Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, ыассы воздуха как бы устремляются к центру, что и вызывает после их «столкновения» и гашения возмущений скорости повышение давления в средней части трубы в момент т = — . Далее сжатый в центре воздух устремляется 2 в области более низкого давления (к концам трубы), 4е бй РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВИЖУЩ.
ГАЗЕ [гл. и в момент т=1 возмущение давления исчезает, но движущийся по инерции газ (влево в левой части трубы и впра- 3 во в правойг) приводит в момент т= — к появлению наиболь- 2 лего разрежения в центральной части трубы. Воздух Рис. 7. Эпюры мгновенных вначений и и р для первой гармоники (труба, открытан е обоих концов). вновь устремляется в область пониженного давления (на этот раз к центру трубы), и весь цикл повторяется. Эпюры, приведенные на рис.
7, построены для очень малых значений средней скорости течения. Чтобы проиллюстрировать влияние этой скорости на характер колебаний, в частности показать возникающий между фазами 53 ч 61 стоячии волны р и с колебания в разных сечениях сдвиг, на рис. 8 приведено изменение р в момент времени, близкий к т=0,5 для М=О а М= — 0,2. Все сказанное до спх пор касалось колебаний в трубе, открытой с обоих концов (краевые условия р=О для з =0 М=П Рис. 8. Эпюры мгновенных значений р для первой гарионики (труба, открытая с обоих концов) при М=О и М=0,2. и $ =1). Другим классическим случаем, обычно рассматриваемым в акустике, является возбуждение колебаний в трубе с одним закрытым концом.
В этом случае краевые условия поясно записать (поместив закрытый конец трубы слева) в следующей форме: О=О при $=0; р =0 при $=1. 54 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИИ В ДВИЖУЩ. ГАЗЕ ~гл. Н Тогда первое краевое условие дает, согласно формулам (4.13) и (4.14), А,=О, а второе А„ср,(1) =О. Отбрасывая тривиальное решение А„=О, находим усло- вие, при котором ~р, (1) =-О, воспользовавшись первым равенством (4.14): 2 — .1)=- Положим, как это делалось выше, р=-Р+йо и после ряда несложных преобразований получим: У=-О, в=(1 — М') — (й = 1, 3, 5, ...).
Сравнивая эти выражения с аналогичными формулами (5.4), найденными вьппе, видим, что колебания и в рас- сматриваемом случае остались гармоническими, но часто- ты их изменились. Первая гармоника (основной тон колебания) характе- ризуется вдвое меньшей частотой, а высшие гармоники связаны с основным тоном не отношениями частот, про- порциональными ряду натуральных чисел 1: 2: 3:..., а отношениями частот, пропорциональными ряду нечет- ных чисел 1: 3: 5,...
Таким образом, у трубы, открытой с двух концов, частота второй гармоники вдвое выше частоты основного тона, а у трубы, закрытой с одного кон- ца, втрое выше частоты основного тона. Кслн рассматривать стоячие волны в трубе с одним закрытым концом, то большинство выводов, полученных в настоящем параграфе, может быть легко распространено и на этот случай. Разница будет лишь в том, что частоту для к=1 надо будет всюду взять вдвое меныпую, вели- чина Й сможет принимать лишь нечетные значения, а вместо амплитуд А„„войдут А и произойдет связан- ная с этим смена ролей функций 7,(ь) и ф,(ь). В частности, вместо формул (6.2) будем иметь: СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ р и е 55 а вместо формул (6.3) следующие выражения: — ЕЯ$ )Еп [М$+ () — Ме) т) ох= — (Лреэ1п 2 ехр Ре = Ар, соэ — ехР— Епй гая [М$+() — Ме) т) (6.
6) Пользуясь этими выражениями и положив А .,=1, легко построить эпюры амплитуд колебаний (6.5) для различных гармоник, подобно тем, которые были приведены на рнс. 6. Такое построение для трех первых гармоник дано на рис. 9. Эти эшоры показывают, что при коле- Рис. 9. Эпюры стоячих волн ! о) и ~ р ) для трех пер- вых гармовик (труба, открытая с одного копна].
баниях по основному тону (нервой гармонике) на длине трубы помещается четверть длины волны, прн колебаниях по второй гармонике — е), длины волны, третьей гармонике соответствУет 1х)е длины волны и т. д. Если говорить не об абсолютных величинах амплитуд возмущений, а о мгновенных значениях возмущений давления и скорости, то следует воспользоваться формулами (6.6), нанося на график лишь вещественные части получаемых величин. Тогда для основного тона, взятого для примера, будет получена при ЛХ=-.О картина колебаний, представленная на рис. 10. Как и в случае акустических колебаний, в трубе, открытой с двух коннов, между колебаниями скорости и давления имеется сдвиг по фазе на — ", 2' а моментам наибольшего возмущения скорости соответствуют моменты отсутствия возмущений давления, и наоборот.
При желании нетрудно построить и для этого случая 56 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВИЖУЩ. ГАЗЕ [гл. 11 графики, аналогичные приведенным на рис. 8, т. е. учесть сдвиги фаа при ИФО. Уповгянутый здесь сравнительно малый в обычных условиях сдвиг по фазе связан с наличием течения по Рис. 10. Эвюры мгновенных авачевий о и р длв первов гармоники (труба, открытав с одного конца).
трубе со средней скоростью, неравной нулю. Существование такого течения может покаааться странным для трубы с одним закрытым концом. Следует иметь в виду, что закрытый с акустической точки зрения конец трубы может быть вовсе не закрытым с других точек зрения.
Пример такого рода дает описанный в гл. Х предтонок, работающий на пылеугольном топливе. Здесь можно привести другой пример, по-видимому, более наглядный. Предста- Стоячие ВОлны р и и вим себе, что у закрытого конца трубы расположены форсунки, подающие через весьма малые отверстня жидкое горючее и жидкий окислитель.
Указанные компоненты топлива, вступая в реакцию горения, дают поток газообразных продуктов сгорания, движущихся по трубе к ее открытому концу. Таким образом, в подобной трубе, являющейся простейшей идеализаЦией жидкостного реактивного двигателя, будет наблюдаться непрерывный поток газов при наличии закрытого (для газов) конца у трубы. В заключение обратимся к рассмотрению периодов акустических колебаний. Численное значение периода колебаний для обоих рассмотренных типов труб легко получить, зная безразмерные частоты колебаний, приведенные в формулах (5.4) и (6.4), поскольку связь между периодом колебаний Т н частотой ю дается известной формулой (6.7) одинаково годной как для размерных, так и для безразмерных переменных. ' Однако здесь можно привести и более наглядный способ получения нужных формул.
Период колебаний связан с длиной волны и скоростью распространения возмущений известным простым соотношением. Для неподвижного газа скорость возмущений равна скорости звука а и поэтому Т Л (6.8) где Л вЂ” длина волны. Если вспомнить, что для труб с открытыми концами длина волны равна удвоенной длине трубы, а для труб с одним закрытым концом — учетверенной, то сразу получаются простые формулы: т" ит4', (6.9) Иногда говорят в связи с этим, что период колебаний в первом случае равен времени, необходимому для движения звуковой волны вдоль трубы н обратно, а во втором 58 РАспРостРАнение ВОзмУщений В дВижУЩ. ГАзе [гл. ~ случае говорят о двукратном движении звуковой волны в обоих направлениях.
Приведенные формулировки нельзя рассматривать как простые правила для запоминания; они отражают физическую сущность процесса, которую легко уяснить, обратившись к решению, записанному при помощи переменных и и ш. Анализ системы (4.6), приведенный на странице 37, показал, что акустические импульсы и и и движутся по трубе в разных направлениях со скоростью Р,+а и Р,— а соответственно.
Следовательно, расстояние, равное длине трубы Л импульс и пройдет в положительном направлении Ь за время, а иьшульс ш в отрицательном направл+гл Ь ленни за время . Краевое условие, соответствую- а — гл ' щее открытому концу (узлу давления) бр=О, выраженное при помощи переменных и, ш, будет иметь следующий вид (4.5): а краевое условие, соответствующее закрытому концу трубы (узлу скорости) ба=О, и= — в. (6. 11) Пусть некоторый единичный акустический импульс и, двинулся в положительном направлении вдоль трубы с открытыми концами. Дойдя до правого конца трубы, он «отразится» от него по краевому условию (6.10) и влево двинется импульс юг той же интенсивности.
Дойдя до левого конца трубы и отразившись от него по тому же краевому условию (6 10), импульс и вновь вернется к первоначальному значению и„после чего указанный цикл будет повторяться неограниченное количество времени. В трубе с одним закрытым концом (например, слева) процесс в своей начальной стадии ничем не будет отличаться от описанного. Однако, когда отраженный от открытого конца трубы импульс и, достигнет левого (закрытого) конца, он отразится уже по краевому условию (6.11) и вправо двинется импульс — иг Затем последует отражение от открытого конца, влево пойдет импульс — ш, 59 вкгшпик волны а а о и только после второго отражения от закрытого конца вправо двинется первоначальный импульс и .
Таким образом, весь цикл, после которого система приходит в исходное состояние, сводится в трубе с двумя открытыми концами (или двуми закрытыми концами) к однократному движению акустического импульса в обоих направлениях трубы, а в трубе с одним закрытым и одним открытым концом — к двукратному движению в обоих направлениях. В связи со сказанным период колебаний для трубы с двумя открытыми или закрытыми концами определится равенством Т = + =,, (6.12) а+го а — оо 1 — Мо а и для трубы с одним закрытым иодним открытым концом Т вЂ” + + + —, —. (6.13) а+го а — оо ' а+оо а — оо 1 — М' а Сравнивая формулы (6.12) и (6 13) с полученными ранее для неподвижной среды формулами (6.9), видим, что прн движении среды периоды колебаний отличаются множителем 1,, блошкнм к единице при достаточно малых скоростях течения (ЛХ' « 1).
Таким образом, периоды колебаний для акустических систем с движущимся газом в простейшем случае, рассмотренном выше, можно в первом приближении рассчитывать, не принимая во внимание средней скорости течения. Этот результат, конечно, можно было получить и сразу, воспользовавшись формулами для частот колебаний (5.4) и (6.4), из которых видно, что частоты для ЛХ=О и ЛХ Ф О отличаются лишь тем, что во втором случае в формулах для ю появляется множитель (1 — ЛХ'). у 7. Бегущие волны и, зв и а В конце предыдущего параграфа уже были использованы переменные и и по. Опи оказываются весьма полезными н в ряде других случаев. Поэтому целесообразно провести рассмотрение свойств волн и и по, подобно тому, 60 РАспРОстРАнение ВОзмУЩений В движУЩ. ГАзе 1гл.
11 как это было только что сделано для волн р и и. Последнее тем более полезно, что как система уравнений (4.10), так и система уравнений (4.11) содержат еще возмущение энтропии з, свойства которого почти полностью совпадают со свойствами возму1цений и и в. Рассмотрим решения (4.12). При гармонических колебаниях, соответствующих р=1ю, амплитуды Колебаний и, 1в и з будут постоянны во всех сечениях и равны соответственно )А,(, (А„,) н )А,!. Чтобы подчеркнуть отличие волн и, и и з от волн р и и, будем говорить о них, как о бегущих волнах, понимая ~Ю под последними волны, имеющие вполне определенную скорость распространения (ее удобно представлять себе как скорость смещения гребня волны относительно стенок трубы) и отличающиеся тем, что их амплитуды (высота гребня) остаются постоянными при движе- !Р! б нии вдоль оси $. Из сказанного вьппе очевидно, что эпюры абсолютных величин (амплитуд) волн Ы, в и з будут иметь одинаковую Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
