Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Краевая задача для плоскости ~ состоит в определении в ее верхней полуплоскости аналитической функции, удовлетворянощей следующим краевым условиям на оси 5 [Гл. 684 А. Е. Янубепко Решение краевой задачи получаем с помощью формулы Келдыша-. Седова [1]! ]С = ]гг — 1 — 2 гг ']! = о]à — ог!г — о!. ггг] Здесь для е выбрана та ветвь функции, которая при Л = 0 и с > (з берется со знаком плюс.
Входящую в (12) постоянную у определим нз последнего условия (11). В результате получим Но О ггЛ(Е(з]п а) — соя~ а К(ебп а)] — Е(соз а) -]- гйпо а К(соз а) 7 К(соз а) -]- ггЛ К(о]п а) 2ггЛое Здесь Е полный эллиптический интеграл 2-го рода, а К полный эллиптический интеграл 1-го рода. С помощью полученного решения определяются электрические характеристики во внешней цепи. Пля разности потенциалов и полного тока по формулам (7) и (6) найдем 2гр, = — Рг(гз, аЛ)!,7 = Рз(а, аЛ), ЯНо ЯНоо (13) Е! = аЛг", Рз = ]", 2г = (К(сова) + тЛК(сйпа)) Формулы (13) дают искомую связь между расходом жидкости в трубе Г„) и электрическими характеристиками во внешней цепи. Исследуем полученные формулы. При Л вЂ” г со, что соответствует случаю разомкнутой внешней цепи илн включению в цепь вольтметра с большим сопротивлением, получим Ф ЯНо еЛо К(з]п о) Из этой формулы видно., что максимальное значение Ф достигается при а = О, т.е, в случае точечных электродов.
При а = 0 , 2Я~Н агЛ~ Прн а = ягг2 величина Ф достигает минимума., который равен нулю. При конечной внешней нагрузке 2уг, = 0 при а = 0 и а = я/2. Таким образом, при некотором а = а(аЛ) функция 2уге достигает максимального значения. При аЛ = 1! например, максимальное значение достигается при а = я/4. На рис. 2 приведены графики функций Рг и Яз для аЛ = 0.1, 1 и 10. Можно показать, что при ггЛ ( 1 максимум Ег(а) лежит на отрезке (я,Г4, яг]2), а при ггЛ > 1 на отрезке (О, я/4). При фиксированном угле ег разность потенциалов возрастает от нуля при аЛ = 0 до Ф при аЛ о оо.
Полный ток при этом изменяется от значения оН!!а еЛо К(соз а) ' 15.Ц Магнитогидродииамичсския метод измерение расхода жидкости 685 0.6 Р1а) ОА о.г л/4 О, л/2 Рис. 2 соответствующего короткому замыканию, когда а11 = О, до нуля при 1с -+ со, когда внешняя цепь разомкнута. Литература 1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Мл Гостехиздат, 1958. Глава 15.2 РАСк1ЕТ ПОГРАНИк1НОГО СЛОЯ НА ЭЛЕКТРОПРОВОЛЯЩЕЙ СТЕНКЕ ПЛОСКОГО КАНАЛА *] В. М. Пасконов, А..Е.
Якубенко В настоящее время имеется достаточно большое число работ, посвященных изучению движения электропроводяшей жидкости в пограничных слоях, образующихся на электродах или на непроводящих стенках различных магнитогидродинамическнх устройств. Однако метолы решений уравнений пограничного слоя в этих работах основываются на упрощающих предположениях, позволяющих свести задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, в работе [1] на течение накладывается специальное магнитное поле Н 1/чгх, что позволяет свести задачу к автомодельной. В работах [2-4] решение либо ищется в виде разложений по х, либо предполагается, что задача локально автомодельна.
В настоящей работе строится решение уравнений магнитогидродинамического пограничного слоя с помощью одного из численных методов, который уже давно применяется при рЕшении уравнений пОграничного слоя для не- проводящей жидкости. 1. Постановка задачи. Рассмотрим течение вязкого электропроводящего газа между двумя параллельными сплошными пластинами [рис. Ц заданной длины Ь в поперечном однородном магнитном поле Не. Предположим, что пластины идеальные проводники, с которых индуцированный ток снимается на внешнюю нагрузку. При этом электрический потенциал пластин постоянен и определяется параметром нагрузки 1с, который можно связать с величиной внешней нагрузки Н. Кроме того, примем, что жидкость втокает в канал с постоянной по сечению скоростью ио,направленной вдоль оси х. Наличие стенок канала приведет к образованию на них пограничных слоев, растугдих по мерв удаления от входа в канал.
В дальней- *] Изв. АН СССР. МЖГ. 19бб, гз 3. С. 12-19. 15.2) Поераначаый слой на э.лектропроводяаэее1 стенке 687 шем считается, что поток газа разбит на две области; область пограничного слоя и ядро, в котором вязкостькв и теплопроводностью можно пренебречь. Последнее справедливо только при выполнении двух условий 6 г«г„с б«Ь., г, =, г= / )11) 26 с йу и'1Те, ) l )Т) о Здесь 6 расстояние между пластинами, г электрическое сопротивление ядра потока, б толщина пограничного слоя, э его электрическое сопротивление, а сс = о1Т) проводимость газа. Первое из предложений 11.1) позволяет пренебречь изменением потенциала в пограничном слое. Естественно, что данное предположение может нарушаты:я, если пластина достаточно сильно охлаждена.
В этом случае соотношение г « г можно рассматривать как условие, определяющее расстояние между пластинами при прочих заданных условиях. Если высота канала задается при постановке задачи, то условие г «г, оропеляет, строго говоря, область применения полученного решения. Вне этой области полученное решение можно рассматривать как первое приближение в методе последовательных приближений. Второе из условий 11.1) означает, что пограничные слои на пластинах достаточно тонкие и их влияние на ядро потока невелико. Очевидно., что условие д (( 6, так же как и условие г « г,, связано с выбором высоты канала. При этом, если условие г « г .
имеет место, то условие б « Ь по существу означает, что исследуется начальный участок течения. Перечисленные выше предположения позволяют рассматривать задачу в ядре потока в одномерной постановке при заданной форме канала. Из сказанного вытекают следующие задачи. 1. Рассчитать все динамические характеристики в ядре потока, считая, что течение одномерное, а сечение канала заданное. 2. Рассчитать динамические и термодинамические характеристи- ки в пограничном слое, предполагая характеристики в ядре потока заданными. 2. Расчет течения в ядре потока. Зля расчета характерис- тик в ядре потока воспользуемся одномерной теорией при следующих предположениях.
У 1. Все величины зависят от одной координаты х 1рис. 1). 2. Вязкость и теплопроводность ц 11. У газа несущественны. 3. Магнитное число Рейнольдса мало. А 4. Стенки канала идеальные проводники, с которых индуциро- Н ванный ток снимается во внешнюю цепь. Кроме того, примем, что по- Рис. 1 (Гл. 688 В. М. Наскоков, А. Е. Якубсико тенциал стенок канала не зависит от координаты х (сплошные электроды). Сопротивлением пограничного слоя пренебрежем. 5. Векторы скорости и напряженности электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны, и в системе координат, указанной на рис. 1, справедливы соотношения ч = и (х)е„Н = Ное„Е = Еоео.
(2.2) Р, = Ро(1 + (У вЂ” 1)Мод/2)з, (вс = — ), Величины, относящиеся к ядру потока, здесь и далее метятся индек- сом оо. Если расстояние между электродами постоянно (2й = сопз1), то Ео — — Ео = сошэФ, а. электрический ток в канале имеет только одну компоненту ) = уяео, Кроме того, из предположения, .что сопротив- ление пограничного слоя мало, следует связь между константой Ео и разностью потенциалов Ьоо = 2уо между стенками канала Ео = ~гр/(2й) = ро/й.
Здесь ~до -- потенциалы нижней и верхней стенок канала соответ- ственно. Сформулированные выше предположения позволяют получить следующую систему дифференциальных уравнений для определения характеристик в ядре потока в ! — 1 р и, = роио = сопз1, р~и~и = — р + с Ноуо; р, и,сгТ' = и, р' + о (Т„)/„, (2.1) р~ = росНТ„, уо — — а(Т„)(Ео — с 1Нои,). Все входящие в систему обозначения общеприняты, а индексом вбо метятся величины в начальном сечении (при х = О).
Систему (2.1) удобно написать в безразмерной форме, вводя сле- дующие безразмерные величины: в Х в ив в Р х = —, и = —, р = —, Т Ь' ио' ро' Т.' р „с(Т ) ., )ос Р, ' ~ с(Т,) ' " а(Т )Ноио сЕо сро с(Т,)Н,'П иоНо иоНой сор,а, Здесь й параметр нагрузки, Н, параметр взаимодействия, Т„, р„, р„параметры торможения в начальном сечении, а а. скорость звука, рассчитанная по Т„. В дальнейшем индекс "ов у безразмерных величин опускается. Предположим, что от ресивера до входа в канал движение происхо- дит без потерь. Тогда при х = О для всех термодинамических вели- чин имеют место соотношения Т* = То(1+ ('у 1)Моо/2) 15.2) Поераниинмд сооя на о.оектроарооодооией стенке 689 Р„= РоУ1 + ( у — 1) Моо/2) Здесь у отношение удельных теплоемкостей, Мо — число Маха при я=О. Система уравнений (2.1) допускает один интеграл, который имеет вид о/2Т =й~ ~1+~-~-~)М:/2)' ~ С о С= —,+6.5 — й(1+ '.,).
(2.3) Так как возмущения в дозвуковом потоке распространяются во все стороны, то число Маха Мо, входящее в правую часть первого уравнения из (2.4), неизвестно. Зля его определения надо поставить еше одно условие на другом конце канала. В качестве такого условия возьмем условие запирания канала (2.6) М=1 при тее1. При течении газа в канале постоянного сечения это условие может выполняться только на входе или на выходе из канала у5). Условие (2.6) позволяет найти зависимость числа Маха Мо от параметров, входящих в систему (2.4). Эти параметры перечислены ниже.
В случае сверхзвуковых скоростей на входе в канал все величины при я = О можно считать заданными. Для удобства вычислений определим безразмерные величины несколько иначе, чем это сделано в (2.2): Т „а Тоо: — Х Ро То ь сЕо сУТо)Н~ой иоНо с Роно оа ио о ио ' сЛ' ) о /То) В дальнейшем индекс оооо у безразмерных величин опущен. Задачу об определении характеристик в ядре потока можно свести к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения, например, для скорости газа, которое вместе с конечными соотношениями для уо, Тоо и рос образуют систему .я.м./„ уи — й( у — Ц 1-Ь('у — 1)М5/2 р~ — Мои [1-Ь (у — 1)Мое/2) уо — — и (й — и~), Т = р,и ~1+ ('у — 1)Мд~/2), (2 4) уЬ вЂ” 1)М уси + С вЂ” и )1+ РУ вЂ” 1)М,'/2)о' уи — Ус(у — 1) ' Граничные условия для решения первого уравнения из (2.4) зависят от того, какой режим течения (дозвуковой или сверхзвуковой) реализуется на входе в канал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
