Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 49
Текст из файла (страница 49)
На поверхности АС за косым скачком АН статическое давление больше, чем в набегающем потоке р~ 2к 2 ~ к — 1 — М„з(п а„— —. р„к+ 1 к+1 Полное давление в области Лг равно полному давлению в набегающем потоке р~' — — р,* и больше, чем полное давление в областях Ш н 1: р4'— - р„*>ра*. Пра рэ=р, это соответствует Мк=М4>Мз.
Отражение косого скачка АС от границы свободной струи РСН (рис, 12.12). Косой скачок АСвзаимодействует с границей струи в точке С. В точке С косой скачок отражается в виде волны разрежения СБД. проходя через которую сверхзвуковой поток М, ускоряется до Мз, а давление снижается до давления окружающей среды рз=рк. Иначе течение протекать не может, гак как область НСД отделяется от окружающей среды только границей струи СН, которая не способна удерживать разность давлений. Граница струи отклоняется в точке С от своего первоначального положения яа угол, равный сумме углов отклонения цотока в косом скачке и в волне разрежения СВД. 233 Глава 13 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК Рассмотрим ускорение и торможение газовых потоков за счет расширения и сужения каналов яли трубок така а5г5~~0 приотсутствии остальных воздействий дб г6у Жчьх=д(,р=0.
В этих знергетически изолированных и изознтропных течениях параметры торможения и их производные (Р, г ь, рь, Оь, а„р, '%~, „з, ав постоянны. В соответствии с уравнением Бернулли с(рф = — ((Я((г" ускорение всегда сопровождается уменьшением статического давления, т, е. адиабатньгм расширением, а торможение— повышением давления или адиабатным сжатием. Прн этом прож- ходит обратимое взаимопревращение кинетической и потенциаль- Ю'з ной энергий газа прв неизменной его полной энергии 1 =1, —,— Ф ° ! 2 1р2 =(з+ — ~=С 'г' =сопз1.
Равнодействующая сил давления тт= Р =6((рз — (У~) ЯвлиетсЯ единственной силой, УскоРЯющей )г>0 илн тормозящей Я(0 газ на участке ! — 2 канала рассматриваемого течения. Уравнение закона обращения воздействия (!1.59) для данного случая (Мт — 1) д%'/В'=45/5 (13. 1) называется формулой Гюгонио и показывает, что дозвуковой поток М~1 ускоряется в сужающихся каналах и тормозится в расширяющихся, а сверхзвуковой поток М>1 ускоряется в расширяющихся и тормозится в сужающихся. На практике широко используются каналы переменного сечения.
Это прежде всего сопла и диффузоры реактивных двигателей и их элементов: компрессоров„камер сгорания н турбин. Изучение этих важнейших течений как одномерных при отсутствии других воздействий позволяет установить их основные закономерности, а затем оценить особенности реальных течений и потери. 13.1. УСКОРЕНИЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА ПРИ ОБТЕКАНИИ ВНЕШНЕГО ТУПОГО УГЛА (ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ вЂ” МАЙЕРА) Криволинейную поверхность тела всегда можно, с известным приближением, заменить граненой.
Тогда расчет обтекания тела сверхзвуковым потоком сведется к расчету обтекания внутренних тупых углов (к расчету волн сжатия) и внешних тупых углов, т. е. к расчету течения Прандтля †Майе или волн расширения. Рас. 13.1, Теченне Прандтаа — Майера На рис. 13А представлена схема этого течения, Две полубесконечные стенки образуют внешний тупой угол АСВ =180'+6». СВЕрХЗВуКОВОй Хн>1 раВНОМЕрНЫй ПЛОСКОПараЛЛЕЛЬНЫй ПОТОК Идсального газа, течет вдоль стенки АС энергетически изолированно и нэоэнтронно. Требуется определить изменение параметров потока при обтекании угла АСВ.
Физическая картин а те ч ен и я. Вершина угла С является источником слабых возмущений, которые в виде бесчисленного множества прямолинейных характеристик разрежения располагаются в пределах угла ОСК. Первая характеристика разрежения НС располагается под углом оеа —— агсз(о (1/Мн) к вектору скорости невозмущенного потока (см. я.!1.7). Прямолинейность характеристик указывает на неизменность всех параметров потока до встречи с ними. Конечное нзоэнтропное расширение газа по закону р= =аксона!, ускорение Хк>ха н поворот потока на угол бк в течен«ни Прандтля — Майера происходит только в пределах угла НСК и является результатом бесчисленного множества элементарных скачков разрежения на характеристиках (см, рнс, 13.1). Опыты показывают, что сверхзвуковое течение реального газа а области внешнего тупого угла близко следует законам нзоэитропного течения, Расчет течения П ран д тля — Майера удобно произволить в полярной системе координат г, «р с полюсом в точке С.
Параметры потока вдоль радиуса вектора не изменяются (д/дг=О), так как он совпадает с характеристиками. Это дает возможность заменить частные производные по «р на обычные д/д«»=о«/«(«р. Параметры торможения в этом течении не изменяются и все остальные параметры могут быть рассчитаны по формулам Т =Т*т(Х), р=рап(Х), о=дав(Х), %'=акаХ. Поэтому задачей исследования является определение приведенной скорости Х=Х(«р). Для этого используются следующие уравнения: 1) соотношение между скоростью йг и ее нормальной )р и радиальной %'„составляющими (см.
рнс. 13.1) В" = И'~ -!- В"„ (1) разделив (!) на а„', получим Л =Х'„).1.,'; (2) 2) равенство нормальной составляющей скорости и местной скорости звука (см. рис, 11,7) !р'а = — а; (3) 3) уравнение энтальпни (1!.21) для «/=1„к О с учетом (1) и (3) г г г 1»вЂ” к+ ! К'. '~'«к-+1 акр + — сон»1; (13. 2) к — 1 2 2 к — 1 2 4) уравнение отсутствия циркуляции скорости по любому замкнутому контуру а б в г в пределах угла НСК (рис. 13.2), которое получим па основании теоремы Томсона (см. п. 3.5), условия которой полностью выполняются при течении Прандтля †Майе: Г,»„-— — Ю',«/г+ Ф;, (г+ «г'г) «Ь~ — (Ж'„+ «/)УР,) дг — В' г«/а = О, Производя сокращения, опуская члены второго порядка малости, получим уравнение отсутствия циркуляции 113.
3) а„р Лр а р ««р г к .«- ! акр Разделпв (13.2) на — — и подставим д из (1З.З), получим к — 1 2 (к — ! ~ ') ««1, !г к — ! г «к+1 / к — 1 ат) к+1 ' ° / к — 1 к+! гг к+1 236 Интегрируя, найдем /гк — ! ! к — !. агск!п ~ туг — ~, !=- — Ц+с) или )у' «-. '1 '=-р' —:""УР '1 (13.
4) л Ркс. !Ук3. Обтекание виешисго ту- пого углз звуковым потокам л =! Рис. !3.2. гтллюстрапии к доКааа. тельству отсутствия циркуляции скорости в пределак угла НСК Подставив в (13.3) значение Х, из (134), найдем Х и по (2) Х= =) (р): Частный случай течения ),=М,=1. При М„=1 и!и осп — — 1/М„=! и первая характеристика Сггг' перпендикулярна к вектору скорости 11ги и к стенке АС. Поэтому ее удобно принять за начало отсчета углов гр (рис.
13.3). Подставив в (13.б) «р=О и Х= =до=! найдем, что постоянная интегрирования с=О и (1З.б) принимает вид (13. 7) позволяющий рассчитать д для любого угла гр в пределах угла гг'СК 237 р к+! "-"':=""~1 '='*'1-"-"""1Р'='*'1 ' Прибавив к правой части (4) зМт 1~ у+с со знаком плюс г' к+! ' и минус и упростив, получим искомую у =Х(гр): 1 = ~ .Š— ' я к 1,Г '— "' ', ~.,1. (!3. 6) — ) Связь между углами характеристики ар, поворота характеристики ф и поворота потока б очевидна из рис.133. 3+ — "=ар+у, 2 (13. 3) (13, 9) ар = а гсз1п 1/М. где Формулы (13.7) ...
(13.9) позволяют произвести нолиый расчет течения при Х =! и показывают, что при увеличении ф, а следовательно и б, приведенная скорость 0р увеличивается, а давление, температура н плотность уменьшаются вплоть до нуля (полкый вакуум). При этом скорость и приведенная скорость достигают макси— к+1 мальио возможных значений (я' „=$'2Р, 'к„я = — (М=со).
к †! Дальнейпгее ускорение и поворот потока оказываются невозможными. Предельные углы поворота характеристики и потока определим, подставив в (13.7) значение Х л, а в (13.8)— значение флтя, и ас 0 (при М ас): . /к+! к к — 1 2 (13. 10) (13. 11) лг Нт л»р 13Р= — = — ' Гят !гт» к»р х» Пз. 12) Подставляя в дифференциальное уравнение линии тока (13Л2) значения Х„и Х из (13.4) и (13.5), разделяя переменные, .,Гк ! ~, Гк+! ( /к — 1 учитывая что з(п ! т — т)тат= — '1,г !2 соз ф ~l .+! 1 ~/, 1 Ф ° и интегрируя в пределах от г, до г н от !2=0 до тр, получим уравнение линии тока Задача 13.1. Падсчктат» ф..» к 0,», для к=!,67; 1,4; 1,3; !Д Откст: для к= 1,4 Ч»»»»=220'27', 6,,„»»=:!З!Г27', к== 1,2; Ч , =300', 6 »»1 210 . Ясли б„>Ь „, и истечение происходит в вакуум, то поток пово«чивает только на угол б„, и течет не по стенке СВ, а по лучу С, соответству!о!нему бм„и ф,кяк.
Между этой характеристикой КС и стенкой СВ образуется пространство ВСК, в котором отсутствуют молекулы исходного потока. Это явление назынается отрывом сверхзвукового потока. Уравнение линий тока течения Прандтля— Майера при 7 =1 получим, рассмотрев подобные треугольники — скоростей н криволинейный, образованный отрезком линии тока, й' и дугой гс(ф (рис. 13.4): где ге — радиус-вектор данной линии тока на характеристике НС; При увеличении углов ф н б радиус-вектор линии тока увеличивается и тем в большей степени, чем больше ге, так что сечение канала, образованного двумя поверхностями тока, увеличивается. Это, в соответствии с законом обращения воздействия (13.1), вызывает увеличение скорости сверхзвукового потока.
Используя формулу (13.13) можно спроектировать плоский криволинейный канал, в котором будет ускоряться сверхзвуковой поток в течении Прандтля — Майера. Н зз «3 иг Задача 13дп Определить величину ра- йт диуса — векслера линии тока длн конечаого г, и А Течение при Х = ! рассчитывает- ар ся но формулам (13.7) ... (13.13) очень просто, если задан один из й параметров нр, 'йу, р, Т„й, и, ао„поз- ВОЛЯЮЩИН ОПРЕДЕЛИТЬ Х ИЛИ М.
Праидтлн Майера Задача 13.3. Запишите формулы, по которым следует определить Х илн М по каждому из приведенных выше параметров при заданном иевозмугленном потоке (Х = 1, к, А', р, Т ). Однако, обычно заданным является невозмущенный поток и угол его поворота б . В атом случае расчет становится громоздким. Лля упрощения расчета составлена таблица (см, приложение У) по следующей методике: 1) задаются произвольные значения угла нр от 0 до фшах; 2) по формулам (13.7), (13.9) н (13.13) определяют Х(М), ао, г/го и по таблицам т(!ь), п(Х), е(Х); 3) по формуле (13.8) определяют угол отклонения потока б„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
