Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Иример 1. Пусть задав двумерный непрерывный стационарный центрированный случайный процесс йй (1) 1) с корреляцконной мат- рицей 3. В соответе1ъпн с выражениями (Ы1Ц п (й,)12) вспомогательная матраца 1Ще) $ имеет впд ПВ(еа-~~.. ав (Ьзы +е') 1 сггг а„(Ьзз+ вт) 4. В рассматриваемом случае нужно найти лвюь один везомо. гатсльпый полянам Сс(в). Для этого требуется найти коряв знаменателя у элемента Вм(е) матрицы ЬВ(в)К т. е.
корни полннома еъэ+Ьгя, Этп корни равны в5 = ~ ) Ь, . Следовательно Сг(в) =в+1Ьм. 5. На заключительном агапе требуется произвести факторизацию дробно-рациональных функций А (в) аы (С (е))э (Ьт +е)(е -Ь~Ь„)( — )Ьв) а„аю (Ьы+ в*) А,(в) =Взг(в) = Ьтю+ в' а„(Ь|. + вз)з аы ',(Ь~з+ вэ)'(Ьэ,+вз) '"'в) =(( — )Ь. И вЂ” )Ьв) 1' Ка (в — в,)(в-вв) рам (е — )Ь,з)'(в — )Ьв) где е, и вэ — ато те из корней — Ь ~ УЬ' — 4ас ег,з,э.е= ь полниома ав'+Ьвз+с, которые имеют положительную мнимую часть. еде а=апаэз- г.' Ь=йама„Ь1 — лайзы — а, Ь;,с=а„а Ь,— — 4ЬВЬ,',. В данном случае корин числителей н знаменателей у дробно рациональных функцнй Лг(в) и Аз(в) легко вычисляются.
Используя кор. нн, лсжагцне в верхней полупласкосги,(корни с положвтсльпымн мнимыми юстямн), получим Уа» (в + ) Ь|з) (в — ) Ь„) (в — ) Ь,т) а„Уа„(Ьо+в') (в+)Ь,з) Уа (в — в,)(в — вз) а„(Ь„+ т)( — )Ь,,)( — )Ьв) ӄ— „(в )Ь„)т(в )Ьв) ПеРелаточнУю фУикцпнг Кя,()в) в матРице ЦК()в)(! можно несколько упростить, уиножин шслнтель и знаменатель па (гз+)Ьп)(язв — )Ь~з) и сократив полученное выражение на (Ь„+ей) и (Ь1з+гзт), тогда а„в+) Ь„ Км()в)-у.— (в )Ь|т)* Путем непосредственной подстановки легко убедиться, что матрица !!К()в)!! удовлетворяет условию ЦК() )ЦЦК( — ) )и'= ()К»ов) 9 11!)К„( — )в) Км( — )в) 11 Элементы Кы()тл) передаточной матрицы !!К()в)!! представляют собой передаточные фжшции двумерного формирующего фильтра по каналам «И» вход — й-й выход» в смысле преобразования фурье. Для получения.
передаточных функций в смысле преобфазованпя Лапласа перейдем от переменной )в к переменной р=)в: Уаы (р — Ьгз) (р+ Ь„) (р+ Ьв) ЦК(р)Ц=- аза (р Ьм) Уа„(р+ Ь, )з уа(р ) вг) (р — ) ) Уа„(Р+Ь„)' (Р+ Ьзт) 'На рис. 2.9 показана структурпан схема двумерного формирующего фильтра, иа выходе которого образуется двумерный случайный процесс с требуемыми спектральными хнрнктеристинами, если на вход фильтра воздействует белый шум.
Заменяя непрерывный двумерный фильтр соответствуюшмм дискретным фильтром, получим алгоритм для формирования иа Е(ВМ дискретных реализаций двумерного случайного нормального процесса, т. е. дискретных реалиааций двух стационарных и стационарно-связанных нормальных случайных процессов с экспоиенцнальными авто- и взаимно корреляшь овиыми функциями вида (2.115). Прн другом подходе к синтезу формирующего фильтра нужно сначала найти спектральную матрицу соответствующего дискр«тного многоьп рното случайного процесса цца)ц. В ржсматриваемом !36 ()кончательио передаточная ма грнца формвр) ющего фильтр~ в соответствии с (2.113) запишется н валс цК()в)ц= яр«мере эта маурй«а нмеет впд 2 !! !1 — р г!' «!з [1-рог!' [1-р.эг!* гле 3 з 3.
з х х з г. «!! = — [1 Р!!) а!!1 аю = (1 — Р!г) аоа~зг; агг — (1 — Рзт) ав!1 -ь ы ь! Пронзведя факторизацию спектральной матрацы [[г(г) [[ аналогично факторнзацин спектральной матрацы Ц 6 (ы) ], получим фа,! (г — р„) О (1 — р!!г) (1 — р„г) аы (г — ро) — (г — г,) (г — г„] ьга ~а!! (! — р!гг)! ~аы (1 р!зг) (1 рог) (2.11б) 2 [(а(г) 2 = Здесь г, н гг — это те нт корней абсолютная величина которых больюе еднпнпы, где 3 3 г 4 а = а «В, р з — а гр!грм; $ =а!з [Р (1+4)+йм(1+Ря!!П вЂ” 2 !!©]з Р «(1+Й' у ="м 4(1+у~ ) — "„(1 — ры) (1+ р').
$, [я[ =йм [я[. ~.[я[-Ь! [я[+2 «[л] где $„[я] = — р„у~~,х! [я] + 2'аммх! [я — Ц + + (р!! + р з) $!! [я] - рмр йз [п-21' Передаточной матрице !(2216) соответствуег следуюпгнй рекурревтпый алгорнтм формирования лмскретных реаяпзацнй процессов 2![я] н 2!(л] из реалнзапнй везавнспмых последовптельвостей я![я] и хз(л] независимых нормальных случайных чпсел с яарзметрамн (О, 1) . (дпскретвый двумерный белый юум) Ег1 [л) = — —." Е„х, [и) + ~' — ' х, [и - Ц + + 2рыЕы [и — Ц вЂ” рмйи [и — 2[; г Еы [и[ = )ау, хг [и) — ~/ —, (а, + кк) хх [и — Ц + хк [л — 2[+ + (2вг + рхг) Есг [и — Ц вЂ” 2нх (у~ г + 2ри) Ега [и — 2[ + р1гриЕгг [л — 3[. Нопнсмп1ыс рскурревшые уравнения лепсо получить, сели произнести идентификацию передаточных функций к ы(к), 1(.гк(а) и К,Ыс) матрицы (2.Н6).
рассмотренный пример показывает, что факторизация спектральных лсатриц осуществляется сравнительно просто, если удается аналитически найти нули соответствующих полипомов. Прн факторизации спектральной матрицы непрерывного двумерного процесса это не представляло труда, так как для определения пулей требовалось решать только квадратные н бнквадратные уравнения. Прн факторизации спектральной матрицы дискретного двумерного процесса были квадратные уравнения н возвратное уравнение четвертой степени, также допускающее аналитическое решение.
В других, более сложных случаях нули полинома не всегда удается найти аналитически. В этих случаях прибегают к численным методам решения уравнений л-й степени. В общем виде процесс факторизации можно реализовать на ЦВМ как стандартную программу. Для этой цели кроме приведенного здесь могут быть использованы и другие алгоритмы факторизации [9[, 95, 971 Следует заметить, что все существующие в настоящее время алгоритмы факторизации спектральных матриц, вообще говоря, весьма трудоемки. 2.!О. Моделирование настационариых нормальных случайных процессов со стационарными приращаниями В данном параграфе рассматривается моделирование специального класса нестационарных нормальных случайных процессов, а именно случайных процессов со стационарными приращениями (СПСП]. 1Зо По ппределенназ (71, 90), случайный процесс Е(1) сд стационарными й-ми приращениями (СПСП-й) — это тиюй случайный процесс, А-я разность которого в~„' (1) является стационарным случайным процессом, где е~',~ (8) =е,'(Ф) =Е(Ф).— Е (У вЂ” И).
'Такому определению, как нетрудно видеть, удовлетворяют случайные процессы, у которых математическое ожидание гп(1) является полиномом й-й степени и л-я производная $~М(1» представляет собой стационарный случайный процесс. В дальнейшем положим гл(1) — О. СПСП используются, например, прн описании траекторий движения некоторых целей в радиолокации (2), когда скорость, ускорение или более высокие производные закона движения целей можно считать стационарными случайными процессами. Другим примером СПСП является набег фазы генератора, модулированного по частоте стационарным случайным процессом (59, 7Ц.
С точки зрения цифрового моделирования в качестве основной характеристики СПСП й удобно использовать корреляционную функцию А-й разности процесса: )Е.' '(т* й1) = й(К-'.(1) е~' (1 —.чИ (9 117) Рассмотрим моделирование случайных процессов со стационарными л-ми приращениями по заданным корреляционным функциям их й-х приращений. Для получения моделирующих алгоритмов выразим й-ю разность а~,~(1) СПСП-А через значения самого процесса $(1). Для СПСП-1 вас'(1) =Е (6) — Е(1 — й~). для СПСП4 ам(м (О=Е(0 — Я(1 — И)+Е(1 — 2М), вообще, для СПСП-й, как нетрудно показать, „" (1) = ~ ( — 1)~С~Е(1 тй1), ююе где С = — биномиальные коэффициенты. От«" И л м1(п — м)! сюда Е(!1= —.ехю (Ю) — ~ ( — !) С Е(Ю вЂ” тдг).
ю=! Переколи к соответствукхцим дискретным функциям, получим Е[п]=а~~~ [п] — ~~ ~( — 1) С'"Е[п — т]. (2.118) е~=! Например, для случайного процесса со стационарными третьими приращениями Е [л]=з~ю [п]+ЗЕ[п — Ц вЂ” ЗЕ[п — 2]+Е[п — 3]. Согласно (2.118) передаточная функция дгюкретного линейного фильтра, формирующего из А-й разности СПСП-и дискретные значении самого процесса, имеет вид (2.119) Итак, дискретные реализации СПСП-й ьюжгю формировать по рекуррентиому алгоритму, используя дискретные значения з~," ,[п] й-']~~разности процесса.. Поскольку й-я разность является стационарным случайным процессом с корреляционной функцией (2.117), для формирования ее дискретных значений можно использовать рассмотренные выше алгоритмы. Таким образом, для моделирования случайного процесса со стационарными А-ми приращениями можно использовать следующий способ.
На ЦВМ с помощью рассмотренных выше алгоритмов моделируется стационарный дискретный случайный процессе„[п]с корреляио ционной функцией !г,' '[п, Ц=)г~"'(по(, ог), а из него согласно рекуррентному уравнени1о (2.118) формируется требуемый случайный процесс. При выработке начального значения Е[0] процесса Цп] предыдущие 140 егб значения~Я-п1, и=1, й.
можно либо положить рав.- ными нулю, лнбо задаться пмн, исходя из начальных условий решаемой задачи, например при моделировании траекторий целей, движущихся со случайным стационарным ускорением (СПСП-2), для нахождения Я вЂ” 1), Ц вЂ” 2) можно использовать заданные в качестве исходных начальные значения положения цели н ее скорости. ~На практике случайный процесс со стационарными приращениями не всегда удобно характеризовать с помощью корреляаиошюй функции его й-й разности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
