Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ошибку интерполяции Ьи(1) = и(1) — и. (1) (1.35) можно рассматривать как выходной сигнал схемы, представленной на рис. 1.6, при воздействии на входе сигнала и(С) 11иже найдены достаточно простые общие выражения для корреляционной функции, энергетического спектра и дисперсии ошибки Ьи(1) в предположении, что и(1)— стационарный центрированный случайный процесс. Из общих сооююшеннй в качестве примеров выведены частные соотношения, соответствующие наиболее распространенным типам интерполирующих фильтров. 4з Аналогичная задача, но иными Методами, решалась в работах [!8, 26, 36, 72, 8Ц. Однако в них получены бо- ' лее сложные, а в риде случаев лишь частные и приближенные решения.
Здесь предложен новый подход к рас- Рис ЬЬ. сматриваемой задаче, позволяющий найти ее общее точное решение, отличающееся, кроме того, тем, что из него следует простое решение задачи оптимизации характе- ° ристик интерполнрующнх фильтров по критерию минимума среднеквадратической ошибки интерполяции. 1. Основные соотношения Ошибка интерполяции Ли(1) при принятых условиях является нестационарпым случайным процессом. Корреляционная функция атой ошибки по определению равна )т (),т)=М(би(1)йи(1+с)).
(1.86) На практике удобно пользоваться усредненной по аргументу г корреляционной функцией (83). В данном случае функция )т (г,т) будет, очевидно, периодической по аргументу 1 с периодом И, поэтому для получения усредненной корреляционной функции Й (т) достаточно усреднить А' (г,ч) в ннтервазе (О,И): г,(.) = — '~я,(г,.) (г. (1.87) о Выразим корреляционную функцн10 )~а (т) через корреляционную функцию д (*) исходного случай1юго процесса, шаг дискретизации Л1 и иптерполирующую функцию Аа(1).
44 Йодставпв и (1.3у) выражения (!.М) — (1.36) и учятызая свойство линейности операции статистического усреднения, после простых преобразований получим )1„(т)=Н(с)+ — ~» ~~ Я[и — т)~й,(Ф вЂ” иИ)К О3 — ОР Ю= — ОЭ о. Хй,(1-*)-.т--тИ)Ф вЂ” — ~~)~ ~~К(1 — пИ)йЯС+т — пИ)т11— УГ= — Ф О сс и — — ~ Й(Х+т — лИ)й,(1 — пИ)тИ.
(1.38) л= — о» з Выражение (1.38) путем замены переменной интегрирования по формуле 1 — пИ=О, а переменной суммирования в двойной сумме по формуле и- т=1 преобразуется к виду ао (и+1)М К.(')=К(Н- з Е К(ЯЪ Е 1 й.(й)й(В+— со !и+ пм — И)а — „', ~)' ~ г(й)й,(й+.) уев сь (и+1>и — )1 (6+ т) й, (й) Ий. (1.39) и= в пм Полученное выражение упрощается, если воспользоваться очевидным тождеством ео (ач.~>м и У(Е) 18= ~ЦЕ) й в= — ео гй| и обозначать опередив свертки двух функций 1, (С) и ~,(С) следующим образом: ОО ОО ),(т) ~)м= 1),(й)),(1 — ь) )в= (),(1 — е)),(в)ай, й именно )~.
(т) =)г(ч)+ — „Я )т (гн) и. ( — лтй1) —. — — К(т) 4с й,(ч) — —,)1(т) ~с А,( — ч), (1АО) где й (т)=й,(т) 4сй,( — ч). При записи предпоследнего слагаемого в формуле (1.40) использовано свойство четности функции Ю(т). Используя известные теоремы о парах функций, сопряженных по Фурье (см., например, (22)), в частности равенство Пуассона, нетрудно найти общее выражение длн энергетического спектра ошибки интерполяции, имеющей корреляционную функцию (1.39): б,(м)= ~й,(т)е '"'с(т=б(ю)+ — Ф(м),' К,()в) ) '— — —, 6(ю) Кэ Ое) — —,6йв) Кч( — ую) = 1 1 =6( )11 — и Рек,( )1+ — Ф( НК,( В (1.4Ц где 6(м)= ~ )г(т)е ~ 'от — энергетический спектр исход- ного случайного процесса и(1); Сб ОР Ф(м)= ~ к(тн)е' ~"и — — — 1)~ ~б(е — 2тв) — энергетический спектр дискретного случайного процесса и (п) ", а>, = в/ог — частота дискретизации; К,о )= ~й,(1)е-"а — спектр интерполнрующей функции АЪ(1] (частотная характеристика интерполнрующего фильтра).
46 Положив и формуле (*1.40) т=0, получим выражение для средней эа период И дисперсии ошибки интерполя- ции ы =)т (0)=ы*+ — ~~ Н(т)йр(т]— рр — —,'„~й(6) й,(6) И6, где др И = — Кр(тЫ); ы'= 1х (О) — дисперсия исходного слу- чайного процесса. С доугой стороны, "(~( ) ~~». )1 К О„ф 17 р р + — ~Ф( )!КрО И*~И . (1.42) Относительная среднеквадоатнческая ошибка интерполяции„определяемая как др — — ы„/ы', имеет вид Ь~~ =1+ — ~~)~ ~г(т) д,(т) — — ~ г(6) й,(6) Л, (1.43) где г(т) =)х(т)/о' — коэффициент корреляции исходного, случайного процесса. Представляет интерес значение спектральной плотности ошибки интерполяция на нулевой частоте 6 (О).
Согласно (1А1) а,(0)=а(0) ~1 — — „К,(0)1+ 1, ф(0)К,'(0), (1,44) т с. спектральная плотность ошибки на нулевой частоте для всех интерполнрувщнх фильтров с одинаковым коэффициентом передачи на нулевой частоте Кр(0) одинакова. У наиболее распространенных типов ннтерполирушщнх фнльтров, как будет покаянно йнжс (см, табл, 1,1), коэффициенты Кр(0) равны, 47 2. Оптимальные интерполирующие фильтры Используя формулу (1А2), нетоудно найти оптимальную частотную характернстнку ннтерполнрукхцего фнльтра, обеспе чнвакхцую минимальную ошибку ннтерполяцнн.
Дейстмпель но, минимизация дисперсии опшбхн а~ сводятся, очевидно, к мнннмнзацнн спектральной плотности огпнбкн б„(в)спрн всех в. Обозначив х=(1е К (гв), (г=-1гп Кр((в), спектральную плотность можно представить в виде б =б~! — —,-х1+ — (х*+(Гг); Минимум величины бх как функции от х,р имеет место прн х=б/Ф н у=О (в этом легко убелиться, пешая систему уравнений дб,/дх='О,дб,/дд=О относительно х н у). Таким образом, оптимальная частотная характеристика ннтерполнруюшего фильтра имеет внд 6(в) " 0 )=- — ° Ф (в) (1А5) Прн этом согласно (1.42) н (!.ФБ) минимальная ошибка интерполяции процесса равна а~ „= — ~б(в)~1 — ( ) 1дв.
(1А6) о Частотная характеристика К~,,((в) — вещественная неотрицательная четная функция, так как таковыми являются функции б(в) н Ф(в) в выражении (1.45). Следовательно, оптимальная ннтерполнрующая функция, равная есть четная яоложнтельно определенная функция, т. е. она огноснтся к классу корреляционных функпнй стацио- нарных случайных процессов.
Оптимальные ннтерполн- за (~уювгне фильтры с такой импульсной переходной харак-"- теристикой являются, очевидно, физически неосуществинымн н для точного восстановления процесса требуется бесконечная задержка его во времени так же, как н при восстановлении процесса в соответствии с теоремой Котельникова. Известно (85), что 6(ы)(Л(Ф(сч), причем знак равенства имеет место только в том случае, когда спектр 6(ьт) строго ограничен некоторой частотой ы„, а шаг дискретизации процесса удовлетворяет условиям теоремы Котельникова: йй<п(ы,,.
Отсюда, используя (1Аб), прнсолим к выводу. что в общем случае нг гуществугг такого ингерполирующгго фильтра, который обеспечивает т'зошибочног восстановление сганионарнага случайного ~ игнала и принятой схеме восстановления и лишь сигналы с ограниченным частотой < „, спектром, у которых (35) гг (в) ( 1, ~ в ( ~ а., з(Ф(ей 10, ~ы~' >е,, могут быть безошибочно восстановлены с помощью ннгерполирующего фильтра с частотной характеристикой (аг, 1е~~а„ т. е.
с помощью идеального фильтра нижних частот в соответствии с теоремой Котельникова. Реальные сигналы не могут иметь строго ограничен- наго спектра (82), поэтому восстановление их по дискретным данным всегда будет сопровождаться некоторой ненулевой погрешностью. 3. Частные случаи В табл. 1.1 приведены основные характеристики интерполнрующих фильтров, соответствующие наиболее распространенным видам интерполяции: ступенчатой симметричной и несимметричной, линейной интерполяции (см. рис. 1.5) и интерполяции по Котельникову. Подставляя эти характеристики в формулы (1.4О) — (1.44) прн известных корреляционной функции Й(т) и энергетиче':,ских спектрах 6(гь) и Ф(гь) ксходного н соответствую- ':Ф 16() 4п -асов у у е ы г ы Элемент нулеегго порядка (нег ам жтриены ау Тии инте1аюлнр Элемент ау.телего по (сап мггрнемей г Й от лг егп— л Ы 2 ы — !у~.
~у~~и, О, ~у~~и еуг2 Э ! — †, г (т) тй и частотные характеристики, имеет вид„показанный в табл. 1.1. Интересно отметить, что прн интерполяции по Котельникову 6О э г г 1 г йо = 2о /о', где о = — й! 6,(ы) йо — дисперсия тех состав- в ляющих в спектре исходного процесса, частоты которых расположены выше частоты дискретизации. Таким обра- зом, дисперсия ошибки восстиновления стационарного случайного сигнала по дискретным данным при интерпо-ляции по Котельникову ровно вдвое болыие дисперсии высокочастотных (выше частоты дискретизации) составляюи!их в спектре сигнала. На рис. !.7 показаны энергетические спектры ошибок восстановления экспоненцнально-коррелированного случайного сигнала, заданного дискретными значениями с шагом Ж=п/2в„у которого 2ФЭ ° о()= в +и' .,ыи ы (1.47) Ф(е) =- сии а! — поэмы й(ч) =е Кривые вычислены по формуле (1.41) с использованием табл. 1.! и их номера совпадают с номерами интерполирующих фильтров в этой таблице.
Нулевым номером обозначен спектр ошибки восстановления при оптимальной частотной характеристике интерполирующего фильтра (1А5). Тонкой линией показан нормированный спектр исходного случайного процесса б(ы)/б(0). Рядом с номерами даны соответствующие значения относительной зч )цего ему дискретного случайного йроцесса, легко мож найти корреляцнонно-спектральные характеристики средиеквадратические значения ошибок при различных методах интерполяции. Заметим при этом, что эиерге;; тический спектр Ф(ы) дискретного случайного процесса,. порождаемого непрерывным случайным процессом с рашюнальным спектром, всегда может быть выражен в за-' мкнутом виде в элементарных функциях [85).
В ряде: случаев его можно найти по таблицам двухсторонних.'., дискретных преобразований Лапласа (85, стр. 423). В рассматриваемых случаях относительная среднеквадра-( тнческая ошибка интерполяции Ь'„выраженная через временные: средиеквйдратияеской ошибки восстановлении, аналитические выражения для которой при произвольном шаге дискретизации имеют соответственно вид лз сна —.(!+ч!е а ° О. л=! а Фе з в ) 2. Ь =2!х! — 2 6 3 в+ 4. Ь~ =2(1 — — агс1в я/в) ~ в=О,4е, где в=а йà — нормированный шаг дискретизации, равный отношению шага дискретизации А| к величине интервала корреляции процесса на уровне !/е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
