Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 10
Текст из файла (страница 10)
11. Зиюры форму для всех гармоник (рис. 11). То, Воли ~ и ', 1ю ! что эпюры амплитуд (и ~, ( в( и ~ з( нмеи )з!. ют одинаковую форл1у для всех гармоник, причем амплитуды колебаний не зависят от ~, представляет значительные удобства при решении задач. Достаточно сравнить графики, приведенные на рис. 6 или 9, с прямоугольнымн эпюрамп рис. 11, чтобы убедиться в этом. Для полноты картины на рис. 12 приведены изменения переменных и, ю и з в функции времени т. На указанном рисунке графики, расположенные ниже, относятся к более поздним моментам времени. Сравнивая между собою поведение переменных и, н1 и з, нетрудно видеть, что волны и смещаются вправо, а волны 1Р— влево.
Что касается волн з, то они смещаются, как и волны и, вправо, но расстояние между гребнями волн з много меньше, 1 81 УСТОЙЧИВОСТЬ ГАЗОВОГО ТЕЧЕНИЯ 61 чем у волн и и и. Это связано с тем, что акустические импульсы и и 8е распространяются со скорс8стью звука и на их перемещении сравнительно слабо сказывается значительно более медленное движение среды со скоростью ие. В отличие от этого волны энтропии г переносятся средой Рпс. 12.
Эпюры мгновенных значений и, и и г. и поэтому скорость смещения воли 8 много меньше, чем у ииы. Как уя.е говорилось, формы эпюр амплитуд волн и, и и з не зависят от номера возбужденной гармоники. Этого нельзя сказать об эпюрах мгновенных значений и, 1в и з, приведенных на рис. 12. Чем выше будет номер гармоники, тем большее число волн и, ю и г будет помещаться на длине трубы. у 8. Устойчивость газового течения В двух предыдущих параграфах были рассмотрены некоторые общие свойства волн возмущений и теперь можно вернуться к рассмотрению задачи о распространении возмущений, начатому в 2 5 для простейшего случая.
Оказывается, что решения задачи с учетом начальных и краевых условий в той форме, как это делалось в $ 5, обычно можно избежать. В огромном большинстве практически интересных случаев возбуждения акустических РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ВДВИЖУЩ. ГАЗЕ [гл. ~ колебаний теплоподводом решение задачи с учетом начальных условий интереса не представляет. Это связано главным образом с тем, что обычно колебания возникают в результате развития каких-то весьма малых н неопределенных начальных возмущений, которые всегда присутствуют в виде неизбежной флуктуации параметров течения.
Вне зависимости от характера этих начальных флуктуаций акустические колебания р потоке в процессе своего развития (при условиях, благоприятствующих такому развитию) достигают заметных амплитуд, рост которых в конце концов останавливается. В результате колебательная система выходит на режим установившихся акустических колебаний, характер которых, как правило, не зависит от конкретного вида начальных возмущений.
Пример такого процесса будет приведен в главе т'В Указанное обстоятельство упрощает исследование вопроса, поскольку позволяет отказаться от формулирования начальных условий — задачи почти невыполнимой вследствие крайней неопределенности малых начальных возмущений течения. В теории колебаний описанный ход явления известен как случай мягкого самовозбуждения автоколебаний. Для того чтобы система возбуждалась указанным образом, она должна быть неустойчивой по отношению к малым возмущениям течения.
Процесс самовозбуждення можно представить себе следующим образом. В начальныи момент времени существует некоторое малое возмущение течения, удовлетворяющее краевым условиям. Это возмущение можно представить как наложение гармоник системы '), причем численное значение амплитуды каждой гармоники (например, чисел А„,, в суммах (5.5)) определяется видом начального возмущении. Поскольку начальные возмущения могут иметь самый различный вид, следует предположить, что амплитуды всех гармоник отличны от нуля. Коли среди гармоник системы хотя бы одна неустойчива, то ее амплитуда будет возрастать со ') Здесь н ниже яе будет делаться разницы между понятиями гармоника и стоячая волна, соответствующая ей, и тех случаях, когда ие может возникнуть путаницы. в в| устойчивость ГА30ВОГО тичвния временелц возмущение течения перестанет быть малым и неустойчивая гармоника, обогнав в своем развитии все остальные, придаст всему процессу колебаний свойственные ей черты, вне зависимости от вида начального возмущения.
Таким образом, оказывается, что начальные условия сформулировать не только трудно, но и нецелесообразно. Однако, если не учитывать начальные условия, в математическом решении задачи должна появиться некоторая неопределенность. Эта неопределенность скажется в том, что начальные амплитуды стоячих волн (числа А, и А „) Останутся неизвестными. Легко сообразить, что в огромном большинстве случаев это не может помешать отысканию результата, представляющего действительный интерес, поскольку выше было указано, что основным является вопрос о том, нет ли среди гармоник системы неустойчивых, амплитуды которых со временем стремятся к неограниченному возрастанию (этому возрастанию ставят предел нелинейные свойства системы, никак не зависящие от начальных условий).
При этом вопрос о начальной величине амплитуды, которая стремится беспредельно возрастать, является совершенно второстепенным. Основываясь на сказанном, можно следующим образом сформулировать задачу, подлежащую исследованию. Нужно найти решение системы уравнений возмущенного движения, удовлетворяющее заданным краевым условиям, и дать количественную оценку устойчивости (или неустойчивости) каждой гармоники решения, предполагая, что в момент времени т=О все гармоники имеют некоторые отличные от нуля начальные значения амплитуд возмущения. Решения задач о колебаниях в потоке газа, движущегося по трубе с двумя открытыми концами или по трубе с одним закрытым концом, приведенные выше, дали для всех гармоник сннусоидальные колебания. амплитуды которых не возрастают и не убывают с течением времени.
При желании получить более общий результат следует воспользоваться краевыми условиями более общего вида, не ограничиваясь случаями узлов давления или скорости. 64 РАспРОстРАнение возмущений В движущ. РАзе [гл. 11 Для того чтобы не усложнять выкладки, рассмотрим сравнительно простую задачу о возбуждении колебаний в том случае, когда на выходе из трубы имеется узел давления, а на входе выполняется однородное условие р= Во. Таким образом, р=ВО при Е=О, р=О при 3=1. (8.
1) Поскольку условия (8.1) не содержат возмущения знтропии г, задача может быть решена для двух первых уравнений системы (4.10) независимо от третьего. Решение задачи проведем по той же схеме, что и в предыдущих параграфах. При з =0 гр,/(з) = 1, гр,Я) = О. Тогда формулы (4.13) вместе с первым из краевых условий (8.1) дадут А =ВА„. При 5 = 1 условие р = 0 вместе со вторым равенством (4.13) и с учетом только что полученной связи между А и А„даст соотношение р,(1)+Вр,(1) =О, если отбросить тривиальный случай Ар — — А„=О. Обратившись к формулам (4.14), сразу получаем уравнение для нахождения р: ехр (8.2) Второе уравнение сразу определяет ряд частот, нз которого можно выбрать частоты, удовлетворяющие Пусть число В будет вещественным. Это допущение не искажает общей картины изучаемого явления, но сильно упрощает выкладки.
После подстановки р = у+ ио в уравнение (8.2) нетрудно прийти к следующей системе, связывающей только вешественные переменные: 2Р 2гз 1+В 1 — М' 1 — Мг 1 — В' (8.3) ехР 1 Мг З1п 1 згг =О. 65 устойчивость газового течения и первому уравнению. Этот ряд дается равенством ее=(1 — Ма) —" (й=О, 1, 2, 3, ...).
Нетрудно видеть, что не все эти частоты удовлетворяют системе. Действительно, показательная функция 2Р ехр 1, может принимать лишь положительные значе- 1 — Ма l т+в ння и, следовательно, знак соэ и знак дроби — долнены ~ — в быть одинаковыми. Знак же соз зависит от того, четные или нечетные значения й берутся.
Таким образом, окончательное выражение для частот системы ш можно записать в следующем виде: А=О, 2, 4, ..., если — > О, 1+В (8.4) й= 1, 3, 5, ..., если — ( О. ш = (1 — ЛР)— 2 (8.5) Прежде чем подвергнуть анализу полученный результат, следует сказать о физическом смысле величины С этой целью удобно вернуться к решению (4.13).
Если рассмотреть процесс колебаний в некотором произвольном сечении трубы $ = $п то стоящие в прямых скобках выражения примут постоянные значения, а о и р можно будет записать в виде о А есх. р = А еех, где А, и А, — некоторые постоянные (для избранного сечения) величины. Поскольку обе величины изменяются в зависимости от времени одинаково, рассмотрим более подробно поведев. в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
