Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Этот результат уже был получен ранее, в виде формул (6.3) и (6.6), из которых видно, что переменные р„ И Оь ОтЛИЧаЮтСЯ МНИМЫМ МНОжнтЕЛЕМ. ОДНаКО В НаСтОЯ- щем параграфе вывод об ортогональности 671 и бв приобретает физическую наглядность и может быть обобщен в том смысле, что это условие будет справедливо не только при наличии узлов Ьр или ЬО, но и во всех тех случаях, когда вдоль трубы не происходит (в среднем за период) передачи акустической энергии. В тех случаях, когда при установившихся колебаниях поток акустической энергии А отличен от нуля 86 ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ АВТОКОЛЕВАНИЙ [гл.
1И (например, когда на концах трубы происходит рассеивание акустической энергии), свойство сохранения А = сопз[ вдоль оси трубы остается справедливым. Из него, в частности, следует, что если абсолютные величины бр и бо меняются в завнси«[ости от координаты $ (стоячие волны), то это возможно лишь при соответствующем изменении фазового сдвига»р между ними [формула (11.5)). Кроме того, ясно, что в таком процессе нигде не»1он«ет образоваться узлов бр или бн, так как это дало бы А=О. Как видно из формулы (11.5), величина А может быть как положительной, так и отрицательной, знак ее зависит от угла ф Знак А говорит о направлении диижения потока акустической энергии.
Если акустическая энергия двнжетсн в положительном направлении, вправо, то А > О, если влево, то А < О. Вернемся теперь к рис. 16. Сравнивая потоки акустической энергии на неподвижных плоскостях 1 н 2, ограничивающих область а, поставим вопрос о количестве акустической энергии, «излучаемой» областью а. Обозначим поток акустической энергии, пересекающий плоскость 1, через А ', а поток, пересекающий плоскость 2, через А". Тогда суммарное количество акустической энергии Аю излучаемой областью О, будет равно Ав = А" — А'.
(11.8) Если вспомнить правило знаков, то А» > 0 означает, что энергия движется от области О, если Аг(0, то к области О. В первом случае область О генерирует акустическую энергию, во втором поглощает ее, при А„.=О область О является нейтральной. Пусть на концах трубы А и В потери акустической энергии равны — »г[А и +Лв соответственно.
Знаки при ЯА н Яв выбраны так, чтобы потери акустической энергии были связаны с ее движением из трубы АВ во внешнюю среду. Суммарггые потери будут, очевидно, равны»г[=АЕ— — ЛА. Тогда из энергетических соображений ясно„что при установившихся колебаниях 87 ПОТОК АКУСТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 1 111 Если Ах) Л (11.10) нли то колебания не могут носить установившегося характера. В первом случае можно говорить о возбуждении системы, а во втором — о гашении колебаний. Действительно, в первом случае зона с йзлучает болыпе акустической энергии, чем ее ьюгут рассеять потери на концах А и В.
Следовательно, часть колебательной энергии накапливается в трубе, что должно вести к увеличению амплитуд колебаний, т. е. к возбуждению колебательной системы. Во втором случае процесс имеет противоположный характер. С этой точки зрения равенство (11.9) соответствует границе устойчивости. Здесь следует оговориться, что поскольку выше был рассмотрен случай установившихся колебаний, и определение потока акустической энергии было раскрыто лишь для этого случая, точный смысл имеет только формула (11.9).
Что касается неравенств (11.10), то их следует рассматривать как полезные качественные критерии. По величине Аэ можно судить о поведении колебательной системы в целом. По слагающим А1 величинам А' и А" представляется возможность судить о процессах, происходящих слева и справа от с, например на концах трубы. При установившихся колебаниях величины А ' и А" постоянны для сечений, лежащих слева и соответственно справа от а. Отличие А ' и А" от нуля говорит о том, что от области а к концам трубы нли от концов трубы к области а постоянно течет акустическая энергия.
Если акустическая энергия течет от области с к концам трубы (т. е. если А ' < 0; А" > О), то это означает, что на концах трубы расположены поглотители этой энергии. Если акустическая энергия движется от концов трубы к области О (т. е. если А'>О; А" ( О), то это означает, что на концах трубы происходят процессы непрерывной генерации акустической энергии, которая поглощается областью о. Охарактеризуем теперь несколько более подробно процессы, идущие внутри области теплоподвода а. Обстоятельное изучение этого вопроса будет проводиться 88 ИСТОЧНИКИ ЗНКГГИИ ЬитОКОЛКВапнн 1га.
ПЗ ниже, здесь достаточно будет отметить некоторые общие свойства этой зоны. Как уже говорилось, внутри области о происходит теплоподвод. Область ограничена неподвижными плоскостями 1 и 2. В связи с процессами, идущими внутри о, между плоскостями 1 и 2 происходит, вообще говоря, изменение всех параметров течения. Если ограничиться рассмотрением одних только возмущений параметров течения, то можно говорить, что бр, Ьп и Ьг изменяются вдоль области о не только в связи с наличием акустических колебаний, но и вследствие процесса теплоподвода, идущего внутри о. Если считать расстояние между плоскостями, ограничивающими о, малым по сравнению с длинами волн возмущений, так что волны возмущений, связанные с акустическими колебаниями, не могут заметным образом изменить своих амплитуд и фаз на расстоянии о, то все изменение бр, ба и бг между плоскостями 1 и 2 будет связано только с процессом теплоподвода.
Отметим индексами 1 все величины, соответствующие левой границе зоны о, а индексами 2 — величины, соответствующие правой границе зоны о. Тогда можно ввести следующие обозначения, при написании которых среднее значение давления в левой (холодной) части трубы принято равным р„ а средняя скорость звука †, бо — Ьо,= а,бЕ, брг — бр, =. кр,бХ, бг,— Ьг,=ср М. (11.11) Примем, что область о мала по сравнению с длиной волн возмущений. Тогда безразмерные величины ЬЕ, бХ и ЬЕ связаны только с процессом теплоподвода и их можно рассматривать как три параметра, описывающие некоторые суммарные свойства возмущенного процесса тепло- подвода.
Вопрос о том, достаточны ли эти параметры для однозначного описания необходимых свойств зоны о, и вопрос об их фактическом определении будет рассмотрен в следующей главе. Здесь достаточно указать на то, что введенные величины разумно описывают физические явления, происходящие в зоне теплоподвода. Величина ЬЕ' характеризует расширение некоторого объема в связи ' поток хкгстичиской энквгии 89 «ы> с его нагреванием, величина 6Х вЂ” возникновение теплового сопротивления, а величина Ы вЂ” неизбежное при подогреве изменение энтропии. Обратимся теперь к вопросу об источниках энергии при термическом возбуждении звука. Будем по-прежнему считать, что протяя«енность зоны а мала и поэтому к процессам, идущим внутри нее, можно применять гипотезу стационарности, т.
е. считать, что внутри о все явления описываются уравнениями, справедливыми для стационарных течений. Это можно пояснить так. Малость о по сравнению с длинами волн возмущений означает медленность акустических колебаний по сравнению со скоростью протекания процессов в короткой области а. Поэтому время, достаточное для того, чтобы внутри области а произошли изменения и процесс установился, недостаточно для сколько-нибудь заметного изменения параметров течения вне ее, изменения, связанного с акустическими колебаниями. Процессы внутри о как бы мгновенно «подстраиваются» к сравнительно медленным акустическим колебаниям.
Расс»«стрик. пересечение области и элементом течения. Если написать закон сохранения энергии отдельно для элемента потока в системе отсчета, движущейся вместе с ним, и отдельно для центра тяжести этого элемента, то, используя уравнение неразрывности, нетрудно получить следующие равенства: Ч= рос»(Т» — Т,)+ ~ Рдо, (11.12) с Здесь ~ — тепло, Р— механическая энергия, подведенные к газу в области и. Хотя в рассматриваемом случае Р = О, сохраним эту величину в формулах для больгпей общности получаемых результатов.
Очевидно, что разность полных потоков энергии (11.1) между плоскостями 1 и 2 равна 90 источники энвггии автоколвванин !гв. гм Р«о« вЂ” Р«о«= ~ Рг(о+ ~ идр. (11.14) Ав = т ~ (ЬР«Ьи« вЂ” ЬР«бо,) ««г. 1 г о (11.15) На основании равенства (11.14) можно написать т Ах= — ~ ~ ~ ЬРИи+ ~ бог(бр~А. (11.16) е а Величины, стоящие в скобках в равенствах (11.15) и (11.16), уже не являются гармоническими функциями времени. Обозначив символом Л периодические, но не гармонические составляющие, имеющие порядок б«, напишем с использованием (11.12) и (11.13): т т ~ [ ~ бр«(бо ~А = ~ Л [() — рос,(Т« — Т,)) <КС, (11.17) 0 а а т т ~ ~ боЮР) ай= ~ Ь ГР— чо( 2 2 ) ) сй.
(11.18) а « Выше уже говорилось, что при термическом возбуждении звука механическая энергия к потоку не подво-' дится и поэтому Р = О. Таким образом, составляющая потова энергии, «излучаемаяз областью а и равная р,о, — р«ом состоит из двух слагаемых. Первое пз них связано с теплоподводом и изменением внутренней энергии (11.12), а второе— с подводпмой механической энергией н изменением потока кинетической энергии (11.13).
Пусть величины р н о имеют гармонически изменяющиеся во времени составляющие бр и бо (11.2), причем период колебаний равен Т. Тогда средняя акустическая энергия, излучаемая областью о, запишется в виде з ш1 энеРГиЯ, сООБЩАемАЯ колеБАтельнои системе 91 Воспользовавшись равенствами (11.16) — (11.18) п положив Р= О, получим следующее выражение для потока акустической энергии, излучаемой областью а: 1 " г Р1 О1 Ах= — ~Л~ — Лйос (Т вЂ” Т ) — Лйо( — ' — —,' )~~ сг. а ~. 2 2 '.1 (11. 19) Выражение для Ах показывает, что акустические колебания могут поддерживаться за счет трех источников энергии — внешнего теплоподвода, потока внутренней энергии и потока кинетической энергии.
Однако формула (11.12) говорит о том, что первые два источника родственны друг другу. Поэтому ния е будут рассматриваться только два источника энергии. Будем говорить, что энергия акустических колебаний может заимствоваться из тепловых членов (теплоподвод и внутренняя энергия) и из потока кинетической энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
