Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При формировании дискретных реализаций поля с постоянным шагом по одной или нескольким координатам для сокращенного вычисления тригонометрических функций целесообразно использовать рекуррентный алгоритм вида (1.3). Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного случайного поля можно формировать с помощью алгоритмов иространсгвенно-временнбго скоявзяиьего суммььрования б-поля, аналогичных алгоритмам скользящего суммирования для моделирования случайных процессов. Если Й(г, ь) — импульсная переходная характеристика ПВФ, формирующего из Ь-поля поле с заданной функцисй спектральной плотности 6(з, ы) (функцию Ь(г, 1), можно получить путем четырехмерной трансформации Фурье функции )/6(а, и), см.
й 2.2, и. 2), то, подвергая процесс пространственно-временной 1вв фильтрации 6-поля дискретизации, получиМ 5[1, 1 й, и[==йгЫ ~~~ ~Ь[р, д, 1, т[р', л ч ~ п$ Хх,[1 —,, 1 — у. й — 1, — т[. (2.146) где ага! = ЬхбуЫа1 — константа, определяемая выборам шага дискретизации по всем переменным х, у, г, 1; х [1, 1, л, т[ — дискретное ь-поле. Суммирование в формуле (2.146) осуществляется по всем значениям р, д„1, т, при которых слагаемые не являются пренебрежимо малыми нли равными нулю.
Подготовительная работа при данном методе моделирования заключается в нахождении соответствующей весовой функции й(г, 1) пространственно-временного формирующего фильтра. Подготовительная работа н процесс суммирования в алгоритме (2.!46) упрощаются, если ~функпн|о Ь(х, у, г, 1) можно представить в виде произведения й(х, у, г, 1)=Ь,(х)Н(у)й,(г)й,(1). (2.147) В этом случае, как это следует из (2.!44), корреляционная функция поля является произведением вида )1(х, у, з, т)=й,(х))1,(у))1,(г)й,(т), (2.148) где й,(и)=йк(и) э[с йь( — и), й=1,4. Если разложение корреляционной функции на множители вида (2.148) в строгом смысле невыполнимо, его можно сделать с некоторой степенью приближения, в частности, положив )1(х, у, з, т)=)1(х, О, О, 0) Я(0, у, О, 0) Х ;к',11(О, О, з, 0)11(0, О, О, т).
(2.!49) Прн разложении на произведение (2.149) пространственных корреляционных функций нзотропных случайных полей, у которых И(р, т)=Р(р, т), р=)г'х'+у*+а'„частичные корреляционные функции Я,(х), 11З(у) и )тз(з) будут, очевидно, одннаковымн. При этом, ввиду приближенности формулы (2.!49), пространственная корреляционная 160 фУикции Щ(х~ У» а) =Яг(х)Дз(й)йа(8) будет соответст' вовать, вообще говоря, некоторому пеизотропиому случайному полю. Так, например, если л'(р) является экспонеициальной функцией вида )Г(р)=Я(х, р, з)=е "1=е — т"'+~'+*', (2.16О) 'то согластю (2.149) )г,(х)=е '", )г,(9)=е 'и, й,(з). =е '*'. В этом случае заданная коррелящюпная функция гГ(р) аппроксимируется корреляционной функцией )г (х, 9, г)=е "*'+ ~М+ "".
(2.151) Случайное поле с корреляционной функцией (2.161) неизотропно. Действительно, если у поля с корреляционной функцией (2.160) поверхность постоянной корреляции (геометрическое место точек пространства, в которых значения поля имеют одинаковую корреляцию со значением поля в некоторой произвольной фиксированной точке пространства) является сферой. то в случае (2:151) поверхность постоянной корреляции есть поверхность куба, вписанного в указанную сферу. (Максимальное расстояние между этими поверхностями может служить мерой погрешности аппроксимации).
Примером, в котором разложение (2.149) является точным, может служить корреляционная функция вида Й(х, р, а)=е дада эвр =е е е Разложение (2.149) позволяет свести довольно сложный процесс четырехкратного суммирования в алгорит, ме (2.146) к повторному применению однократного ",скользящего суммирования. Таковы основные принципы моделирования нормаль' ных однородных стационарных случайных полей. Моделирование ненормальных однородных стационарных полей с заданньгм одномерным законом распределения можно осуществить путем соответствующего нелинейного преобразования нормальных однородных стационарных полей, используя методы, рассмотренные в 9 2.7.
11 — 160 1б! Йрнмер 1. Пусгь импульсная переходная характерястяка пространственного фпльтрв для формирования плоского скалярного постоянного но времена поля имеет внд Ь(х, р) =е-1 *+аз)= е- *е зз, х~о, р~о. Тогда св ез Е[1,1]ь ахар~ ~ е вз'е ~ель[1 — р,1 — д]= л=оч=о о~ со =ахар ~л с ~'Р ~~~~ е 1"1 х [1 — р, 1 — л] = р=о ч=о Ьх лы е "Л'х Р— р, 1], л=-о гле Лх н Лр — шаги дяскретнзацнн по переменным х и р соответ- ственно; а=пол, Ь=ЬЛу; со Лз ]1, 11 =- ЛР ~ е ье х, [1, 1 — Ч] ° е=о Из полученных формул водно, что для получения лнскретных реа- лвзацяй плоского полн можно сначала с помощью скользящего суммн- ровання с весовой функцией Лх [Ч] = йре зе сформировать совокуп- ности незавксямых лнскретвых реализаций л' (1, 1) случайного про- цесса с корреляцнон~юй функцней )хх(х)=Аз(х).)(.йз( — х), где г— номер реалнзацнн в совокупности, 1 †ном днскреты в совокупно- стн, а затем с помощью скользящего суммнровання ятях реалнза- цнй по нндексу 1 с весовой функцней ЬДр~= Ьхе- а сформировать лнскрегные реалнзацнн поля.
Процесс такого лвукратного сглажнва- ння 6-поля поясняет рнс. 2.П. В,рассматриваемом примере процесс скользящего суммирования легко сводится к вычислению в соответст- вии с рекурреитными формулами ($2.3) Х,[1, 1]=буха[1, Д+е аХ,[1, ) — 1], Е[1, )[=1)хХх[(, Д+е Е[1 — 1, Д. Этот пример допускает обобщения. Во-первых, анало- гичным образом, очевидно, можно формировать:реали- зации более сложных полей, чем плоское, постоянное во времеви поле. Во-вторых, пример подсказывает возмож- ность применения рекуррентных алгоритмов для моде- лировання случайных полей.
Действительно, если им- пульсную переходную характеристику ПВФ, формирую- щего из 6-поля поле с заданной корреляционной функ- цией„представить как произведение вида (2.15!), то, как 162 было показанё, формирование реализацкй пиля сводится к повторному применению алгоритмов для моделирования стационарных случайных процессов с корреляционными функциями )тд(и), 1=1,4. Эти алгоритмы могут быть' сделаны рекуррентнымн, если корреляционные функции йк(и), 1= 1,4, имеют вид (2.50) (случайные процессы с рациональным спектром). В заключение следует заметить, что в этом параграфе были рассмотрены только основные принципы цпфроваго моделирования случайных полей и даны некоторые возможные моделирукацие алгоритмы.
Целый ряд вопросов остался незатронутым, например: моделирование векторных (в частности, комплексных), нестацнонарных, неоднородных, ненормальных случайных полей; вопросы нахождения весовой функции пространственно-временного 'формирующего фильтра по заданным корреляционноспектральным характеристикам поля (в частности, возможность примененпя метода факторизации для многомерных спектральных функций).; примеры применения цифровых моделей случайных полей при решении кон, кретных задач и т. д. Изложение этих вопросов выходит за рамки данной книги.
Иногпе нз ннх являются предметом будущих исследований. 1'!' 163 Гяеее третья МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ ЛИНЕЙНЫМИ И НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ 3.1. Введение При решении радиотехнических задач методами моделирования на ЦВМ наряду с моделированием радиосигналов н радиопомех возникает необходимость в построении цифровых моделей процессов преобразования сигналов и помех различными линейными и нелниейнымн радиосистемами. Задача прн этом заключается в нахождении алгоритмов, позволяющих получать на ЦВМ дискретные значения о(п)=о(пЛК) процесса о(Г) на выходе данной системы по известным дискретным значениям и(п)=и(птэг) входного процесса н известным характеристикам системы, например передаточным функциям и характеристикам нелинейности его отдельных звеньев.
Основными требованиями к таким алгоритмам являются минимальный объем вычислений при реализации их на ЦВМ н простота подготовительной работы к моделированию. Эти алгоритмы в дальнейшем пазь1ваются цифровыми моделями радиосистем. В целом ряде практических задач блок-схемы исследуемых радиосистем можно представить в виде соединения двух основных типов звеньев: линейных инерционных (динамических) звеньев (усилители, фильтры, следящие системы и т. д.) и нелинейных безынерционных звеньев (детекторы, ограничители, логические устройства и т.
д.). Причем во многих случаях можно полагать, что между звеньями системы имеется развязка, так что свойства каждого звена практически не изменяются прн присоедияении к нему других звеньев, если зто специально не предусмотрено. Из двух яазванных типов функциональных единиц можно строить линейные и нелинейные радиосистемы любой сложности путем наращивания блок-схемы. Такие системы в дальнейшем называются функциональными. Разбиение функциональной системы 164 на отдельные.:звенья" обычно не является предметом са. мостоятельйого исследования, так как обычно оно задано; это облегчает задачу моделирования.
Процесс прохождения сигналов и помех со входа на выход 'функциональных радиосистем состоит нз ряда отдельных преобразований сигналов н помех звеньями систем. В соответствии с этим моделирующий алгоритм хлн всей системы можно найти, зная моделирующие алгоритмы для отдельных звеньев. 'Последнее наиболее просто осуществляется прн моделировании разомкнутых систем, содержащих только последовательно включенные звенья.
Моделирующие алгоритмы для таких систем получаются путем суперпознцни (тнпа ефункция от функцниъ) алгоритмов, моделирующих отдельные звенья систем. Выходной сигнал в этих случаях выражается е явном виде через входной сигнал. Более сложной является задача моделирования замкнутых нелинейных функциональных систем, содержащих один нлн несколько контуров обратной связи. Алгоритмы, описывающие функционирование замкнутых систем в целом, также получаются путем соответствующей комбинации алгоритмов, описывающих отдельные звенья систем, но при этом выходной сигнал, вообще говоря, не выражается в явном виде через входное воздействие. Значения выходного сигнала при моделировании замкнутых нелинейных систем могут быть найдены путем рещения на каждом шате нелинейных алгебраических уравнений, Однако зто затруднение, как будет показано ниже, во многих случаях можно обойти путем введения в цепи обратной связи элемента запаздывания на величину щага дискретизации.'При этом моделирование замкнутых нелинейных функциональных систем принципиально не отличается от моделирования разомкнутых систем.
В данной главе рассматриваются вопросы цифрового моделирования линейных динамических звеньев (или си' стем в целом, если эти системы линейны), нелинейных безынерционных звеньев и нелинейных систем, содержащих линейные динамические и нелинейные безынерционные звенья. Моделирование последних рассматривается как при отсутствии, так и при наличии замкнутых контуров. !66 В этой главе осцовное внимание уделено задаче цифрового моделврования непрерывных систем как наиболее сложной и важной задаче.