Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 5
Текст из файла (страница 5)
4; путем вращения совокупности изображенных векторов по часовой стрелке можно получить зна- ркс. б. Нектерэая дкаграмка чения бо, бР и бч' во все по- процесса, изображенного ка следующие моменты времени. рис. 4. В тесной связи с послед- ним способом изображения процесса колебаний стоит вопрос о способе аналитической записи соответствующих выражений.
Переменную величину, имеющую амплитуду н фазу, можно изобразить в виде вектора, Аналитически вектор можно записывать, пользуясь методами векторного анализа пли плоскостью комплексного переменного. В дальнейшем изложении будут использованы оба эти способа записи переменных. При этом надо всегда иметь в виду, что если сумма нли разность двух комплексных чисел вполне может быть заменена суммой илп разностью соответствующих векторов, то этого, как известно, нельзя сказать об их произведении.
Следовательно, особ ю осто о г га о п оявлять тогда, когда и пходится асс. ать п ои е еменных екото ый гт, если последний изменяет не только величину, но и фазу, $ 2) схемА идеАлизАции ИРОцессА сАмовозвтждвния 25 Ниже будут использованы три способа записи переменных, которые лучше пояснить на примере. Пусть рассматривается изменение двух пер челных х н у: х = х,е ' соз (о) т — , '~р), у= у,е 'соз(о)т+)р). (2.1) Из приведенных выражений видно, по рассматриваются две переменные, одинаково изменяющиеся во времени, но имеющие разные начальные амплитуды (х, и у ) и разные начальные фазы (ер н )р).
Запись изменится следующим образом, если использовать компленсные числа: х — х е(т+ьа) т = и 3 у е<т-~)а) т ) о. (2.2) Теперь х и у являются комплексными числами, и чтобы получить такое ясе изменение переменных, как в формулах (2.1), надо условиться считать, что физический смысл имеют лишь вещественные части х и у. Зто не значит, конечно, что мнимые слагаемые х и у вводятся «зря>. Действительно, пусть х =а„+(Ь„, уо = ац + 1ЬР' Тогда начальные амплитуды (ха(= ~Га~~+Ь„' н )уа)= — У"а„*+ Ье, а начальные фазы бУДУт ~Р = аготу — "; ф= аа = агстд — .
ь„ аз Следовательно, комплексные начальные амплитуды ха н уа определяют и начальные амплитуды и начальные фазы переменных. В этом их существенное отличие от ха и у в равенствах (2.1). Преимуществом записи переменных в форме (2.2) является то, что зависимость от времени выделена в отдельный множитель ехр (т+ йе) т, который одинаков для обоих переменных, в то время как в записи (2.1) эти зависимости были различными в силу того, что включали яачальные фазы ер и ф. Кроме того, множитель ехр (т -(- )е)) т никогда не обращается 26 овщля хлглкткгистикл колввлний [гх. з а сом ниоот + Ь е" сов сот = О. х о х о Если ввести теперь новую шкалу времени т' так, чтобы вьшолнялось равенство т =т'+то и новые начальные амплитуды, то вместо равенств (2.2) можно написать: и = х'с<хвоем у = у,е('+о"о', (2.3) где хо — т с(т.о окко о —.
„ й, =- у,е(огооом' (2. 4) Записи (2.2) и (2.3) совзршэнно эквивалентны по существу и одинаковы по форме, но начала отсчета времени в них отличаются на т„причем в записи (2.3) удовлетворяется условие, чтобы в момент т' = О х было вещественной величиной. Таким образом, должным выбором отсчета времени можно выполнить некоторые требо- в нуль. Приведенные здесь соображеиия делают запись вида (2.2) предпочтительной, и ниже будет в основном использован этот способ записи переменных. В тех случаях, когда зависимость переменных от времени интереса не представляет, а главным является соотношение лоеяду амплитудами и фазами переменных х и у, можно для характеристики этих соотношений использовать комплексные амплитуды хо и у,. Действительно, умножение хо и уо на зависящий от времени множитель ехр (т+ Йэ) т, хотя и изменяет амплитуды и фазы х и у, но пе изменяет отношения !хиу! и разности фаз, которая продолжает оставаться раиной ор Ф Таким образом, в указанных случаях можно использовать комплексные амплитуды хо и уо вместо т и у, причем время начала отсчета т= О назначить так, как это удобно по существу задачи.
Поясним это на примере. Пусть, например, требуется, чтобы начальная амплитуда хо' была вещественной величиной. Этому соответствует момент времени т = т„определяемый равен- ством 1 2) схемА идеАлизАции пРОцессА сАИОВОЗБУждения 27 оУо = Другой пример. Надо вычислить величину зя оэ — 1 хуо(т, 2л о (2.5) причем х и у предполагаются записанными в виде (2.1) для у = О. Легко убедиться, что эта величина равна 1 , х,у,сов(гэ ф). Следовательно, оо Г 1 — ЕУ о)» = — Еоу„ т. е. векторная запись переменных может оказаться и в этом случае весьма полезной. В дальнейшем в настоящей книге будут использованы все три формы записи переменных: (2.1), (2.2) и векторная. Выбор того или иного способа всецело зависит от существа рассматриваемой задачи п обычно не оговаривается специально. Следует лишь подчеркнуть, что в тех ванна о начальном положении вектора х в комплексной плоскости.
В тех случаях, когда изменение переменных во времени интереса не представляет, можно для суждения об относительных амплитудах и разностях фаз пользоваться не только комплексными амплитудами х, п уо, но и вектоРами осо и У,. Такой способ записи переменных имеет известные преимущества. Нусть, например, по существу рассматриваемой задачи надо написать, что сдвиг по фазе между л х, и у равен — . Наиболее простой эта запись получится, если вместо х, и Уо ввести вектоРы жо и У, и ПРиРавнять нх скалярное произведение нулю: 28 Ов!цАя хАРАктеРистикА кОлеБАний [гл.
1 случаях, когда производится рассмотрение нелинейных соотношений (задача об автоколебаниях, составление выражений вида (2.5) и т. п.], комплексные переменные, соответствующие записи типа (2.2), использованы быть не могут. Это связано с тем, что вещественная часть произведения ху (где х н у комплексные величины, записанные в форме (2.2)) и произведение ху, вычисленное для (2.1), не равны друг другу.
В связи с этим комплексная форма записи переменных будет применяться только в линейных задачах. ГЛАВА 11 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВИЖУЩЕМСЯ ГАЗЕ ~ 3. Линеаризация уравнений гидромеханикп При изучении процессов, связанных с возбуждением акустических колебаний путем подвода тепла к движущемуся газу, нельзя пользоваться обычными уравнениями акустики. Это связано с тем, что уравнения акустики получают, предполагая, во-первых, отсутствие какого-либо движения среды (воздуха) кроме движения, непосредственно связанного с распространением звуковых волн, и, во-вторых, считая среду изознтропичной. Необходимые для исследования исходные уравнения получим путем линеаризации уравнений гидромеханики сжимаемой жидкости н термодинамики.
Этот путь вполне естествен, поскольку звуковые колебания можно определить как колебательные движения в сжимаемой жидкости '), характеризуемые малыми амплитудами. Как уже говорилось, в дальнейшем будут рассматриваться только продольные колебания в достаточно длинных цилиндрических трубах. (Длинными трубами будем считать такие, у которых диаметр мал по сравнению с длиной трубы.) Это условие позволяет опускать детальный анализ сложных явлений, имеющих место на концах трубы, и заменить их некоторым интегральным эффектом в том виде, в каком он проявляется при некотором удаления от конца. Если, кроме того, условиться рассматривать лишь низкие частоты акустических колебаний (такие, для которых длина волны велика по сравнению ') Ниже ие будет делаться разинцы между термивами жидкость, сжимаемая жидкость и гаа.
30 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВИЖУ!Ц ГАЗЕ ~гл. П с диаметром трубы), то можно считать, что вдоль каждого поперечного сечения трубы все величины (скорости, давления и т. и.) постоянны, а направление распространения волн возмущений совпадает с направлением оси трубы. Конечно, понятия достаточно длинной трубы и достаточно низкой частоты колебаний довольно неопределенны н степень выполнения этих условий нужно оценивать в каждом конкретном случае, исходя нз физической сущности рассматриваемого явления и пз требований, предъявляемых к теоретическому анализу. В зависимости от того, должна ли теория дать точные количественные результаты или только указать на качественную сторону явления, эти ограничения могут изя1еняться в широких пределах. Здесь существенно лишь то, что в случае справедливости принятых допущений можно ограничиться рассмотрением задачи в одномернон постановке.
Сделаем естественное предположение, что и основное течение в длинной цилиндрической трубе, на которое оказались наложенными малые возмущения, также может рассматриваться как одномерное. Будем считать газ ндеальпым (не вязким н не теплопроводным). Запишем основные уравнения одномерной гндромеханики, направив ось л вдоль осн трубы — -1- Π— -1- — = О, ди дх 1 дР д1 дх ' о дх Здесь 1 — время, Р— скорость течения, р — давление, о — плотность текущей среды, г — энтропия. Первое из этих уравнений является, как известно, уравнением движения жидкости (уравнение Эйлера), второе уравнением — неразрывности и третье — условием сохранения антроппп частгщы.
В силу предположения об идеальности газа энтропия любой его элементарной частицы не может измениться при движении по трубе в пределах тех участков трубы, в которых отсутствует теплоподвод. Это следует нз того, что 1в1 лннвгпизлцпп хглвнкпии гпдгомкхпниьп 31 идеальность газа означает отсутствие вязкости и теплопроводности. Отсутствие теплопроводностп приводит к тому, что температуры соседних объемов, нагретых неодинаково, не могут постепенно выравняться.
Отсутствие же вязкости не позволяет механической энергии течения переходить в тепловуго форму п тем самым изменять энтропию. Таким образом, энтропия г каждого элемента движущегося по трубе газа будет оставаться постоянной, хотя соседние элементы и могут иметь разную энтропию. Это справедливо, конечно, для движения газа по участкам трубы, в которых газ не подвергается внешним воздействиям (теплоподводу и т. п.). Математическим выражением этого п является третье из уравнений (3.1). Допустимость использования предположения об идеальности газа для получения гисходной системы уравнений (3.1) не является очевидной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
