Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Строго говоря, следовало бы показатгч что пренебреженье вязкостью н теплопроводностью не вносит существенной ошибки в результаты анализа. Здесь этот вопрос не будет рассматриваться более подробно. Следует лишь указать, что более тщательный анализ, произведенный Мерком '), по сути подтверждает справедливость такого допущения.
Им было показано, что учет вязкости и теплопроводности лишь незначительно искажает картину малых колебаний в ближайшей окрестности зоны теплоподвода и яе сказывается сколько-нибудь существенным образом на концах трубы, т. е. в сечениях, для которых записываются краевые условгия. Влияние вязкости и теплопроводности на изменение энтропии должно быть более существенным.
Однако в дальнейшем изложении поток энтропии и его возмущения почти не будут играть роли прп анализе процесса возбуждения акустических колебаний. Три уравнения (ЗИ) содержат четыре переменных: и, р, о и в. Легко заметить, что эти переменные не являются независимымп. Связь между тремя последними дается термодинамическим соотношением в = с„1п р — с„1п р, (3.2) ') М е г 1г П. 1., Лпа!ув1в о1 Ьеаьдгнеп овс111апепв е1 пав йекв, Лрр1. Яс1еп1.
Вев., 1957, Лб, гй 4. 32 РЛСПГОСтГЛНВПИВ ВОЗМОЩКИПй В ДВВЛЫЩ. ГЛЗГ. (оо М где с„— удельная теплоемкость при постоянном объеме; с — удельная теплоемкость прн постоянном давлении. Исключив при помощи соотношения (3.2) одну из переменных из систегоы уравнений (3.1), можно свести число переменных к трем. Это, однако, удобнее сделать после лпнеаризацни уравнений. Будем рассматривать некоторый установившийся процесс течения газа по цилиндрической трубе. Исключим из рассмотрения участки теплоподвода. Тогда в силу сделанных выше предположений во всех сечениях между участками теплоподвода и в каждой точке этих сечений скорость газа, его плотность, давление и энтропия будут одинаковы. Обозначим их п„о„ро и г,. Пусть на установившееся течение накладываются слабые возмущения параметров течения б Р, Ьр, бо и бю Эти возмущения будут, конечно, одинаковыми для всех точек рассматриваемого сечения, но могут быть разными для соседних сечений.
В этом их сУЩественное отличие от Р„оо, Р и г, постоЯнных для всех сечений. Таким образом, для возмущенного течения можно напнсаттп о=по+бе~ Р=Ро бР~ (З.з) о=оо+бо г=го+бг. Подставив выражения (3.3) в уравнения (3.1) п (3.2), отбросим величины высших порядков малости и учтем свойства установившегося течения. Это позволит получить уравнения, линейные относительно,'бо, бо, Ьр и бг. Покажем зтот процесс на примере первого уравнения (3.1). Подставив значения о, о н р из (З.З) в уравнение движения, получим; д (хо+до)+ о, б Е д (хо+до), 1 д (Ро+дР) Если учесть, что в силу указанных вьппо свойств доо доо, дРо установившегося течения, == О, —.
= — О; — - = — О, до ' дх ' дх написанное уравнение может быть приведено к следующему виду: 1 31 линеАРизАция уРАВнений ГидРомехАники 33 При написании этого равенства была использована известная формула, справедлввая для з « 1 1 — =1 — з+з 1+х где з — величина высшего порядка малости относительно з. Применительно к рассматриваемому случаю бд « оо зто дает 1 1 бс = — — —, + е. Ее+до Со ао Возвращаясь к предыдущему равенству, заметим, что дбо бс ддр дбр слагаемые бо —; — — — и е являются членами высдх ' Эоо дх дх шего порядка малости по сравнению с тремя другимн слагаемыми полученного равенства (при этом предполагается, что производные от возмущений имеют тот же порядок малости, что и сами возмущения).
Отбрасывая эти малые слагаемые, запишем уравнение Эйлера в следующей форме: дбо дбо 1 дбр О де "о дх Со дх Поскольку о, и р, постоянны, это уравнение является линейныоо относительно перелоенных. В этом смысле оно существенно проще исходного уравнении движения (3.1). Однако'эта простота достигнута за счет сильного сужения области применимости нового уравнения. Если уравнение в исходной форме (3.1) применимо ко всяким одномерным течениям идеальной жидкости, то в новой форме оно справедливо лишь для течений, мало отклоняющихся от стационарных.
Использование в настоящей книге линеаризированных зависимостей вместо точных является вполне оправданным, так как акустические колебания характеризуются малыми амплитудами. Произведя линеаризацию второго и третьего уравнений системы (3.1), а также уравнения (3.2), получим следующую исходную систему уравнений возмущенного 3 В. В, Раушенбах движения газового потока: дбо дбо 1 дбр — +о — + — — — =О, дС о дх Е, дх дбЕ дбЕ дбо — +о — +Š— =О, до о дх о дх дбо дбо — +о — =О до о дх (3.4) бг+ с — — со — =- О. бе б Р ЕО оРО Относительно этой системы следует сделать одно замечание. В результате линеаризации уравнений (3.1) и (3.2) переменные о, е, р и г заменены вариациями этих переменных бо, бЕ, бр и бг.
Произведенные при линеаризации выкладки существенно опирались на предположение о малости бо, бо, бр и бг. Но еслл говорить о малости какой-либо величины, то всегда надо указывать, по сравнению с какой другой величиной ее следует считать малой. Глядя на равенства (3.3), можно подумать, что имелась в виду малость по сравнению с о„ Е„ ро и г,. Однако это не совсем так. Действительно, в неподвижной среде о, = О и в этом частном случае сколь угодно малое бо нельзя считать малым по сравнению с о,, Аналогичные соображения можно привести и относительно бг.
Как известно из термодинамики, начало отсчета энтропии можно назначать произвольно. Взяв его равным г„ сразу получаем г, = О и, следовательно, отклонения энтропии бг нельзя считать малыми по сравнению с г,. Липоь о бЕ и бр можно говорить, что они малы по сравнению с Ео и р„поскольку переход от уравнения (3.2) к линеаризованной форме, приведенной в последней строке системы (3.4), возможен только при конечных значениях р, н Ео. Когда говорилось о малости вариаций переменных бо, бе. бр и бг, то имелось в виду только то обстоятельство, что квадратами и произведениями этих вариаций и их производных мононо пренебрегать по сравнению с линейными членами.
(Это не значит, конечно, что у названных переменных нет естественных масштабов малости, такие масштабы будут приведены в следующем параграфе.) 34 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВИЖУЩ. ГАЗЕ [ол. П ~ 4. Акустические волны в движущемся неизознтропическом газе Система уравнений (3.4) может быть упрощена путем исключения одной из переменных при помощи конечного соотношения, приведенного в последней строке.
Выразив бр из четвертого уравнения и подставив его во второе, получим равенство второе слагаемое в левой части которого равно нулю в силу третьего уравнения системы (3.4). Множитель при первом слагаемом равен — — = —,, где а — скорость с,Ео 1 ср р, ао' звука в,невозмущенном течении. Это следует из известных термодинамических соотношений: р=дйТ, а=~у' ЕЛТ, (4.1) (4. 2) к=— ср сс (газовая постоянная ст здесь отнесена а не веса). Таким образом, после исключения гоожно придать следующий вид: дбс дбс, 1 дбзо оо дх дбр дбр а дбс — + с — +аар дС дх о дх дбо дбо — +с дС одх (4.3) к единице массы, бо системе (ЗА) (4.4) Особенностью полученной системы является то, что вследствие выбора в качестве зависимых переменных величин бс, бр и бг первые два уравнения могут быть проинтегрированы отдельно от третьего.
Это обстоятельство заметно упрощает вычисления. Физический смысл етого отделения третьего уравнения от первых двух сводится к тому, что акустические волны давления и скорости распространяются независимо от «тепловых» волн 1 о] АкУстические ВОлны В ДВижУЩемсЯ ГАВВ 35 36 РАспРостРАнение ВОзмУЩений В ДВнжУЩ. ГАзе ~гл.
и энтропии. Казалось бы, что на этом основании можно было бы вообще ограничиться рассмотренеем системы из первых двух уравнений. Однако в общем случае это не так. Дело в том, что при написании краевых условий или прн формулировании закономерностей процесса теплоподвода величины бр и бо могут оказаться связанными с Ьг и тогда третье уравнение снстомы будет играть важную роль. Система уравнений (4.4) не является, однако, наиболее простой из всех возможных. Действительно, если ввести переменные и = ао,бо+ бр, кг = ао,бо — бр и, выразив из этих равенств бо и бр, подставить их в первые два уравнения (4.4), а затем взять почленную сумму и разность полученных уравнений, то система (4.4) принимает следующий вид: ди (о,+а) — =О, ди — + дс диг — + дй дм (,— ) — =о дбг дбл — +о — =О.
дг лдх (4.6) Здесь уже каждое из трех уравнений интегрируется отдельно от остальных. Прн этом все три уравнения совершенно однотипны и поэтому достаточно проинтегрировать любое из них. Рассмотрим для определенности третье уравнение. Общим решением его является, как известно, выражение бг = Р (х — о,Г), (4. 7) х — олГ = сопИ, где р — произвольная днфференцируемая функция. Выясним смысл полученного решения.
Из написанного выражения видно, что Ьг изменяется; вообще говоря, как при изменении х, так и при изменении Й Однако для моментов времени г и координат о, удовлетворяющих условию «П Акустическии Волны в движтщемся ГАзе 37 величина ба будет оставаться постоянной. Пусть для момента времени г= — 0 бг есть некоторая заданная функция х. Эту зависимость можно наглядно представить себе в виде мгновенной фотографии некоторой «волны» бг.
Рассмотрим движение «гребня» этой волны (сечения, где бг имеет наибольшее значение), предположив что этот «гребень» существует. Если в момент времени «=0 «гребень» имел координату х„то соответству|ощее ему сечение (т. е. сечение, в котором г' достигает максимума) будет перемещаться согласно сказанному выше по закону х= х,+ сед Буквально то же самое можно сказать и о всех других точках «волны».
Следовательно, найденное решение (4.7) . описывает дзян«ение волны ба без изменения ее формы в положительном направлении оси х со скоростью гш Приведенные здесь формальные выкладки соответствуют совершенно очевидному физическоиу явлению— поскольку энтропия элементарного объема газа не мол«ет измениться (напомним, что рассматривается идеальная' сжимаемая жидкость), то она будет перемещаться вдоль осн течения вместе с несущим ее объемом, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
