — В„о [п] + С„= О, где А =а». В»= 1+ ти 1п), С»=авив [п] + г». Отсвода В» + [г' „— 4АС„ о [п)= Таким образом, приходим к выводу, что особенно- стью цифровой модели данной нелинейной системы, со- 221 держащей нелинейный элемент в замкнутом контуре, явчяется необходимость решать на каждом шаге нелинейное алгебраическое уравнение при условии, если линейные динамические звенья системы моделируются с помощью рскуррентных уравнений.
Нетрудно убедиться, что такое положение всегда имеет место при цифровом моделировании замкнутых функциональных нелинейных систем. Необходимость решения нелинейных уравнений усложняет цифровые модели замкнутых нелинейных систем цо сравнению с цифровыми моделями разомкнутых нелинейных систем. Это затруднение легко обойти, если в цепь обратной связи эквивалентной импульсной системы ввести дополнительно элемент задержки иа один период (рис. 3.8,в).
Тогда необходимость решения уравнения вила (3.!07) отпадает, и цифровая модель замкнутой нелинейной системы оказывается почти столь же простой, как и модель разомкнутой системы. Действительно, уравнение (3.107) в этом случае принимает вид о [п]=а ](и]п] — о„]п — Ц)+с . (3.108) Вычисление текущего значения сигнала на выходе замкнутой системы по уравнению (3.108) сводится к нелинейному преобразованию известных (п]п], а]п — Ц, п]п — 2]) и заранее вычисленных (о.(п — Ц, о.]п — 2]) величин.
Следует заметить, что введение элемента запаздыв .- ния вносит дополнительную погрешность в цнфров)ю модель. Однако при достаточно чалом шаге дискретизации влияние этой погрешности практически незначительно. При Л! — +О эквивалентная дискретная система с элементом задержки (рис. 3.8,в) так же, как и эквивалентная дискретная система без элемента задержки (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
