Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ровского случайного процесса 1-го порядка: в [л] = к [л — Ц + р'У~Я х [л). 111т! [и, 1[= )У ~ Ь, (ий1- В) А, (В) ай= аг аг У~ ~ (а1 — [В[)'г!В = 2!У~ ~ (Ьт — В)т ИВ, и = и, -ат о йг. $ (д( — В) ( — й!) ий, о (2.133) [и[=1, ю [и[)!. После вычвслеиня этемеитарвььт ввтегралов в (2.133) найдем 2йГгй)а 3 ' и= — Π— [и[=-1, г!т! [и. !) —. (2.134) О, [и [ У 1. Корреляционной функции (2.134) соответствует спектральная плот- ность дискретного случайного проц оса чы11 аида 2 / г !1 Р(а) = — ВГ й!' 1+ — + — =-)У.йт'[аь+а а[*, где Вг 2 — у'3 1 [~б ' " ~Б ф'2 Отсюда для формирования постедовательиости авачеивй ч1 ! [и] поду- чаем следующее рекурреатиое уравнение аагг! [и[ =а,х [и[+а,х [и — ![.
Окончательно ллн моделирования винеровского процесса 2-го порядка в соответствии с (2.118) вмеем алорнтм $ [и[ = ам!1 [и[+22 [и — 1) — в [и — 2[ = =а,х [и[+а,х [и — 1[+ 2$ [и-1[ — В [и-2[. [[ример В.-Йайдсм параметры рскурревтнбю ал ритма для мМ челврованнн виверопского очучайного процесса 2 парника. Со-1 гласно формуле 1(2321), полн ая и» ! (т) = !уьй (ч),, по!учим 2.11. Модапйрование марковских случайных процассба Важное теоретическое и практическое значение имеют марковские случайные процессы (7, 18].
С точки зрения моделирования на ЦВМ марковские случайные процессы — это одни из наиболее простых процессов. Действительно, марковским называется случайный процесс Е(1), у которого условная плотность вероятностей ш($„,1„)$„. ь 1„ь ..., Еь 1~) значений Е = =$(1„) в произвольный момент времени 1 >1„, удовлетворяет соотношению ш(Е„, 1„~Е„„1„„..., Е„1,) = — ш(Е„, 1„!Е„„1»,) = — ш» (Е» Е» — з 1» 1»- ) (2.135) т. е.
зависит лишь от значения процесса в одни из предшествующих моментов времени (78). Время 1 может быть как непрерывным, так и дискретным. Условная плотность вероятностей (2.135) называется плотностью вероятностей перехода из состояния Е„~ в момент времени 1», в состояние 4„в момент времени 1 .
И общем случае — зто функция четырех переменных. Для моделирования марковского случайного процесса достаточно знать условную .плотность вероятностей перехода (2.135) и плотность вероятностей в(Е», 1») начального значения $» в момент времени 1м при этом получение дискретных реализаций процесса сводится, очевидно, к следующему. Формируется реализация Яе случайной величины $П> с функцией плотности ш(Ь, 1»), затем формируется реализация Я» случайной величины $~ с функцией плотности ш(Еь 1,(Е», 1о) и т. д.
В результате получается последовательность чисел 'Е, ='Е(1») Е = 'Е(1,) изображающая дискретную реализацию '~(1 ) марковского случайного процесса Е(1) с заданной условной плотностью вероятностей перехода ге»(9, С и 1, 1 ~). Для получения следующей реализации процесса повторяется та же операция; в результате получается последовательность чисел 'Е(1в), зя(1~),... и т.
д. При моделировании марковскихслучайныхпроцессов для формирования на ЦВМ случайных чисел с заданным 149 зиноном распределения могут быть использованы методы, рассмотренные в б 1.4. В более общем случае рассматриваются И-мерные ' марковские проиессьц т. е. У взаимосвязанных между собой процессов В1(г), ..., $ (1), в совокупности обладающих марковскими свойствами. Этн процессы характеризуются условной плотностью вероятностей перехода из состояния $~„ь ..., 4н„, в момент времени в состояние $1 „, ..., йн „в момент времени 1„, которая имеет внд п~(~з п ' э йн !~ай~ ~ д ''' чн ~~ ~д Моделирование Ф-мерных марковских процессов по заданной условной плотности вероятностей перехода (2!!Зб) в принципе не отличается от моделирования рассмотренных выше одномерных (простейших) марковских процессов, однако получение Ж-мерных дискретных реализаций с ростом У усложняется, так как На каждом шаге требуется формировать реализаепии Ф-мерных случайных векторов.
Последнее, как было показано в !) !.5, вообще говоря, является непростой задачей. Другим обобщением одномерных марковских процессов являются одномерные марковские процессы Ф-го порядка, отличающиеся от простейших марковских процессов тем, что плотность вероятностей перехода в очередное состояние зависит не от одного, а от Й предшествующих состояний. Показано (78), что марковский процесс У-го порядка можно рассматривать как компоненту Й-мерного марковского процесса, поэтому моделирование марковских процессов )т'-го порядка может быть сведено к моделированию Ф-мерных марковских процессов.
Выше шла речь о моделировании марковских процессов общего вида: на характеристики процессов не накладывалось других ограничений, кроме указанных выше..В приложениях распространенными являются марковские процессы, которые удовлетворяют дополнительным условиям, чаще всего, условию нормалыюсти распределения, стационарностп (однородности), а также условию нормальности н стационарности одновременно. 160 В этих случаях моделирование марковских процессов упрощается. Действительно, у стационарных марковских случайных процессов плотность вероятностей перехода вида (2Л35) н (2.136) зависит лишь от разности Л4„=4„-4„з Это упрощает процесс моделирования (в особенности для одномерных марковских процессов), твк как уменьшается число аргументов функции гвч(аде $и-ь гп 1а-!), которую требуется хранить в памяти ЦВМ при моделировании.
Число аргументов прн переменном шаге дискретизации уменьшается на одну, а при постоянном — на две единицы. Функция шз имеет в этих случаях вид гвч(йп~ $и-ь Юп) н ше(ба. йи-ь М) соответственно, Где ,йг =сопз1. Прп моделировании нормальных марковских процессов, у которых плотности. вероятностей перехода види (2Л35) и (2.!36) являются нормальными, на каждом шаге требуется Формировать реализации только нормальных случайных величин (одномерных нлн И-мерных соответственно), что осуществляется, как было показано в первой главе, сравнительно просто. Можно показать (781, что нормальные марковскпе процессы У-го порядка являются нормальными случайными процессами, й-е производные которых стационарны и имеют рациональный спектр (см.
6 2.10), а при А=О— просто ствционарнымн нормальными случайными процессами с рациональным спектром. Методы моделирования таких процессов по их корре,чяцнонно-спектральным характеристикам были рассмотрены в % 2.3; 2.4; 2.6; 2.9; 2ЛО. В частности, марковским стационарным нормальным процессом 1-то порядка является экспоненциально-коррелированнмй процесс, который неоднократно упоминался выше ($23, пример 2; $2.6, табл. 2.2, М 1 и др.). Этим единственным процессом н исчерпывается класс марковских стационарных нормальных процессов 1-то порядка (781.
К марковским ,стационарным нормальным процессам относятся процессы лй '2 — 5 в табл. '12, б 26 (процессы 2.го порядка). Три примера марковских нормальных нестационарных процессов рассмотрены в й2ЛО (случайный процесс со стационарной экспоиеяциально-коррелированной первой производной и вниеровские процессы 1-го и 2-го поряд'ка). Вопросы моделирования марковских стационарных 151 нормальных случайных процессов йг-го порядка с пере-:; меннным шагом рассмотрены в работе «бб).
Специальным классом марковских случайных процессов являются марковские цепи (71 Они от,чнчаются от рассмотренных выше марковских процессов тем, что множество возможных состонцпй нх является дискретным н, в частности, конечным (конечные пепи Маркова). Марковские пепи характеризуются матрнцей вероятностей перехода ) ~'м(1,1.,))~ ' '"' (2 137) (=1, 2,... из состояния Вг(1„.1) в момент времени 1„~ в состояние 5х(1 ) в момент времени 1„, где еы — величина с дискретным множеством значений 4ь йь .. Моделирование марковских цепей по заданной матрице вероятностей перехода (2.137) в принципе осуществляется так же, как и моделирование марковских процессов по заданной условной плотности вероятностей перехода.
Отличие состоит только в том, что вместо реализаций непрерывных случайных величин на каждом шаге требуется формировать. реализации дискретных случайных величин (с бесконечным или конечным множеством значений). 2.12. Моделирование случайных потоков Потоки событий, происходящих в случайные моменты времени 1ь 1,>ть ..., („)1„ ь ..., являютгя специфичным классом случайных процессов.
Оиучайпые потоки широко используются в качестве математических моделей в задачах, связанных с исследованием систем массового обслуживания(10, 39), в задачах приема импульсных сигналов (6, 73), в задачах надежности (89) и т. п. Возможны ,разлнчные эквивалентные способы задания случайных потоков (б, 39). Наиболее удобным для моделирования способом задания потоков общего вида является задание их с помощью многомерной плотности вероятностей интервалов между моментами наступления событий (2.138) ж'(т3 ' ' тк) где та= 6а — А-ь (в=О 182 Йри таком задании случайных потоков моделйрбвй-. пнс нх в общем случае сводится, очевидно, к формированию иа ЦВМ реализаш~й случайных векторов ((тДй ='1,и с законом распределения (2.138), для чего могут быть использованы методы, описанные в $1Л, '1.6. Моменты наступления событий получаются при этом по простой рекуррентной формуле (ь=гь — ~+ты Случайные,потоки столь общего вида встречаются в приложениях весьма редко.
Обычно рассматриваются так называемые потоки с ограниченным последейстаием (391 у которых интервалы ть ..., т„между событиями статистически независимы в совокупности, т, в. ,в ( „..., „).=,в, (,) в, (,) ... в (ъ). Эти потоки задаются последовательностью одномерных законов распределения вь(т), А=1, 2, Потоки с ограниченным последействнсм, у которых вя(т) =ве(т) =... вм(т) =щ(т), называются рекурренгными (стационарными) потоками.
Онн задаются двумя законами распределения в~(т) н в(т). ~Потоки, у которых в1(т) =в(т), определяются единственным законом распределения в(т) н называются просто рекуррентными (стационарпымн) потоками [39]. К таким вотокам относится, в частности, широко распространенный пуассоноасний (просгейишй) поток, у которого закон распределения интервалов между событиямп показательный в(ч)=Ае "', ч ==О. (2.139) Видим, что потоки с ограниченным последействием в соответствии с терминологией $1.1 являются непосредственно заданными случайными процессами, поэтому моделирование их является довольно простой задачей. Действительно, для получения реализаций последовательности моментов наступлении событий 1ы А= 1, 2,..., в этих случаях достаточно сформировать последовательность реализаций ты и=-1, 2, ..., случайных величин с заданными законами распределения н~к(т) соответственно н вычислить моменты наступления событий по формуле 1ь Гь 1+ты Моделирование рекуррентных потоков упрощается еще и тем, что случайные величины тд (кро1бз '."Е ме, может быть, т!) имеют одинаковый закан распреде-'! пения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
