Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рассмотренный прием нетрудно распространить на рекуррентные алгоритмы более высокого порядка. В заключение укажем на некоторые приемы, позволяющие расширить класс моделируемых стационарных нормальных случайных процессов путем несложных преобразований рассмотренных выше алгоритмов. Известно, например, что при суммировании нескольких независимых стационарных нормальных случайных процессов образуется стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция которого равна сумме корреляционных функций слагаемых.
Отсюда, сслн корреляционная функция процесса является суммой двух или более корреляционных функций из табл. 2.2, то дискретпыс реализации этого процесса можно формировать путем суммирования двух или более независимых реализаций, получаемых по приведенным алгоритмам. Если, например, корреляционная функция моделируемого процесса имеет вид Я (т] = 1Е, (т) + Й, (з) = — з', е ""* " соз ы„,1 + то алгоритм для формирования его дискретных реализаций запишется в виде Е [и) = Е, ]и]+ Е, 1и), (2.81) где Е, [и] = з,амх, [и) + а,а„х, [и, — 1] — Ь„Е, [и — 1]— —.
Ь„Е, [п — 21; Е,[и)=з,а, х,[и]+з,а„х,]и — 1] — Ь„Е,[и — Ц— — Ь„Е, [и — 21; к~[и), кЯи) — независимые между собой последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами (О, 1). 110 Параметры алгоритмов (2.8!) находятся по формулам, приведенным в табл. 2.2 для алгоритма М 2, при у*! ыа1Ж дех=ы 2М ум гвОЙК у02 «хмйй Рассмотрим еще один прием преобразования. Из теории случайных процессов (см., например, [78]) известна следующая теорема. Если $,(1) и $х(г) — два одинаковых стационарных нормальных пентрированных и независимых случайных процесса с корреляционными функциямн 1('(т), то случайный процесс $(() =ххы(1) з1псо1+сх(1) созыг (2.82) будет также стационарным нормальным центрированным случайным процессом, но с корреляционной функцией и (т) =гг (т) соз ыт.
(2.83) Этот факт позволяет легко моделировать нормальные случайные процессы с корреляционной функцией вида (2.83), если известен алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с корреляционной функцией )т'(т). Для этого в соответствии с формулой (2.82) нужно выработать дискретные реализации $4п] и Яп] независимых случайных процессов с корреляционной функцией Я'(т) (например, с помощью алгоритмов, приведенных в табл.
2.2), затем по правилу 1[п] =1, [п] з(п уп+ 1, [п] осман, (284) где у=вЛГ, преобразовать реализации Я~[а] и Яп] в реализацию Яп] случайного процесса с корреляционной функцией (2.83). Лля вычисления дискретных тригонометрических функций 4п]=з)пуп и с[п]=сов уп целесообразно воспользоваться рекуррентным алгоритмом (1.3), тогда алгоритм (2.84) запишется в виде $ [и] = $, [п] (с [Ц з [и — Ц + з [Ц с [п — Ц) + + 1, [и] (с [Ц с [и — Ц вЂ” з [Ц з [и — Ц). 2.7. Моделирование ненормальных стационарных случайных процессов 11епормальный случайный процесс задается обычно своим многомерным распределением или конструктивно в лиле некоторого преобразования от случайных параметров и детерминированных функций.
В последнем слу- 111 чае вероятностный прон ласно классификацп данной в $ 1.1, является етрическн заданным моделирование его своди формированию реализ ций случайных параметров с последующим нх преобр зованием. Задача моделирования усложняется, если ненормал ный процесс задан многомерным законом распределе-'':,' ния. При небольшом числе дискретных точек эту задачу -' можно решить как задачу формирования реализаций ' случайного вектора по заданному многомерному распределению (см.
$1.5), применяя классический универсальный способ, основанный на использовании условных плотностей вероятностей, или многомерный метод Неймана. Однако прн формировании реализаций болыпой длины практическое значение этих способов существенно ограничено. В этом и следующем параграфах рассматривается более узкая задача моделирования ненормальных стационарных случайных процессов, а именно моделирование процессов по их одновременна заданным корреляционным функциям и одномерным законам распределения: Эта задача сравнительно просто решается путем специально подобранных нелинейных преобразований соответствующих нормальных стационарных случайных процессов.
В общем случае для получения случайного процесса с заданным одномерным законом распределения и заданной корреляционной функцией можно испольэовать следующий способ (521. Пусть в качестве исходного выбран нормальный стационарный случайный процесс $~((). Как известно, всегда существует такое нелинейное безынерционное преобразование у=)(х), которое превращает нормальную функцию плотности ша(х) процесса 4о(1) в заданную функцию плотности ш(у). Если исходный процесс $э(1) имеет корреляционную функцию йа(т), то преобразованный процесс $(1) будет иметь корреляционную функцию Й(т), отличающуюся от функции )(0(т) и связанную с ней некоторой зависимостью И=9(Ао)- Вид этой зависимости определяется преобразованием у=)(х).
Для того чтобы корреляционная функция пре- 1Р образованного'процесса была требуемой, нужно выбрать корреляционную функцию' исходного процесса равной Лэ=«р «(Я), где «1г«()««) — функция, обратная функции «р()««««). Таким образом, при использовании этого способа подготовительная работа состоит из следующих этапов: 1) нахождение по заданной функции плотности п«(х) преобразования у=Цх), 2) получение по найденной функции у=1(х) зависимости Р=«р(А««), 3) решение уравнения Й=«р(««0) относительно Рь т.
е. определение корреляционной функции 1«ч(т) исходного нормального случайного процесса $««(1), 4) отыскание алгоритма для моделирования нормального процесса $«(1) с корреляционной функцией 1«««(т). После того как подготовительная работа закончена, моделирование случайного процесса с требуемыми характеристиками сводится к формированию дискретных реализаций Яа] нормального случайного процесса Ь(4) н преобразованию этих реализаций по формуле Для простоты выберем преобразование у=1(х) монотонным и положим, что моделируемый и исходный процессы имеют параметры (О, 1), так что Й(т) г(г), Й««(т) =г««(т) 1. Функция у=1(х) должна удовлетворять очевидному равенству )Р9(х))= йГ««(х) =Ф(х), где В'(у) н В',(х) — интегральные законы распределе«шя случайных процессов Е(1) и ч,(1) соответственно; «р(х) = — ~ е~~ «11 — интеграл вероятностей (функция Лапу ь) ласа).
Уравнению (2.85) соответствует нелинейное дифференциальное уравнение, связывающее функции 1(х) и п«(х); п«[1(х)'1 — „" =п«,(х)= — „е ~~~ ° (2.86) 11з Уравнения (2.85) и (2.86) в редких случаях удается решить аналитически. )(ля получения преобразования у=г(х) можно использовать численное решение уравнения (2.85) на ЦВМ.
Для этого нормальную функцию плотности с параметрами (О, 1) следует заменить усеченной функцией, ограничив интервал возможных значений аргумента х в (2.85) некоторыми пределами ( — х„ хч), вероятность выхода за которые пренебрежимо мала, например взяв х,=4. Задавшись дискретными значениями хь аргумента х из интервала ( — х„ х,.), для получения таблицы значений у~=)(х~) искомой функции нужно для каждого хь подобрать такой ум чтобы )р(рл) = Ф (хк).
Последнее можно сделать методом итераций. 2. При известном преобразовании у=1(х) зависимость г=~р(го) в соответствии с определением корреляционной функции как математического ожидания произведения $(т)Ц(+т) Щ,(1))(1ээ(1+т)) имеет вид ОР Об г= ~ ~1(Х,))(х,)в,(х„х„г,)йх,г(х,= к — зги;.ч+Р т 1 т ы ой а н — гт1 ~ ) (х,) )(х,)е йх,г(х„(2.87) 2л )/'~ гт,) где гв„(хь хь гэ) — двумерная нормальная функция плотности вероятностей значений х, и хэ исходного случайного процесса в сечениях, отстоящих друг от друга на величину т, такую, что коэффициент корреляции между х~ и хг равен гь Выражение (2.87) неудобно для дальнейшего использования, так как интеграл в нем часто не удается вычислить в конечном виде, к тому же функция ((х) чаще всего будет задана в виде таблицы значений, получаемых на первом этапе.
Более приемлемой формой задания функции г=в(г~) является представление ее в виде ряда по степеням гв Этот ряд нетрудно получить, если разложить двумерную функцию нъ(хь хь гэ) в ряд по орто- 114 гональным подняомам тринта, Искомое разложенпе функции ~р(«ю) имеет вид (60) а «=~)~с — ', (2.88) где ОР Я Для нахождения зависимости «=<р(«о) в общем случае нужно путем численного интегрирования выражения (2.89) на ЦВМ с использованием таблицы значений уз=((хь) найти коэффициенты с . Прн этом бесконечный 'ряд (2.88) приближенно заменяется конечным.
В качестве номера лц на котором следует остановить процесс вычисления коэффициентов с можно взять то значение т=юие. когда впервые выполнится неравенство 1'-М' где и — достаточно малая величина, например е=0,01, 3. Прн известных коэффициентах с для получения коэффициента корреляции «а(т) исходного нормального случайного процесса нужно решить уравнение с з «=~~ ~— ", «„ 115 с †. — — ~ )(х) Н (х) е т~ пх; (2.89) Н (х) — полиномы Зрмита. Для нахождения полиномов Н (х) существует рекуррентная формула Н +, (х) = хН (х) — тН, (х), причем первые три полинома таковы: Нч (х) = 1, Н, (х) = х, Н, (х) = х~ — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
