Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рассмотрим теперь случай, когда корни передаточной функции непрерывного формирующего фильтра простые, но не обязательно вещественные. Тогда импульсная переходная характеристика фильтра также будет являться суммой экспонент вида (2.76), но эти экспоненты либо частично, либо полностью будут комплексными. При вещественной импульсной переходной характеристике Ь(() комплексные экспоненты будут попарно сопряженными, так что можно записать т./2 т 6(!)=2)ге ~ Сзе "+ ~ Сзе ', зт! й=т,+! где пг,— число комплексных корней; рз,й=1, т, — комплексные козни; рз, й =и,+1,3п — действительные корни. В этом случае по аналогии с рассмотренными выше примерами нетрудно прийти к следующему рекуррентно!йу алгоритму формирования дискретных значений.
шума на выходе непрерывного формирующего фильтра: т,/2 $[п[=Же я $„[п[+ ~р~ 22 [п[, (2.79) Фт! аттз+ ! где Ел [я[ =раЕл [и (]+ЬЕав-г [и]+)ЬЕалг Ь= ! ° гп,|~ Еа[п]=раЕл[и — !]+ЬЕл[и], Ь=лг,+ (,гп; р Щ рл=е ", Ь=-(, ги; [[ЬЕл [гг] [[Ь= (, и — последовательность независимых между собой гп-мерных нормальных случайных векторов с коррелированнымн координатами ЛЯл]. Элементы корреляционной матрицы вектора [! Л$л[п][[ имеют внд ((„=М [ЬЕ,ЬЦ =-['Ь л«) Ь,(!) а, (2.8О) где Ь' «,(()=Кейн((), Ь' а(У)=йпйл(Г), Ь= (, т,ф!; Ьл (() = Сл е"к' . Алгоритм (2.77) отличается от алгоритма (2.79) тем, что некоторые рекуррентные последовательности $л[л] последнего являются комплексными.
Пример 3. Рассмотрнн процесс днскринзлцнн непрерывного формнрукдцего фнльтра, у которого псрелаточная функция Ач+ Лно ' В.+Вон+ ВИД имеет два комплексно-сопряженных корня: — В, + ]гит~ — аВ,В, ,о, =-,о*„= .-.. а+! ), 2В, гле В, — 4В,В, <О. Импулвснан перехолная характернстнка цяглвтра имеет вчд Ь (й =- Ь, (1) + ьх (Г! = С, ЕЛ'Г+ С», ЕЛ'Г=- = 2 не С, емг=л (се С, ечг+(ф~+ч~=.УСге соя ()Г+ т), Г ~ О, где С, ° Сеа " В я +)1,=Се Ае+А, 1 !е з+ Вврг Алгоритм для формирования значений случайного процесса $(1) на выходе филвтра в соответствии с (2.79) сводится к одной рекурреитной формуле: я[п]=.2цей, [и[, ге [и) =рД, [и — 1)+ + йй, [и]+) дат [и).
где р еР А$4и], лйт[п] — координаты двумерного нормального случайного вектора с корреляционной матрицей (см. (2.30)) Интегралы в матрице [Щ[ в данном случае берутся. Это всегда будет иметь место для случайных процессов с рациональным спектром. Вычислив' аначения корреляционных ыомыггов и используя формулы (1.12), (1.14) длн формирования двумерного случайного вектора, получим йй1 [и) = У1~„х, [и], Ьй, [и) = /' йм .:~="- х, [и[+ у Йы — — х, [и), у Ю„ 11 где х~(л), хт[п] — последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами (О, 1). Аналогичные соотношения получаются при дискретизации формирующих фильтров более высокого порядка.
Из рассмотренного примера следует, что подготовительная работа при данном методе моделирования сравнительно простая. Достоинствами получаемых алгоритмов, кроме их простоты, являются отсутствие методической погрешности при любом шаге дискретизации и возможность выразить параметры алгоритмов в конечном аналитическом виде через параметры передаточной йб Ст ~ е~~ соат ()1+ т) гУ о Се ~е а(п([я+ 2) соа ([М+т)от Са ~ ее"г а(п Я+у) соа ([я+у)о и Ст ~ е~~а1пт ([(+т) гЫ о функции формирующего фильтра любого порядка, лишь': бы полюсы передаточной функции были простыми и точно известными.
Прн наличии кратных полюсов у передаточной функ- ' ции формирующего фильтра также можно найти рекуррентные моделирующие алгоритмы для формирования стационарных нормальных случайных процессов, несколько изменив используемый выше метод дискретизации. Однако при этом получаются более громоздкие выражения и не столь эффективные алгоритмы. Этот случай мы рассматривать ие будем. Довольно просто можно получить рскуррентные алгоритмы моделирования стационарных нормальных случайных процессов с рациональным спектром, если использовать цриблнженные методы дискретизации формирующих фильтров.
Этн методы дискретизации рассмотрены в третьей главе. Они разработаны для линейных систем любого порядка н для случаев, когда полюсы передаточной функции:известны, но не обязательно простые, и когда полюсы неизвестны. 2.4. Моделирование стационарных нормальных случайных процессов в неравноотстоящих точках Одной из особенностей рассмотренных в предыдущем параграфе рекуррентных алгоритмов, основанных на дискретизации непрерывных формирующих фильтров, является то, что они весьма удобны для моделирования стационарных случайных процессов с переменным шагом (в неравноотстоящих точках). Действительно, из принципа построения этих алгоритмов видно, что для получения очередного значениз процесса, отстоящего от предыдущего значения на произвольную рм величину И, достаточно найти коэффициенты рх=е ", где рх — пол|осы передаточной функции формирующего фильтра, и сформировать случайный вектор 1~ Аф, (( А=!, и, с корреляционной матрицей, определяемой коэффициентами рх (см.
формулы (2.78), (2.80)), т. е. достаточно сделать параметры рекуррептных алгоритмов переменными. В остальном процедура формирования случайного процесса остается такой же, как и при постоянном шаге. Поскольку параметры алгоритмов удается 96 выраз1(гь чераз параметры формирующего фильтра и шаг М в виде формулы, то пересчет параметров, необходимый для моделирования случайных процессов с переменным шагом, осуществляется довольно просто.
Следует отметить, что данный метод моделирования не имеет методической ггогрепгности как при постоянном, тйк н при переменном шаге дискретизации, в отличие от приближенных алгоритмов для моделирования случайных процессов с переменным шагом, которые можно получить путем замены постоянных параметров в алгоритмах, основанных на факторизации ($2.3), соответствующими переменнымн параметрами 157). Пример 1. Рассмотрим модслированис с псрсменным шагом случайного процесса $(1) с зкспопснпиальиой корреляционной функцией (2.68). Пусть гь — последовательность точек, в которых должны формироваться значения случайного процесса $(1).
Заменяя в алгоритме (2.24) постоянный параметр р = с "' переменным параметром р . получим слсдуюший моделнрухзший алгоритм: в(1)=р С(1 — )+~1 — р'л(п) где и г ) („=с ' "=е я (и) — послсдовательжкть независимых нормальных случайных чисел с парамстрамн (О,1). Как ужс отмечалось. для позучсния значений случайных пропсссов в нсравиоотстояших точках могут быть использованы рассмотренные в первой глава методы формирования реализаций случайных векторов, но ати методы по свосй зффсктивности существенно уступает рскуррснтным методам.
2.5. Сравнительная характеристика методов моделирования стационарных нормальных случайных процессов Выше были рассмотрены различные методы моделирования стационарных нормальных случайных процессов н различные пути проведения подготовительной работы при получении параметров моделирующих алгоритмов. Каждый нз этих методов имеет свои достоинства и недостатки, свои области наиболее эффективного применения. Ниже дается сравнительная характеристика этих метолов, цель которой — облегчить исследователю выбор метода моделирования, соответствующего его задаче.
7 — 160 йт Метод скользящего суммирования является универ-' сальным методом, пригодным для моделирования слу-': чайных процессов с рациональным и нерациональным;, спектром. Это, вообще говоря, приближенный метод,:; причем методическая погрешность может быть сделана ' сколь угодно малой, однако последнее достигается путем увеличения числа слагаемых в формуле скользящего суммирования, что уменьшает быстродействие. Если моделируемый процесс задан свой корреляционной функцией, а энергетический спектр процесса неизвестен, причем вычисление его путем Фурье-преобразования корреляционной функции затруднительно, то получение весовых коэффициентов в алгоритме скользящего суммирования целесообразно производить путем решения нелинейной алгебраической системы уравнений иа ЦВЫ Ц 2.2,п.
1). Если моделируемый процесс задан своим энергетическим спектром (аналитнчески нли же в виде экспериментально снятой кривой), а также в случаях, когда энергетический спектр легко находится по заданной корреляционной функции, получение весовых коэффициентов рекомендуется производить более простым путем— методом разложения в ряд Фурье, описанным в $2.2. п.
2. При разложении в ряд Фурье могут быть использованы как аналитические, так и численные методы, реализуемые на ЦВМ. В последнем случае для сокращения объема вычислений можно применять алгоритм так называемого быстрого преобразования Фурье, предложенный Кули и Таки 1100). Получение весовых коэффициентов методом факторизации ($ 2.2, п. 3) целесообразно лишь в случаях, когда моделируемый процесс является процессом с рациональным спектром, однако следует иметь в виду, что в этих случаях обычно более эффективно применение рекуррентных алгоритмов. Наиболее просто весовые коэффициенты в формуле скользящего суммирования находятся в тех случаях, когда известно, что моделируемый процесс является результатом воздействия белого шума на линейный фильтр с заданной импульсной переходной характеристикой ($2.2, п. 4).
Стационарные нормальные случайные процессы с рациональным спектром невысокого порядка цслесообраз- 98 но моделировать с помощью рекуррентных алгоритмов, которые наиболее экономичны по количеству элементарных операций и ячеек памяти и не обладают методической погрешностью. Описанные в % 2.3 два метода получения параметров рекуррентпых алгоритмов по заданной корреляционной функции илн энергетическому спектру моделируемого процесса по трудоемкости примерно одинаковы. Однако последний из них предпочтительнее, если нормальный случайный процесс требуется моделировать не в равноотстоящих точках. В заключение заметим, что методы моделирования нормальных случайных процессов продолжают совершенствоваться.
Например, в работах т1, 661 рассматривается несколько иной подход к -моделированию нормальных случайных процессов. Поэтому приведенные здесь рекомендации по моделированию случайных процессов не являются исчерпывающими и в дальнейшем, когда накопится более богатый опыт моделирования, могут быть дополнены. Некоторые дополнительные рекомендации по моделированию нормальных случайных процессов даны в следующем параграфе. 2.6. Алгоритмы для цифрового моделирования стационарных нормальных случайных процессов с часто встречающимися типами корреляционных функций Выше были описаны различные методы моделирования случайных пропессов, где рассматривалась в основном принципиальная сторона вопроса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
