Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(13.6) Из приведенных формул видно, что при каждом переходе через введенные фиктивные поверхности происходит изменение Ьо илн Ьр на — часть их общего и изменения. Следовательно, требование, чтобы равным долям изменения Ьр соответствовали равные доли изменения Ьо (саь условия (13.3)], будет удовлетворяться здесь для любого сечения с ошибкой, не превышающей — часть и общего изменения Ьо и Ьр.
При п — и со эта ошибка будет о 481 энеРГиЯ, сООБщАемАЯ колеБАтельнои системе 105 ческой энергии А, и А, (см. формулы (12.1) и (12.6)): т т х,-,-' (1 48„4,ха 4 (48„4р,й Р... Р о т + ~ бЕ„бр,„,а~, о т т А,=р — (~ Ьх„р °,й-',.) 4Х„Ь,Ж-',.... -',. о + 1 бХ„бох„Ж (. о Если учесть, что брр = бро брз бр4 боо бозр бо4 боо и, кроме того, бр,= бр, + бХ„, бра=бр,+бХ„, бс,=бе,+бЕ„, бо,=бе,+бЕ„, то выражения для А, и А запишутся в виде А = — ~ ~ бЕ„бр, <й+ ~ бЕ„(бр, +бХ ) й+... + о о т -',. ) 48„(рр, ( — р)рхлж), т '=И~'.('" ".)"'+ о т т 4 $рх„о,,рррхзх~-,.:..
4(рх„~р4р рх >а). о стремиться к нулю, а фиктивный процесс неограниченно приближаться к реальному. Найдем величины слагаемых полного потока акусти- 106 ист Очники энеРГии АвтоколеБАнии [га. 111 Группируя должным образом слагаемые, найдем: т А,= — ~ (пЬЕ„ЬР,+(1+2+ 3+... +(п — 1)]ЬК„ЬХ„, 'с[[, е т А,= — ~ (~ЬХ„Ьо,+(1+2+3-+...
-[-~) ЬЕ„ЬХ„) Ей о Вспомнив известную формулу А, = — ~ ( [[, Ь Е ЬР + —,'~' ЬЕ ЬХ ) й, о т = — ~ ( ИР, ЬХ Ьо, + ' 2"' ЬЕ ЬХ) Ю. (13.6) По аналогии с тем, как формула (11.4) была приведена к виду (11.6), полученные выражения можно записать и в виде скалярных произведений А, = — [ яр, ЬХ Ьи, + — '~' Ь.Е ЬХ ~ . Как и следовало ожидать, сумма А, +А, дает выражение, совпадающее с тем, которое было найдено для Аз непосредственно (выражение (13. 2)).
Формулы (13.6) н (13.7) позволяют не только определить общее количество акустической энергии Аю излучаемое областью теплоподвода, но и выделить доли А, и А„ связанные с двумя независимыми источниками энергии, которые пита[от колебательную, систему. Сравнивая формулы (13.7) с полученныип ранее выражениями (12.3) и (12.8), справедливыми для элементарных процессов, необходимо подчеркнуть, что в общем случае величина А, зависит не только от абсолютных величин 1+2+3+ .+и= в пределе при п — ьсо получим с учетом (13.4) и (13.5) следующие окончательные выражения длл А, и А,: ы3 ВОББУждение системы волнами энтгопии 107 бЕ, бтэ, и фазового сдвига между ними. Даже если А =О н энергия акустических колебаний заимствуется, таким образом, единственно нз теплового источника, величина ее зависит и от ЬХ, т.
е. от вариации сопротивления. Это происходит потому, что при ЬХсьО существенная для заимствования энергии нз теплового источника величина бр меняется вдоль а. Поэтому сдвиг по фазе между бЕ и значением бр в левом граничном сечении области а уже не может определить характера всего процесса.
Но в таком случае теряют смысл разного рода критерии возбуждения вроде критерия Рэлея, в которых говорится о необходимости известного фазового сдвига между давлением и теплоподводом и т. н., так как на протяжении зоны о величина бр (в том числе н фаза бр) меняется, и становится бессмысленным само понятие фазы Ьр как некоторой общей характеристики зоны а. в целом. Соверщенно такие же соображения можно привести и для случая А,~ О, А, = О. Чтобы закончить рассмотрение задачи об энергии, сообщаемой колебательной системе в общем случае, следовало бы построить диаграммы устойчивости наподобие тех, которые были приведены в предыдущем параграфе.
Кроме того, полезно оценить относительну|о значимость каждого нз двух источников энергии, питающих колебательную систему. Однако оба этн вопроса целесообразно рассмотреть после того, как будет дан метод фактического определения величин ЬЕ, ЬХ н 6Я и рассмотрен вопрос о том, в каких случаях весьма сложные физические и химические процессы внутри эоны теплоподвода можно описывать прн помощи этих трех безразмерных параметров.
у 14. Возбуждение колебательной системы волнами энтропии Помимо возмущений скорости и давления, которые объединяются понятием акустических возмущений, течением могут переноситься волны энтропии. В тех случаях, когда колебания в системе носят гармонический характер, возмущения энтропии, переносимые течением, имеют внд синусоидальных волн, как это было показано во второй главе. «1«! ВОВВУждение системы ВолнАми энтвопии 109 форме: 2 о — Мз — М(х — 1) р= О. (14.2) Условие (14.2) можно почти всегда заменять приближенным условием 2о — МУ=О, (14.3) поскольку коэффициент при р мал для обычных течений. Найдем поток акустической энергии А" в концевом сечении (14.4) А" = — «Ьр Ьо ~й. т г о В соответствии с условием (14,3)и с учетом формул (14.1) н (4.8) здесь Ьо=г (14.5) г«, Пусть Ьр = А„з(в «о1 А„> О, ба=А,В1В(ю1-(-«р) А,> О. Тогда А"= г, Ьрбз«11= ~" А„А,соз «Р (14.6) Таким образом, знак А" зависит от «р, т.
е. от сдвига по фазе между колебаниями давления и энтропии в окрестности критического сужениятечения. При~«р~ ( г А" > О, иначе говоря, акустическая энергия движется к выходному сечению и, следовательно, в окрестности сужения происходит поглощение акустической энергии. При — ( «рСи г А' ( О, акустическая энергия движется от концевого сечения к середине трубы, т. е. в окрестности выходного конца акустическая энергия генерируется.
Физически процесс генерирования акустических волн является следствием периодического «запирания» сопла газовым потоком, имеющим волнообразно распределенную по оси течения температуру (энтропию). При прочих ))о ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ АВТОКОЛЕВАНИЙ ~гл. ИП равных условиях величина среднего потока акустической энергии А" возрастает пропорционально А„т.
е, она будет увеличиваться по мере увеличения амплитуды колебаний энтропии. Сколько-нибудь значительные колебания энтропии мыслимы лишь как результат колебательного теплоподвода в зоне горения. Следовательно, в отсутствие теплоподвода условия возбуждения должны очень мало зависеть от условий на выходном конце. В рассматриваемом примере возбуждение акустических колебаний волнами энтропии происходило лишь потому, что существовало некоторое сечение трубы, в котором поддержание постоянного значения отношения— а требовало колебательного изменения О, поскольку местная скорость звука а (однозначно связанная с местным значением температуры) имела гармоническую составляющую. Волны энтропии, проходя через это сечение, как бы вызывали к жизни возмущения скорости течения, т.
е. акустические колебания. В других случаях процессы, ведущие к подобной связи волн г с волнами р и Р, могут быть иными, но это всегда будет какое-то физическое явление, в котором изменение энтропии связано с изменением скорости или давления, или обеих этих величин. Поскольку в линейной постановке задачи в самом одномерном течении никакого взаимодействия акустических колебаний с волнами энтропии не происходит !это видно, в частности, из уравнений (4.4)), то реализация такого взаимодействия возможна лишь в зоне теплоподвода или на концах трубы (или в иных сечениях, где течение газа испытывает какие-либо внешние воздействия). Таким образом, волны энтропии способны возбудить акустические колебания не непосредственно, а лишь косвенно.
Одним из способов сужения течения, которое рассматривалось вьппе, является сопло Лаваля, помещенное на выходе из трубы. Полученный выше вывод говорит о том, что если к соплу будет притекать газ с периодически изменяющейся температурой, то это может возбудить акустические колебания. Из сказанного вовсе не следует, что сопло Лаваля всегда способствует возникновению неустойчивости. Напротив того, оно является в обычных э 1~] ВОЗВУждение системы ВОлнАми энтРОпии 111 условиях (при изоэнтропическом течении) слабым демпфером акустических колебаний.
Действительно, положим а=О. Тогда из формулы (14.2) следует, что Х вЂ” 1 Р ЬО = — бр. 2Х р Согласно формуле (14.4) это дает (х ) Р(б )з — 4хр р ' Полученное выражение всегда положительно. Это говорит о том, что поток акустической энергии А" всегда течет к соплу, т.
е. из трубы во внешнее пространство, что и указывает на демпфирующие свойства сопла Лаваля. В заключение следует указать на то, что генерирование акустической энергии в выходном сечении за счет волн энтропии, которые образовались, например, в зоне теплоподвода, а затем сносятся течением к выходному концу, предполагает, что возникшие волны энтропии не исчезают и не сглаживаются за время движения от области тенлоподвода до выходного конца трубы. Это полностью соответствует свойствам одномерного течения идеального газа. Однако в действительности при течении вязкого и теплопроводного газа волны энтропии будут сглаживаться и исчезать по мере перемещения по трубе.
Важнел при этом отметить, что если учет вязкости н теплопроводности сравнительно мало сказывается на акустических свойствах течения, то влияние вязкости и теплопроводности на распространение волн энтропии значительно более существенно. Не исключено поэтому, что если зона теплоподвода сильно удалена от выходного конца трубы, описанный вьппе эффект возбуждения акустических колебаний за счет взаимодействия волн энтропии с концевым сечением вообще не будет наблюдаться.
ГЛАВА 1Ч РАСЧЕТНАЯ ИДЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ В ЗОНЕ ГОРЕНИЯ $15. Изменение возмущений при пересечении области горения При рассмотрении процесса возбуждения акустических колебаний теплоподводом, которое проводилось в предыдущей главе, делалось три предположения: считалось, что неподвижная зона теплоподвода имеет малую протяженность по сравнению с длиной волны возбужденных колебаний, что процесс теплоподвода одномерен и что к нроцессам внутри области теплоподвода применима гипотеза стационарности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
