Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 16
Текст из файла (страница 16)
$ 12. Энергия, сообщаемая колебательной системе при реализации элементарных процессов в зоне теплоподвода Рассмотрим процесс, характеризуемый условием бо, = = Ьо = бом Тогда г(бо= О и согласно формуле (11.17) два первых члена в равенстве (11.19) дадут нуль. Это означает, что вся энергия акустических колебании заимствуется из кинетической энергии течения.
Наоборот, при процессе, характеризуемом условием бр, = бр = бр„ вся энергия акустических колебаний будет заимствоваться из тепловых членов — внешнего теплоподвода и внутренней энергии, переносимой течением. В каждом из этих двух случаев колебательная система будет использовать какойлнбо один ксточник энергии, и с этой точки зрения процессы в зоне теплоподвода, характеризуемые условяямп бгй = бо = бо, и бр, = Ьр = бр., можно назвать элементарными.
Нетрудно, однако, показать, что к элементарным процессам следует отнести более широкий класс процессов в зоне теплоподвода. С точки зрения заимствования энергии пз располагаемых источников приведенные выше процессы в зоне 92 истОчники энеггии АвтоколеБАниИ 1гл. Нз теплоподвода, характеризуемые условиями 601 = 60 = бо, и бр1=6р=бр„эквивалентны более общим процессам, характеризуемым равенствами 60, = бо, и бр1= бр,. Действительно, сравним, например, процессы с б01= 80, И С 601=60=602 Если предположить, что на границах области 0 все величины в обоих случаях изменяются одинаковым обрат т 1Г 1 зом и значения — 1АР(11 и — 1 Л1,1 Ж совпадают, то т~ т ~ о правые части равенств (11.17) и (11.18) будут численно совпадать.
Одинаковыми будут, следовательно, и стоящие слева интегралы. Таким образом, процесс заимствования энергии для поддержания колебаний из располагаемых источников энергии не связан с характером изменения бр и б0 вдоль области о, а однозначно определяется значениями переменных на границах области а при условии, что задана величина изменения среднего значет 1 ния теплоподвода — 1 Щ Ж = Л11,р (предполагается Р = О). т,) о Из (11.11) очевидно, что условия Ьр,=бр, и 60,=боз совпадают с условиями 6Х = О и 6Е = О.
Будем изучать, основываясь на сказанном, следующие элементарные процессы. Первый элементарный процесс характеризуется условием бр,= Ьр, илн 6Х = О. Заимствование энергии происходит из внешнего теплоподвада и потока внутренней энергии. Второй элементарный процесс характеризуется условием 601 = бо„ или ЬЕ = О. Заимствование энергии происходит из потока кинетической энергии. Рассмотрим более подробно первый элементарный процесс, в котором вся энергия для поддержания автоколебаний заимствуется из тепловых членов (теплоподвод и внутренняя 'энергия).
Условие бр, = бр, при сохранении неизменной величины Л11,р выделяет целый класс процессов с одинаковым излучением акустической энергии областью а. Для фактического вычисления потока акустической энергии А, = А, явлйется безразличным, какой из конкретных процессов этого класса рассматриваетси, Дор ЭНЕРГИЯ, СООБЩАЕМАЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ э3 Поэтому конкретизируем изменения бр внутри о следующим образом: бр,.=бр= брдг Тогда, согласно (11.18) (при р = 0), последний член правой части равенства (11.19) дает после интегрирования нуль и поэтому суммарный поток акустической энергии для первого элементарного процесса представится в виде т А, = — ~ (бд()+ Ь (ододс„Тд — понос„.То)1 ой = 1 о т = — ~ ~ ~ бр ддбо ) гдд.
о о Поскольку вдоль области о бр= сопз$, имеем: бр одбо = бр (боо — бо,), что приводит к равенству т т ~(р —.р.орррр-тррррррр. (ррр) о Последнее выражение написано с помощью условий (11А1). Физический смысл полученного соотношения весьма прост. Величина 6Е= — (бо,— бо,) характеризует коле- "1 бательную составляющую процесса расширения некоторого объема, пересекающего и, а бр является колебательной составляющей давления в малой окрестности о.
Поэтому величина А, есть средняя работа расширения, сообщенная системе в процессе колебаний. Она будет положительной, если сдвиг по фазе между 6Е и бр не л превышает — по абсолютной величине. Последний вывод 2 следует из формулы Ад — — — ' ! 6Е )) бр ( соэ фд, (12.2) где дрд — фазовый сдвиг между 6Е и бр, (12.2) получается совершенно так же, как (11.5).
94 ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ [гл. Н1 Как уже говорилось, равенства такого типа удобно записывать в виде скалярных произведений входящих в них векторов. В частности, А,= — 'брдм. (12.3) Чтобы построить диаграмму областей устойчивости, воспользовавшись равенствами (12.2) или (12.3), поступим следующим образом.
Пусть излучение акустической энергии из открытых концов трубы отсутствует. Как было % 'у ~й Рпс. 17. Диаграмма границ устойчивости для первого элеиевтарвого процесса (потерп отсутствуют). показано в предыдущем параграфе, вектор би в этом случае перпендикулярен к вектору бр. Направим вектор бр по оси х (рис.
17), и вектор би — по оси у. Так как бит может но совпадать с бию то условимся наносить на диаграмму бип Полон<ение ЬЕ на этой диаграмме полностью определяется углом фг. Что касается абсолютных величин бр, би и бй', то опи могут быть в известном смысле неопределенными. Действительно, если задача решается без формулирования начальйых условий, то, как было указано в 1 8, решение не дает величин амплитуд. Это положение можно уточнить в том смысле, что решение для каждой гармоники получается с точностью до неопределенного множителя; амплитуда колебаний !3] энеРГиЯ, сООБщАемАЯ колевАтельнои системе 95 А, = 0 — граница устойчивости, А, > 0 — неустойчивость, А, ( 0 — устойчивость.
(12.4) Из равенства (12.2) следует, что границей устойчивости будет ось у; правая полуплоскость диаграммы будет соответствовать значениям ЬХ, которые возбуждают систему, а левая полуплоскость таким 6Х, при которых возникшие колебания гасятся. Следует напомнить, что векторы бр и бв будут перпендикулярны лишь при А, = О. Позтому при положениях конца вектора ЬХ в точках плоскости (ху), не лежащих на границе устойчивости, вектор би не будет более совпадать с осью у.
каждой гармоники остается неопределенной, хотя соотношения между амплитудами бр, бо и других переменных определяются однозначно. Проиллюстрируем это известнее из теории дифференциальных уравнений обстоятельство простым примером. Пусть при $ = $, в течения расположен узел давления р = О. Прп заданной частоте р функция ~р,(з,) и ~р,(с,) (4.14) определены однозначно. Второе уравнение (4.13) дает при атом Ар ~Га ($~) А „~р1 (з1) Следовательно, хотя амплитуды Ар и А, остаются неопределенными, отношение между йимп определено. Таким образом, диаграмма, приведенная на рис. 17, может быть построена с точностью до масштаба. Одну из величин можно выбрать произвольно, другие же определятся однозначно.
Пусть, например, бр = 1 и бт] направлено по оси х. Тогда каждый из векторов бв и ЬГ будет иметь не только определенное направление, но и определенную величину. Такая диаграмма удобна тем, что дает наглядное представление об относительных величинах и фазовых сдвигах возмущенных параметров процесса. Нанесем на диаграмму, построенную на рис. 17, границу устойчивости. Границей устойчивости будем называть годограф таких значений вектора бХ, при которых колебания происходят с постоянной амплитудой. В рассматриваемом случае (отсутствие потерь) условия (11.9) н (11.10) примут следующий вид: 96 источники энвггии Автоколеваннн 1га, гы Соотношения (12.4), формула (12.2) и прнведенпая диаграмма позволяют следующим образом сформулировать условия возбуждения в первом элементарном процессе.
При бХ= О (бр,= бр.) и при отсутствни потерь акустической энергии система будет возбуждаться, если между бЕ и колебательной составляющей давления бр фазовый сдвиг по абсолютному значению менее — "; если абсолютное значение этого сдвига заключено между 2 и я, то колебания будут гаситься. Полученный результат является обобщением критерия Рэлея на случай движущейся среды.
Дело в том, что фаза бЕ и фаза колебательной составляющей теплоподвода 6Д совпадают лишь для неподвижной среды. В неподвнязной среде расширение нагреваемого объема, которое характеризуется величиной бЕ, точно следует за процессом внешнего теплоподвода бф. Этот факт настолько очевиден, что не нуждается в особом доказательстве. Поэтому для неподвижной среды можно вместо бЕ брать 6Д (если речь идет о фазовых сдвигах) и тогда приведенное выше условие возбуждения совпадет с критерием Рэлея. Для движущейся среды фазы бЕ и бч могут отличаться. Это будет показано в следующей главе. Таким образом, сформулированные здесь условия возбуждения охватывают более общий случай, чем критерий Рэлея.
Найдем условия возбуждения в первом элементарном процессе для случая, когда потери акустической энергии Л отличны от нуля, и, следовательно, область о постоянно излучает акустическую энергию для компенсации этих потерь. В таком случае вместо соотношений (12.4) следует написать: А, = Л вЂ” граница устойчивости, А, > Š— неустойчивость, (12.5) А,.( Š— устойчивость. Взяв А, по формуле (12.2) и положив ~бр~ = 1, полу чим для границы устойчивости е ез) энеРгиЯ, сООБЩАемАЯ НОлеБАтельнОЙ системе 97 т.
е. проекция вектора а,бЕ на ось х остается постоянной и равной 2хх. Это дает диаграмму, приведенную на рис. 18. Границей устойчивости является прямая, перпендикулярная к оси х и отстоящая от начала координат на расстоянии 2)х. Важным отличием полученной здесь диаграммы устойчивости от диаграммы устойчивости, приведенной на рнс. 17, является то, что теперь нельзя сформулировать условия возбуждения, говоря лишь о фазовых сдвигах между И и бр. При 'ф'Я~~~'~;: а, ~ 6Е ~ ( 2х7 возбуждение вообще невозможно, независимо от фазового сдвига ер, (следует помнить, ~1~ что речь идет здесь оо от- Ф носительных величинах ч а,бЕ и В, так как при построении диаграммы принято ) бр ( = 1).
Условия возбуждения в рассмотренном случае трудно сформулировать так же просто, как и при хх' = О. Поэтому приведем Рнс. 18. Диаграмма гранвц устойих в виде аналитических чквостн Лля пеРвого элемен- тарного процесса нри наличии соотношений, воспользо- потерь. вавшись формулой (12.3). При 6Х = О и потерях акустической энергии хх система возбуждается, если — '61э 6Х > В; колебания гасятся, если — ' бр 6Х ( 77. 2 Эта формулировка является наиболее общей для первого элементарного процесса. В заключение следует обратить внимание на одну особенность возбуждения в первом элементарном процессе.
Пусть колебательная составляющая теплоподвода 6Д будет точно синусоидальной, а средний уровень суммарного теплоподвода ехе не изменит своего значения после начала акустических колебаний. Тогда ьх()ер — — О и вся энергия т Б. В, Раушенбах 98 ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ АВТОКОЛЕВАНИИ ~гл. Гы на поддержание акустических колебаний будет занмствоваться из потока внутренней энергии. Интересным является в данном случае то, что мыслим процесс возбуждения акустических колеоаний теплоподводом, при котором внешний теплоподвод не используется в качестве источника энергии для поддержания колебаний.
Такой процесс невозможен, конечно, в неподвижном газе. Обратимся теперь к рассмотрению второго элементарного процесса. Поскольку иаучение этого типа возбуждения акустических колебаний теплоподводом во многом будет аналогично проведенному выше, изложим соответствующие результаты более кратко. Как уже говорилось, второй элементарный процесс характеризуется условием ЬЕ= 0 или бо, = ЬО,. Для фактического вычисления потока акустической энергии в этом случае (обозначим его А,) конкретизируем изменение бо вдоль О следующим образом: бо, = бо =- бо,. Тогда согласно формулы (11.17) два первых слагаемых в правой части равенства (11.19) дадут после интегрирования нуль и поэтому суммарный поток акустической энергин А, = А, оудет равен г т Аз= у ') ~ — ОЮО( 2 — ~ )1 ьгг= у ~ ~ ~ бо"бР1 с(г 0 а По условию бо= совз1. Следовательно, х, = †„' ~ Ььр, — ьр Ь ь ьь - + ) ьх ь ьь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
