Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 8
Текст из файла (страница 8)
При этом основной тон (навнизшую частоту) будем называть первой гармоникой, частоту, соответствующую Й = 2 — второй гармоникой и т. д. 1 5> пРимеР пРосткйшей ИРАевой злдАчн Каждое значение ю, взятое по формуле (5.4), т. е. каждая гармоника, определяет частное решение системы пз двух первых уравнений (4.10), удовлетворяющее поставле>шым краевым условиям. В силу линейности этих уравнений сумма частных решений также удовлетворяет этим уравнениям и краевым условиям (5,1), Следовательно, решением системы будут не только функции (4.13), но и их суммы.
Взяв суммы для всех значений л, получим — А [с-((1-и> алэ+ с<(1+м> ал$) е( (1-м5> Аж .= — Х '' 5=1 (5.5) р = — ~~ А„(е-1<1-аг> ал1 — е' <'+и> ал4) е' <'-и'> "лт. ! 2 ~> ы ' ) Здесь буквами А,5 обозначены неопределенные пока числа, которыми можно распорядиться так, чтобы удовлетворить начальным условия>1. Строго говоря, прежде чем идти дальше, надо было бы доказать сходимость рядов (5.5). В курсах уравнений математической физики приводятся соответствующие теоремы, которые позволяют судить о том, какие ограничения следует наложить на функции >1(В) и /5(В) (5.2), чтобы нх можно было разложить в ряд по функциям, стоящим в прямых скобкчах в выражениях (5.5). Этот вопрос н ряд првмыкающпх к нему вопросов математического характера здесь исследоваться не будут, главным образом потому, что в дальнейшем задачи с начальными условиями не рассматриваются; интересующиеся найдут соответствующие сведения в специальных руководствах.
Для полноты доведем, однако, решение поставленной в настоящем параграфе задачи до конца, сделав упрощающее допущение, что газ в трубе неподвижен (ЛХ = О). Тогда решения (5.5) примут при т= О следующий вид: Р= ~ А5„соз>(я~, 5=1 4б РАспРОстРАнение ВОзмУщений В дВИЖУщ. ГАзе !гл. 11 ПолагаЯ Аы = ад+16, полУчим из послеДних Равенств: СО о = ~ аз сов/сл$+1Ьдсов/слЗ, 1=! Р= ~! — /Вавш/сл$+ Ьлв1В/сл~ прп Т=О. Если вспомнить, что лишь действительные части комплексных выражений соответствуют фактическим мгновенным значениям о и р, которые можно наблюдать экспериментально, то, сравнивая полученные выран!ения с начальными условиями (5.2), сразу получим равенства: /!Я) = 'Е а,сов/сл$, л=! 1(з)= Х Ь ' $.
л=! (5.6) Из теории рядов Фурье известно, что любая функция /(х), удовлетворяющая условиям разложения в ряд Фурье, может быть представлена в виде СО /(х) — — + 'Я с„сов /слх, а=! где с. = 2 /(х) сов /слхс/х, /(х) = ~ Ь„всп/слх, А=! где Ьд- — 2 ~ /(х) в1В/слхс/х, е если /(х) — функция, нечетнан в том же интервале. если /(х) — четная функция в интервале от х= — 1 до х=1, или в виде 47 стоячив волны р а Функции ~, Я) и /, Я) заданы не в интервале ( — 1, 1), а лишь в промежутке (О, 1).
Однако обе функции можно продолжить н на интервал ( — 1, О). При этом функцию 1, (з) естественно продолжить нечетно, поснольку по краевому условию (5.1) ~, (О) = О. Функция ~, (з), представляющая возмущение скорости, прн $=0, вообще говоря, не равна нулю, нее следует продолжить четко. При этом, не нарушая общности, можно положить ее среднее значение равным нулю, так как если это среднее значение отлично от нуля, его можно прибавить к скорости невозмущенного течения. Таким образом неопределенные коэффициенты аз н ба в формулах (5.6) легко находятся как коэффициенты соответствующих рядов Фурье аь = 2 ~ ~,(х) созапхдх, о Ь =2 1с(х)э)папхдх, и задача решена.
~ 6. Стоячие волны 1т и в Решение (4.13) показывает, что в каждой точке трубы давление и скорость колеблются одинаковым образом во времени. При этом амплитуды колебаний могут быть разными и зависят от координаты $. Движение такого типа принято называть стоячей волной. Сечения, в которых переменные р и о во все моменты времени равны нулю, называют узлами стоячей волны, а сечения, в которых р н о достигают наибольшего значения — пучностями.
Осуществленное в предыдущем параграфе представление произвольного возмущения в виде сумм (5.5) можно теперь истолковать как получение произвольного вида возмущения путем суперпознцни (наложения) стоячих волн. Из сказанного видно, что стоячие волны колебаний представляют значительный интерес и более подробное рассмотрение их свойств является необходимым. 48 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВИЖУЩ. ГАЗЕ >гл. Н Каждой гармонике (каждому значению ю) соответствует своя стоячая волна. Если графически изобрааить изменение амплитуд колебаний в функции координаты з, то получится волнообразная кривая, приходящая к осн з в узлах н достигающая максимумов в пучностях. Из формул (5.5) видно, что каждая стоячая волна (слагаемое под знаком суммы, соответствующее некоторому К) складывается из двух периодических функций переменной Для некоторой стоячей волны, соответствующей заданному л, будем иметь: Π— — А [е — 1<>-м>лаз + с> <>+м> ллы е>1> — мл> ллл 2 р>, = — А„.,"е ' <> и> ллз — е> <>+11> "' л) е> 1>-мл> ллл >л 3 м( Найдел> амплитуды Ол и р„, попил>ан под этим абсолютные значения комплексных переменных Ол и рл.
Если вспомнить, что абсолютное значение произведения комплексных чисел равно произведению абсолютных значений сомножителей, а абсолютное значение показательной функции с мнимым показателем всегда равно единице, то >О,,! = —, ) А,.Л! ~>Е>Млло(Е->Л Л+Е>Лла) ) = = ) А„л )! соз йя$ ), (6.2) ! рл ) = — ! А„л >> есиллт (е — >лл1 — е>лл1) ! = = / А„.„Ц гйп ляз !. Полученные выражения указывают на два важных свойства стоячих волн О и р.
Во-первых, пучностям р соответствуют узлы О и наоборот, причем узлы расположены на одинаковом расстоянии от соседних пучностей, а пучности на одинаковом расстоянии от соседних узлов. Во-вторых, амплитуды ~ол~ и ,'рл~ являются периодическими функциями координаты ~. Поскольку амплитуды стоячих волн оказались периодическими функциями координаты $, можно ввести понятия о длине волны возмущения. Будем называть длиной 49 стоячии волны р н е стоячей волны удвоенное расстояние между узлами давления или узлами скорости. Длина волны определена как удвоенное расстояние между узламн для того, чтобы новое определение совпадало при М=-О с общепринятым в акустике неподвижной среды. Из приведенного определения следует такясе, что расстояние между узлами давления и соседним узлом скорости равно четверти длины волны.
Как видно из сказанного, многие свойства стоячих волн в движущейся среде совпадают с соответствующими свойствами стоячих волн в трубах, заполненных неподвижным газом (или свойствамн стоячих волн на струне). Однако между ними есть и различия. Если в неподвижной среде стоячая волна характеризуется тем, что во всех сечениях фазы колебания совпадают, то для стоячих волн в движущейся среде зто свойство теряет силу. Формулы (6А) можно записать в следующем ' виде: о = А соз йл$еаан ~из+О и'> х~, а= еа (6.3) р = — (А„а з1п йл$емнР~4+<' ма>х~.
Напомним, что если представлять колебательный процесс, пользуясь комплексными переменными, то равенство фаз выражается как равенство аргументов комплексных чисел. Очевидно, что постоянные множители Аеа и а одинаковым образом влияют на аргументы оа и р„для всех $ и т. Кроме того, выражения сов)ель и з)п йл$ являются вещественными и поэтому их аргументы не зависят от с и т. Следовательно, изменение аргументов при изменении с и т может происходить только в связи с изменением аргумента выражения емн ~из+О-ма) х1, При ЛХ = О (неподвижная среда) аргумент этого выражения зависит только от т. Следовательно, при заданном т=т, аргументы о„и соответственно р„для всех $ одинаковы.
Поэтому в неподвижном газе фазы колебаний для всех З совпадают. При ух ~ О (движущаяся среда) аргумент рассматриваемого выражения зависит не только от т, но и от 4 в. в. Раушенбах 50 РАспРОстРАнение возмУЩении В ДвижУЩ. РАзе [гл. 11 тем сильнее, чем больше М. При заданном т=т, аргумент оа (и р ) есть линейная функция $.
Разность фаз колебаний в двух сечениях $ = З1 н $ = $ равна йяйу (ьа $1) и не зависит от времени. Если вдуматься в этот формальный вывод, то он окажется вполне естественным. Действительно, стоячая волна в неподвижной среде характеризуется совпадением фаз колебаний во всех сечениях. Если такие колебания возникают в движущемся газе, то они будут стоячими относительно среды, н поэтому узлы и пучности будут двигаться со скоростью среды. В рассматриваемой задаче, в соответствии с краевыми условиями (5А), узлы должны быть неподвижны относительно стенок трубы и поэтому волна должна «бежать» против потока со скоростью движения потока относительно стенок трубы. Следовательно, нельзя ожидать полного совпадения свойств стоячих волн в трубах при покое илн движении среды.
Как показывает проделанный анализ, при движении узлов относительно среды возникает фазовый сдвиг между колебаниями, происходящими в разных сечениях. Формулы (6.2) показывают, что эпюры амплитуд (абсолютных величин) стоячих волн и и р изображаются отрезками тригонометрических функций зап и соз. Эти эпюры показаны на рис. 6, где даны четыре первые гармоники. Видно, что при колебаниях по основному тону (первой гармонике) на длине трубы помещается половина длины волны, второй гармонике соответствует полная длина волны, третьей — полторы длины волны и т. д.
Чем больше номер гармоники, т. е. чем больше частота колебаний, тем большее количество полуволн помещается на длине трубы. При построении эпюр было принято, что ~А„„~=1 для всех гармоник. Как уже было показано выше, фактические величины Ааь определяются из начальных условий. Глядя на кривые, приведенные на рпс. 6, не следует забывать, что они дают лишь абсолютные величины амплитуд, в то время как фактически колебания и н р сдвинуты по фазе. Формулы (6.3) показывают, что этот сдвиг равен 51 стоячик волны й в по абсолютной величине †" (множитель 1 во второй фор- 2 муле). Чтобы дать более наглядное представление о характере колебаний скорости и давления, на рис.
7 приведены кривые и и р для первой гармоники в различные моменты. времени т. Кривые построены для малых Рнс. 6. Эпюры стоячих полн ) е ! н ( р ~ для первых четырех гармоник (труба, открытая с обоих концов). скоростей течения (ЛХ (( 1) и поэтому на них не проявляется сдвиг между фазами колебания в различных сечениях, о котором шла речь выше. Как видно из приведенных графиков, моментам наибольшего возмущения скорости соответствуют моменты практически полного отсутствия возмущений давления, и наоборот. Физически происходящее явление может быть легко пояснено следующим образом. В момент т=О в левой части трубы возмущения скорости положительны, а в правой отрицательны. Счедовательно (положительное направление оси $ — вправо), в левой части трубы массы воздуха получают дополнительное движение вправо, а в правой половине трубы — влево.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
