Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В данном параграфе приводятся результаты применения этих методов для моделирования стационарных нормальных процессов с распространенными типами корреляционных функций. При этом проделана вся необходимая подготовительная Работа и получены простые моделирующие алгоритмы, пРигодныс для непосредственного непользования. Кроме 'гого, даны примеры практической реализации моделиРующих алгоритмов. В табл. 2.2 даны типы корреляционных функций и энергетических спектров моделируемых процессов и соответствующие им алгоритмы. Ниже даются необходи,,мые пояснении.
'$ 99 рерреннцненнеа Фрнацнн й !т! ра но рядн рр Лнаннтическее ты венное ! ГраФОК ,,— ве!т! е'е 'е 1т1сое ет е — в !т1(сот ее+ — е о е1т1) ве рр йе йрр рф цтр Тее нтр в .*,— в„! т 1(еое т — е'и «!а! ) "е рр ц-арсад— р-а' т„ р .те — в.1т1!1, в.1т 1! еп Вас(кетееескнй спектр О( 3 = ~ (((т) с (нтес -'ес Анпхетнеесксе еирвжекне < — '. (Х(~1, О, (Х(> (, ееп — (Х( и — е Х и н еа е(н х н — —.к=в Н» ХЕ Н ТМР»метре алгоритма ! 04 ЬЬ ио ио- рвдку Модслерувзщва влгорютм ( (и! = аю» (И! + 4 Ь,й (и — !! ( (и! = о » (и! + + а,» (и — ))+Ь 2 (и — Ц+ + Ьй [и — 2! аю =ю ~ ! — Р»! Ь, = р: р с †'!», т, —.. «,а! и» = ею= а 1»" (»к )гг е2--4 2))2; а, =ааю/а: Ь Ь, =2р сов !: Ь,= — рк ю = р (р* — !! со»Т»" а,=! — р'! Р=с — Т.
Т = йг, Тю — — ЪЯ , = а»=а 1/ («га Тг 2-ааа))2! а,=ага)е: Ь, = 2Р сов Тю: Ь»- — — Р', ае — — Р (Р» — ! ) сов Тю + + — "(! + Р') ра)иТ' е, —... ! — Р» — 4)а — в)и '(1сою Т р-.» ™. Т = ю„йт. Те= ай! а = а» =-а )/ (*,2 Тг».— юв )(2! а, = а ъ)а! гр 2 — Г ! Ь Ь,=рр, Т)Ь,=-Р*: .= р ( р* — ! ) сгм Тю — ( ! + Р ) Р в)и Те ию ,» ! Рю + 4р» — а!и Те сов Тю! р — с Т . Т = и й(, Тю —— »»»М. ,г — е» = $/ (ю2 М (гра2 (ат))2! от= еев)е; 2,=2Р! Ь»= Р»! ю= Р (Т+Т,) — Р(! + Т ) аг р=е !» Тю --и й! Парам.тры алгорвтма е в'и таФ 1,= авг ,вг № по по. рраввввругопгпй влгорвтм рпвв 2 Р В[в[=%а с «!л — 2[ лс — Р И вЂ” 1 а [л[ = св р' л[в — 2[ л=р П[ггрголжеиис либл.
л.л ар2 '2[" =а вг, С„=2а1ат — . 1 ([Г2: чг [„ — 1+[,22* с = грг=[ .1 Ф[: 1 ~ ! 3 г — — непа» часть чвела — . Г = чаМ. Т 2» Заданный стационарный нормальный непрерывный:: случайный процесс $(!) с корреляционной функцией', Й(т) изображается на 1АВМ в виде дискретной после-! довательности его значений, относящихся ко времени'1 („=пЛА где Л! — шаг дискретизации, и — целочисленный ".
аргумент. Все рассмотренные здесь алгоритмы предна-.' значены для получения на БВМ дискретных, неограни- ' ченных во времени реализаций Я4=4(пЛ/) моделируемого случайного процесса $(!). Во все эти алгоритмы заложен принцип преобразования последовательности 4п! независимых нормально распределенных случайных чисел с параметрами (О, !) (дискретный белый шум) в последователыюсть Яп), коррелированную по закону )г(4= МЯЦЯМ+п)) =й(пЛ!). Случайные процессы с корреляционными фупкцнямн, помещенными в таблице нод № ! — 5, относятся к классу случайных процессов с рациональной спектральной плотностью.
Для моделирования таких процессов наиболее удобным является применение разностных уравнений ($2.3), что приводит к алгоритмам, не имеющим методической погрешности и сводящимся к простым рекуррентным соотношениям. Алгоритмы № ! — 5 получены этим способом. Алгоритмы № ! и 2 для моделирования процессов с экспоненциальной и экспоненциально-косинусной корреляционными функциями уже рассматривались в 3 2.3 и пояснений не требуют. Алгоритмы № 2 — 5 одинаковы и отличаются лишь значениями параметров аь аь Ьь Ьь нахождение которых в каждом конкретном случае сводится к вычислениям по формулам, приведенным в табл. 2.2.
При выводе выражений для вычисления параметров рекуррентных формул в алгоритмах № 3 — 5 использовались преобразования, рассмотренные в $2.3 на примере экспоненциально-косннусной корреляционной функции: спектральная плотность Р(а) последовательности Цл) для каждого типа корреляционной функции записывалась согласно (2.5!), суммирование соответствующих бесконечных в обе стороны рядов осуществлялось по таблицам односторонних дискретных преобразований Лапласа (851 а факторизация числителей полученных дробно-рациональных спектральных функций производи- )06 лась'путем разложенйя полиномов А'(г) на множители (полииомы имели порядок не выше второго) с последующим использованием корней полиномов согласно выражениям (2.61) ~и (2.62). Знаменатели спектральных функций оказывал нсь автоматически фа ктори зова нными.
Для моделирования случайных процессов № 6 — 8, которые не относятся к классу процессов с рациональной спектральной плотностью, бьи применен метод скользящего суммирования как наиболее эффективный в данном случае. Согласно алгоритмам № 6 — 8 последовательность Ял) получается методом скользящего суммирования последовательности х(п) с весом сь Выражения для весовых коэффициентов были получены путем интегрирования энергетических спектров процессов по формуле (2.12).
При этом полагалось, что частота дискретизации для случайного процесса № 6 !процесс с равномерным в полосе ( — го, ы ) спектром) больше или равна ы.. Относительно процессов № 7, 8 предполагалось, ч-,о частота дискретизации достаточно велика, так что верхний предел в интеграле (2.12) можно принять равным бесконечности. Поэтому выражения для коэффициентов са в алгоритмах № 7, 8 следует применять при у,= =м М~Об.
Замена конечного предела бесконечным позволила в данном случае свести интегралы типа (2.12) к табличным (25). Алгоритмы № 6 — 8 являются приближенными, однако при увеличении параметра р методическая погрешность может быть сделана пренебрежимо малой. При выбранных значениях у.
и р погрешность метода легко оценивается путем свертки весовых коэффициентов. Пример вычисления коэффициентов сь н расчета погрешности метода для случайного процесса с корреляционной функцией № 8 был приведен .ранее в $2.2. В этом же параграфе дано описание алгоритма для моделирования случайного процесса № 9 (см. алгоритм (2.48)). Алгоритмы, приведенные в табл.
2.2, были подвергнуты практической проверке. Проверка производилась путем выработки на ЦВМ реализаций моделируемых случайных процессов длиной в 1 000 дискрет при а=! и при заданных значениях параметров у и ум По этим реализациям вычислялись выборочные корреляционные функции, которые сравнивались с заданными корреляци- 107 Рая г ! д — ! г - 3 Фй/ Ф,О цгф и г ! О -,! -3 О ОД г О!1 л 3 Р О -г и аа га юОРООгьлгеот мо ОО ю гоглм (Н1 Я г О гО гО гО «О и ! ! Ю РОгО аО ~ 1(зг 3 г ! О г Рис. 2.5. 108 оииымп функциями. Псходпые независимые случайными числа х(п1 вырабатывались по стандартной программе';, датчика нормальных случайных чисел для 11ВМ М-20.! При выработке начальных значений Я01 реализаций: случайных процессов М 1 — 5 в качестве Я вЂ” Ц, 4 — 21 брались выборочные значения независимых нормальных случайных чисел с пнраметрамн (О, 1).
Фг~/ ) !О На рис. 2,5 показаны начальные участки реализаций длиной в 400 дискрет некоторых случайных процессов из табл. 2.2; для удобства реализации изображены непрерывной линией. Рядом с реализациями изображены заданные корреляционные функции (сплошная линия) вместе с корреляционными функциями, вычисленными на ЦВМ по этим реализациям (пунктир). ГраФики помечены теми же номерами, что и корреляционные функции в табл. 2.2.
Значения параметров у. и уэ выбраны так, чтобы интервалы корреляции у всех моделируемых процессов были примерно одинаковыми. Из рисунка видно хорошее совпадение заданных и выборочных корреляпионных функций. Случайный процесс с корреляционной функцией № 2 недифференцируемый, поэтому его реализации имеют не такой гладкий характер, как остальные четыре .реализации днфференцнруемых случайных процессов.
Между реализациями № 2 и 3, а также между реализациями № 6, 7 можно заметить определенное сходство, которое объясняется тем, что реализации формировались иа ЦВМ путем преобразования одной и той же дискретной реализации белого шума. В начале реализаций № 2, 3 видны довольно большие отрицательные выбросы. Эти выбросы являются результатом искажения начальных участков моделируемых процессов из-эа переходного процесса. Действительно, начальные условия выбраны так, что только случайные процессы № ! и № 5 — 9 являются с самого начала стационарными.
Для того чтобы избавиться от переходного процесса при моделировании случайных процессов № 2 — 4, нужно П и вычислении их начальных значений ЦО) в качестве 0)=ть х( — 1)=ть Ц вЂ” Ц=ть Я вЂ” 2]=та вместо независимых случайных чисел, как это было принято выше, взять четырехмерный случайный вектор !! ть !! Й=1,4 с корреляпионной матрицей !! й'. !! '= " = !! М1 ьтд !! ' Э=1,4 Э= 1,4 о о о О 1 О л, о о 1 я[1) ~~ (1) 1 I Элементы этой матрицы чегго находятся, если в соот:: ношении М[тззч) выразить хз=Е[ — 1] и зч=Е[ — 2) в соот ': ветствин с рекуррептнымв'алгоритмами М 2 — б и учесть;:; что к[и) — последовательность некоррелированных слу- '.; 'чайных величин, а Е[и] — последовательность случайных,:,' величин с заданной корреляционной функцией юг[и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
