Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В ряде случаев в качестве основной характеристики СПСП-й целесообразно испольэовать корреляционную функцию й-й производной процесса, являющейся стационарным случайным процессом. В связи с втим представляет интерес рассмотреть моделирование СПСП-А по их задан-. ной й-й производной. Пусть )сю (т) и 6 ю (м) — корреляционная функция и энергетический спектр й-й производной случайного про-, цесса ч(Г) со стационарнымн й-мн прнрмценнямн. Требуется, используя йчю(т) илн бно(м), найти алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса 6(1). Для получения такого алгоритма достаточно найти связь между корреляционной функцией Я<И(т) А-й производной СПСП-й н корреляционной функцией Й~ (т) й-й разности процесса, чтобы потом воспользоваться рекуррентиой формулой (2Л18). Эту связь можно найти следующим образом.
Случайный процесс $нв(Г), который является й-й производной от СПСП-Й, наблюдается иа выходе линейной системы с передаточной функцией Кг(р) =р~, когда на вход системы воздействует процесс Ц4). Обратно, зная ф<м(1), можно восстановить исходный случайный процесс ф(1) (с точностью до начальных условий, которые в дальнейшем положим нулевыми), пропуская йвчай через линейную систему с передаточной функцией Кь (Р) = 1 Р" т.
е. через интегрирукхцее звено й-го порядка. В свою очередь, й-я разность а~~' (1) процесса ч(г) может быть получена путем пропускании его через линейную !4! систему нз одинаковых последовательно соединенный',: звеньев, состоящих нз элемента задерж на И н вы-,.
читающего элемента (рнс. 2.10) Передат6чная функцня'-, такого звена К(р)=1 — е~. Следовательно, передаточная функция фнльтра, преобразующего Ф!ь«(Ф) в з!",«(у), имеет вид ! г! — в Рм~" К, (р) =К,(р) Кз (р) = — (1 — еРм)к =- ~ ~ э Р" Р а частотная характеристика Отсюда получаем, что энергетический спектр О! «(е, И) й-й ризностн а!",'(1) СПСП-л связан с энергеп«ческнм спектром Й«х«(м) А-й пранзводной соотношением б«~«(е, И) = 6<а«(ю) ~ К, (1м) ~~ = 0!а«(ш) — ° (2.120) Нетрудно убедиться, что корреляционная функция Я~~~«(ч, И) является прн этом многократной сверткой вида 11! «(, и)= =РЮ(т)~Кй,(т И)Ясй (ч И)4с .,.)(-йа(т, И)= 2Й раз = Уа«(т) )(.
Ь, (т, И) ф Ь, (т, И) ф ... ф Ь, (т, И), (2.121) где / «, ! с)ч а!«'2, 1о, 1~1>а««Я; ( И) /М вЂ” )т~, 1%14~И, о 1%1>и Тамм, для моделиравання СПСГИ йо его й-й производной, ей энергетический спектр б~ю(е). можно использовать еле ющий способ. На ЦВМ моделируетса дискретный случайный процесс е~~~ (л, Ц =ее~' (лИ, И), порождаемый непрерывным стацдонаржям случайным процессом с энергетическим спектром Р~ы (е, И) и функцией корреляции й~~~ (е, йГ), г Рис.
2ло. определяемыми выражениями (2.120), (2.121), а затем по рекуррентному алгоритму (2.118) формируется диск- ретный случайный процесс Е(п), изображающий требуе- мый непрерывный случайный процесс Е(1) со стацио- нарными А-ми приращениями. Для описании случайных процессов со стационарны- ми первыми ариращениями в теоретических исследова- ниях обычно используется так называемая сгруктурнол Функция (59, 7Ц Р(6) =М((еп~(1Щ =М ([Е(Х) --Е(1 — 6)) ), которая представляет собой зависимость дисперсии раз- ности значений процесса, разделенных интервалом вре- мени А(=8. Структурная функция Р(6) является четной функцией, причем Р(О)=0.
Корреляционная функция )г~~'(е, 6) раз- ности ее~'(г) СПСП-1 связана со структурной функцией за(бй, )Е.и(., 6) = —,' (Р(.— 6)+Р(.+6) — 2Р(е)). .Отсюда получаем, что если требуется синтезировать слу- чайный процесс $(г) со стационарнымн первыми прира- щениями и с заданной сгруктурной функцией Р(6), то длн этого можно использовать следующий алгоритм: Е 1а) =ее',» 1п1+Е 1а — Ц, где а~п (и) — дискретный случайный процесс орреляцнон«,'', ной функцией ° ( ' ) 2 ( ( )+ ( + Полученные алгоритмы для моделирования СПСП-А не обладают методической погрешностью, если алгоритм формирования А-й разности процесса пе имеет методической .погрешности.
При моделировании СПСП-й по его Й-й производной нетрудно получить приближенные алгоритмы. Действнтелыю, поскольку случайный процесс со стпцнонврнымн А-ми приращениями можно рассматривать как А-кратный интеграл по его й-й производной, то, формируя дискретные реализации $<Яа) производной Еро(1) и подвергая нх А-кратному суммированию (дискретному интегрированию), йолучим приближенные значения процесса ()(1). Например, приближенный алгоритм формирования случайного процесса со стацнонарнымн первыми приращениями прн замене непрерывного интегрирования дискретным по способу прямоугольников имеет вид В(п) =Е2(В'И+и.— 1). (2.122) Уравнению (2.122) соответствует дискретная передаточная функция (2.123) л„, (а) В качестве дискретного интегрирующего звена А-го порядка прн приближенном моделировании СПСП-й можно использовать цепочки, состоящие нз й звеньев с передаточными фунюцнямн (2Л23), т. е.
фильтр с передаточной функцией ЬР йю~ (а) = (~ 1» Тогда рекуррентный алгоритм для формирования Цл) из $'ю(и1 запишется в виде Цл] = Е'ю [и) И" — ~ ( — 1) С„Е (и — й). Это наИболее простой, но наименее точный алгорнтч, так как повторное приближенное интегрирование спо- $44 собом'прямоугольников приводит к довольно быстрому накоплению 4[шибок.
Для уменьшения ошибок нужно использовать угие известные алгоритмы й-кратного дискретного ~нтнгрироваиия повышенной точности. Дискретные передаточные функции интегрирующих звеньев Й-го порядка этого типа даны в табл. 3.1. Приближенные алгоритмы моделирования СПСП-А, основанные на интегрировании А-й производной процесса, неудобно использовать в случаях, когда производная $(а1(() представляет собой белый шум. Процессы с й-й производной в виде белого шума являются частным случаем СПСП-й.
Это так называемые винероасиие араг(ассы й го порядка (7, 81. Моделирование винеровских процессов целесообразно нроиэводить с помощью точных алгоритмов, приаеденнььх раньше. Рассмотрим теперь примеры моделирования случайных процессов со стационарными приращениями. Првмер 1. Пусть для молелироваяия залая нормальный случайный процесс $(1) со стапнонариыми первымн прирангеннямн и с корреляционной функцией производной лл1г1( ) т л [г1 (2.124) 1 = ага(г ~ е —" 1л — " ' (1 — [х [) Нх, — ! гае ыл =ылат, я = 6/И. Полученный интеграл легко вычисляется. В результате имеем 2ат — (е " + в — 1). л = О, я л и(," [ц, 1[- 2аз -л,(л 1 с)г1') [л] — (сьев — 1) е, [и[=о 1, мя (2.126] 19.=[66 В соотаетствви с (2.121) корреляционная функция лнскретных зиаченвй разностн аат (1) процесса $(1) в точках гл=лЫ равна гл ЯН1 Р,.
1[ = Ят,'1 (лэг. 61) - $ Е1(лэ( 6) Э, (6) 66- Ы ~ аге " 1 ~1(И вЂ” [6[)ой= / с= =а (сйм — 1); (2.120) ': »1!!» [О, !].<»О»]О]. В свгнн с втжа можно записать Я1~» [и, !] =сев(е !"! — ад [и]), (2.1хг) где »1!»[0]»1, [О, !] зйы ы а д»»[0] сйы.— ! ' (2.!29) Лискретный случайный процесс еж [и] с корре.жцнонной фужаией (2,!27) имеет. очевидно, спектральную плотность Р.(а) =~']Р(()-г). где Р(а) определяетса формуеой (2.69) прн р е "'.
Путем несложных преобразований молвю произвести факторизацию спектралгиой плоте»сти Р, (з), в реву ~агате получим Р ( (ае+ а,л) (а, + а, л-') (1-р)(1-Е -') (2.!29) , 1 — р*+ а (1+ р') — )г [ ! — р' + а (1 + р')]' — 4а'р' . а,= сет 2 е (2;130) (2.131) аскер а,=— аг Из формулы (2.129) пепосредсгвющо следует выражение для иь редаточпой функции дискретного фильтра, формирующего из дискретного бкерго щуна л[я] с паранетрамн (О, !) последовательность значений е,м [л] первой разности моделируемого процеща".
аз+ агк °:ее ( 1 рх »г Ча3=]]гг»(лМ) — корреляционная функция дискретных значений; проязводвой процесса й(!). Отсюда видяо. что в данном случае корреляционная фужщия . ° е [л, !] с точностью до множителя с созпадает с корреляциожюй '. о»»» функцией»г 1»[л] при всех л, кроме л=О. В точке а=О, как нетрудно ': убедиться, 'Х.
поцаннку и соа(петствып с (2.!19) передаточная Фуяюцш ФильтРа' формвруввцсто нз значений разности еы [л) значнння 2 [а] моделвруемого процесса й (ф, равна 1 К й(з)с= — э то сквснная передаточяая фуккшш от х [л) к $ [л] имеет вял а +а„з 1г, ~(г) 1(,~(з)У(,Е((з) 1 (1+ )з ] рзз ' Таким образом, приходим к следующему рекуррснткому алпгрптму формнровання дискретных значений Цл] случайного процесса со стацновзрнымн первымн приращевкшзв н эксноненцнальной коррелнцвонвой функцией производной [см. '(2.124)[: С [а] =за! [Л]+$[Гà — Ц. з~р [л] = а,х [л] + а,х [л — 'Ц + рай!,1 [л — Ц [и) = а,х [л] + а,х [л — Ц + (1 + р) в [и — Ц вЂ” р( [л — 2[, (2. 132) гке х[л) — дискретный белый шум с параметрзмл (О, 1); аз и а~— коэффициенты, определяемые по формулам (2.139), (2:131) п ~(2.123).
Результаты, полученные нз рассмотренна данного примерз, будут пспользовавы в четвертой главе. Прпмер 2. Рассмотрим моделирование вянеровского случайного процесса 1.го порядка. Первая пронзволная его является белым шумом со сншпральной плотностью Фз. Поскольку корреляционная функция пронзводной процесса является б-функцией РРП(т) = Изб(т), то, очевидно, согласно ~(2.121) !11 ) Фз(31 — [ч[), [ч[~Ы, О, [ч] ~~ йЕ. р(~1О [л, ц Г О, [л[>О. ' 2(дк в следовало ожидать, случайныр процесс епгы'» [л) является в данном случае днскретмым белым шумом с двсперскей 1узбг. Используя зто, в соответстапн с общим алгорптмом (2.!18) получаем следующий алгорвтм для формнрозапнн дксиретных реалнзаций анне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
