Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Коэффициенты с4й], как это следует из формулы (2.20), совпадают с коэффициентами Фурье в разложе- нии функции Кь(]ы) на интервале ( — ы„а!,). Следова- тельно, сь(й] — ~0 при А — +-оь. Как правило, коэффици- енты сь(к] достаточно быстро убывают. Так, например, если функция г(ч(]ь!) непрерывна, то для сг(А] имеется оценка (7б]: с Щ~,д1йг где Я вЂ” некоторое положителыюе число.
Поэтому обычно достаточно ограничиться в (2.19) не- большии количеством членов и тогда можно записать $, ]и] ~ $„ [п] = ~ сь (й] х ]и — й], (2,2 1) ь= — р Поскольку исходная последовательность х(п] стационар- на, то статистические свойства последовательности $ (и] не изменятся, если алгоритм (2.21) записать в ви- де, аналогичном (2 1), т. е. и $„]и] =~ сьх]п — й], ь=1 где Н=2р+'!1, с„=со]й — р- 1]. Практически параметр р, ограничиваю!ций число ве- совых коэффициентов сь(к], можно выбирать из условия л 1 — —,1)~~с ]й] (е, (2.23) где о' — дисперсия моделируемого случайного процесса; е — некоторое малое число (погрешность). Неравенство (2.23) основано на том, что сумма квад- ратов весовых коэффициентов се[к] должна быть равна дисперсии моделируемого случайного процесса (см.
(2.9)1 В рассматриваемом методе моделирования подготови- тельная работа состоит в вычислении интеграла (2.20) по известной функции спектральной плотности модели- Руемого процесса. Подготовительная работа может быть проделана без применения ЦВМ, если интеграл в (2.20) беретсн в явном виде. Если же интеграл (2.20) ие являбч О. ется табличным и не выражается в элементарных или "!:, ранее табулированных специальных функциях, то при нахождении коэффициентов соЩ может оказаться целесообразным аппроксимировать Кп()ю) некоторой функцией, разложение которой в ряд Фурье заранее известно. Обычно, когда частота юс выбрана достаточно большой, верхний предел в интегра,те (2.20) можно положить равным бесконечности, что часто облегчает вычисление этого интеграла, хотя и вносит некоторую погрешность.
В случаях, когда спектральная плотность задана графически или таблицей, коэффициенты соЯ могут быть найдены известными методами приближенного гармонического анализа. Заметим, что поскольку дискретная весовая функции со(й) является четной (со(й)=со[ — Ч), то при моделировании случайного процесса можно хранить в памяти машины ие все значения соЩ а лишь значения ее при А)0. Коррелиционная функция последовательности $.
(и), получаемой с помощью алгоритмов (2.21) или (2.22), будет несколько отличаться от заданной корреляционной функции, так как эти алгоритмы являются, вообще говоря, приближенными. Представляет интерес оценка погрешности данного метода моделирования. Предпачожим. что моделируемый непрерывный процесс ЦГ) восстанав.тивается по его приближенным дискретным значениям $4л), получаемым по данному алгоритму, с помошью ряда Котельникова. В результате такой интерполяции образуется непрерывный случайный процесс й (Г), энергетический спектр и корреляцяонную функцию которого обозначим соответственно как б (ю) и й (т).
Примем в качестве оценки погрешности метода относительное средныюадратическое отклонение спектральной функции 6*(ы) от заданной спектральной функции б(ю). Случайный процесс $ (Г) можно рассматривать как результат воздействия исходного белого шума х(0 на линейную систему Ке. с импульсной переходной характеристикой отличавшейся от импульсной переходной характеристики й(Г) конеф ным числом слагаемых в разложении (х.(8). Передаточная функций системы Ке. в паласе частот (-тет, ют) имеет вид 66 ' "Ф) и лййй Кэй ([ы) =' ~й„(() е ) гпф — — ~~] ~ — Ф [й] е Р ас Яс, [й[е — Р Бис полосы ( — ей», ый) К, (]ей) =О, кроме того, в силу четности коэффициентов сй[й] функции Кй ([йэ) ивлнетса вегйгественггой. Энергетический спектр процесса а.(г) на выходе системы Кй. равен ппоизведейгао входного спектра на квадрат модуля передаточной фуик,йии системы, т.
е. ] р ав1й 6 (ы) = 6, [Кйй ()гэ)[' .= — ~ Щ с, [й] е — Р где с [й] = с, [й] Э~се [й] — свертка коэффициентов с, [й], й = — р,р, т. е. р с [й] =- ~э сй [й] сй [й — й], А = О,йр, (2.25) г= — р+а р — э [й]= Х И Р вЂ” А!, А=О.— 2Р. ~ [6 (ы) — 6„(гэ)]'г(ы Дй [лй (х) — % (снй ггх в (2.26) ~ з'(х) йгх ] бй(ы) ггйэ о асэ (х) = К„(]йэ,х), Опсрайгнн свертки коэффеыснтов сй[йг] образустгв при нозвсдсаин и квадрат рнда Фурье (224). Величина относительного срсдксквадратнчсгкого отклонении фувкпяи 6с(ей) от функции 6(ы) по определению равна Если представляют интерес корреляционные снята процесса, иолою-овенить ошибку и с точки зрения отклонения функции к реляции 12. (т) от заданной функции корреляции Я(т).
Действнте но, согласно известному равенству Парсеваля имеем се ~ (1г (т) — Р, (ч)) з г1ч Дй 11з (т) бт Выражение (2.26) легко преобразуется к виду Д! + Дз' где ~ Ф (х) дх т 1 з' (х) г(х — погрешность, обусловленная заменой бесконечного спектра огра- ниченным; г Г о — погрешность, обусловленная заменой бесконечного ряда се(й) конечным рядом ст(й), й= — р, р. Прн ые-ьсоД(-ьО, прн р- оэйз~-+О, так как з, (х)-ьзз(х).
Следоватстьно, прн увеличении значений ыс н р суммарная по.решность Д' может быть сделана сколь угодно малой. Следует заметить, что погрешность Лз строго равна нулю и случаях, когда спектр моделируемого процесса ограничен частотой юс, а разложение (2.18) содержит лишь конечное число членов, равное р. Олнако вто специальные случаи, и обычно погрешность Дз яе равна в точности пулю. Ллв вычисления погрешности дз разложим фуницнв дел (х) =~~(х) — зг~ (х) в ряд Фурье иа интервале ( — 1.1) с козффшпюентамн разложенвя ! йс(й) ~ Дзз(х)е 1з 'бх. е1 ! В силу четности функции Ьзз(л) коэффициенты Ьсщ буду! аещсствеиныии и равными ! ! ~ ю-) ~~!ч а~-[*!м .а и— а ! зо (Х) созйяхйс=с т [й) гт [й), где с' [й] — коэффициенты Фурье в разложенви функции ~~(х] иа интервале ( — 1,1), а с.[й) — уже используемые ранее коэффициенты [формула (2.24) ).
Согласно равенству Парсеваля среднее значение ивадрата функция по некоторому промежутку равно сумме квадратов модулей коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на этом промежутке, тогда можно записать йз = = '~ ' асз [«] — = ~ (с' [«] — с„[й)) ° . 1цч 1жч зз Учитывая, что с [й) =О при ]й [ ихр, окончательно получим [ зр сь а- — [)' <~.!Й! — .[чг.~.2 Я ~'.Р]г] е2ч -яр «=яр+ ! Пример 1. Пусть требуется имитировать иа ЦВМ стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция н энергетический спектр которого имеют вид язз в б(ы) = — ! ' ! (~.~) ез гг (т) 1+а!те« ' 7! Нетрудно цайтн абсолютную величину отклонения функции яорреляцин )г,[п]=!т' (яМ), получаемой при дааиом методе моделировавии, от заданной функции корреляции 1[[а]=й(пМ).
В самом деле, значения корреляционной функции )г.(п] совпадают со значениями яоэффицнентов с.[л], что следует цз сравнения свергни сз[а) эВ ст[л] [формула (225)) с (2,10). Поэтому Ьгс[п) =Ю[п] — Ю [п]~Ю[п] — с ]л). (2.28) Вычисление свертки с [л) сз[л] э]сц(п) сводится к перемножению матриц. аналогичных матрицам (2.11). 1:!тносительную ошибку формирования корреляционной функции определим в виде Ьг [и] Ы [и]/1т [О] М [л)/ез. используя формулу (2„20) пре произвольной пока ы, палтчим у .
~ з — т!л
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
