Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 126
Текст из файла (страница 126)
п'» (нее)» ( я»п Д соя с 1»» дз — ) 1 я д» е [п„], = ( —, +ассой( — )):, (2.5) (2.6) Грань тела (рис. 1), расположенная в первом квадранте системы и», д»,я», в переменных т,у, я описывается функцией я = — я(тя1п»З + + усов»З). Тогда, согласно разд. 1, передняя кромка тела задается уравнением 1(т, у): — — (тя1п(З+ у соя(») = О, а переменные и и я системы координат, связанной с передней кромкой, определяются равен- ствами 14.2] Рстснис сидони охода тсло о сжимаемую жидкость 667 [|р,]7 = п[е„„]; + в[и„,]7 + х[и„]7. (2.7) Как видно из (2.4) — (2.6), при стремлении точки к передней кромке ПРИ 7 = СОПЗГ КОМПОНЕНта СКОРОСТИ иос СОДЕРжИт ЛОГаРИфМИЧЕСКУЮ особенность, что имеет место и у возмущения давления в линейном решении [5] (см. (2.1), дГрс77д1), компонента е,„непрерывна, а величина о„зависит от направления подхода к передней кромке.
Лля симметричного относительно плоскости х = 0 профиля тела (рис. 1) и сх = 1 из (2.3) параметры внутреннего решения (1.17) примут вид — '( — 'т), (2.8) а потенциал внутреннего решения (1.11) запишется в форме Гр, = — ооп яп д — а(й в)г~ сов[И(В, — 77)] + 5(1, в). (2.9) Учтя (1.8), (1.11), (1.15) и (2.8), потенциал внутреннего решения с точностью до членов парилка е~ по сравнению с единицей запишем в виде а(77в) /1 1 Гр7 = — ио7ьвш73+, ехр( — + — )ГЦ~ х 47 яв6 (,с кгн) х '[1+ —, — — 1и 777 + — [ — + агсй8 — 1] + 5(1, в), (2.10) 7Г2 7Г7п кп (2 тх) ГП2ко71 г = '[(и) яп Д) -~- 77 х ] Пля определения функции а(йь) найдем внешний предел [и„,], компоненты скорости ен, внутреннего решения.
Представив а(й в) в виде ряда по степеням я а(1, в) = ао + еа7 +... и приравняв [е„,], и [и„,]; из (2.4), найдем 1 1 ае = еетз|пдехр( — — — — 1, с 7Гт) (2.11) а, = — — (1+ — + 1п]297всозд]+ яп д1пд2). ао / ГП 2 Определив с использованием (2.11) внешний предел потенциала внутреннего решения (2.10), из равенства (1.19) получим 'оо яп р соз д 7ГГ77 Окончательно выражение для потенциала внутреннего решения при- мет вид Е 72оо77 и 1 2 ° [7+ — ( -7-+ 77 — ) — 7 — ' о17)] — 7~7 7гт1 н(2 тх оов7п17совр 1 (2 12) 7Г777 (Гл. 668 Н.
А. Остапенко Можно проверить, что ]О„]„и (О21], совпадают с выражениями (2.5) и (2.6) соответственно. Составное решение для потенциала 1Р, определяется по формуле (1.20) с использованием (2.1), (2.7) и (2.12). Его анализ показывает, что компоненты скорости равномерно пригодного реп1ения непрорывны на передней кромке. Опрсдолим давление на передней кромке тонкого конического тела с ромбовидным профилем (рис. Ц при М18 8 > 1 в области конического течения (рис.
2, области 2 и 3). Воспользуемся интегралом Коши Лагранжа (1.2), где в качестве 1Р следует использовать 1Р, из (1.20). Опустив выкладки, при и = 2 = 0 найдем приведенный коэффициент коэффициент давления, рассчитав скоростной напор 1? по скорости, нормальной к передней кромке, Г; 1й~-11 с О = — (с„е — 1) = Озц,9 1ц ] (1 + 111) ( 1? 1 — О2) (2.13) РО)]п,2 —.-04 ' Ч 2 РΠΠ— 1 1 2 . 2 и 4), с„е = — ' 1п (18 (2 ~ М2 — 1) . (2.14) Возникает вопрос,. если построено равномерно пригодное решение для одиночного тонкого тола (рис. 1), то каким оно будет в случае входа циклически-симметричного тела (ЦСТ), в частности, как определить в этом случае давление на передней кромке? Очевидно, что на режиме входа М 18Р' > 1 всегда существует область изменения определяющих параметров и конечный интервал изменения переменной сч в которых область конического течения, реализующаяся в окрестности точки пересечения передней кромки одного из циклов, составляю1цих тело, со свободной поверхностью жидкости, не подвержена влиянию остальных циклов.
Следовательно, равномерно пригодное решение, построенное для этой области в случае входа одиночного тонкого тела (рис. 1 и 2, области 2 и 3), может быть использовано для ЦСТ. Однако в других областях течения, содержащих дозвуковую переднюю кромку (М„( 1), при построении равномерно Решение линейной задачи входа в сжимаемую жидкость тонкого тела с ромбовидным профилем [5] при (1 — 1 х/2 переходит в соответствующее решение плоской задачи входа тонкого клина. В свою очередгч как показывает анализ соотношения (2.13), выражение для давления на кромке, полученное из интеграла Коши — Лагранжа с использованием равномерно пригодного решения, при 12 — 1 х/2 и малых значениях М совпадает с соответствующей формулой для давления в носике клина ]6]. Опустив рассуждения и выкладки, выпишем выражение для приведенного коэффициента давления на кромке тонкого тела с ромбовидным профилем в области конического течения, реализующегося в окрестности носика тела на режимах входа М > 1 (рис.
2, области 2 14.2] Решение задачи входа тела в сжимаемую жидкость 669 пригодного решения необходимо учитывать совокупное влияние циклов, составляющих тело. Последнее относится, в частности, к конической области течения в окрестности носика тела при М > 0 (рис. 2, области 3 и 4), и значит, формула (2.14) должна быть исправлена с учетом соответствующего числа циклов, составляющих пространствонное тело. Рассмотрим основные особенности построения равномерно пригодного решения задачи входа тонкого ЦСТ. Внешнее (линейное) решение в окрестности любой из передних кромок представляет собой суперпозицию основного решения, порождаемого циклом, которому принадлежит выбранная передняя кромка, и содержащего логарифмическую особенность на передней кромке, а также влияний остальных циклов, которые не привносят в общее решение особенностей в окрестность передней кромки.
Поэтому, например, внутреннюю асимптотику внешнего решения задачи входа ЦСТ для компоненты скорости о„: [и„',1в можно записать в виде [о„',], = [ив„]в+ее(1,в) + 0(ее ~~е). (2.15) Здесь [пал]е — внутренний предел внешнего решения для соответствующей компоненты скорости в основной линейной задаче, отвечающей входу одного цикла (напрнмер, изображенного на рис. 1), а с(1, в)— функция, описывающая влияние других циклов. Согласно (2.15) для потенциала в окрестности передней кромки в общем случае справедливо выражение [~р,',], = [~р~], + ее(1, в)в+ ее,(1,в)я+ ес1(с,в) + 0(ее ~~'), (2 16) где с~ (1, в) и с1(1, в) —. некоторые функции, описывающие влияние остальных циклов. В силу циклической симметрии тела сз(1,в) = О, поскольку возмущения, приходящие на плоскость х = 0 от остальных циклов, взаимно компенсируются, так что и'е(х = 0) — и„е(х = 0) = О.
С учетом последнего анализ соотношений (1.19), (2.9) и (2.16) показывает, что функция с(1, в) войдет в коэффициент аь из (2.11) ряда для функции п(1, в), а функция е1(ь, в) -- в функцию Ь(у,в) из (2.9). Это позволяет сделать вывод, принимая во внимание соотношения (1.2), (1.20), (2.8), (2.9) н (2.16), что давление на кромке с точностью до членов порядка ез будет зависеть лишь от производной функции е1(с, в) по времени, которая войдет в соответствующее выражение аддитивно, т.е. так же, как в линейной теории при вычислении давления с помощью линеаризованного интеграла Коши-Лагранжа.
Таким образом, для определения давления на передней кромке ЦСТ в областях взаимного влияния циклов достаточно просуммировать давление на кромке, вычисленное в основной задаче с использованием равномерно пригодного решения и нелинейного интеграла Коши Лагранжа, и возмущения давления, привносимые в данную точку остальными циклами, вычисленные на основе линейного решения.
670 Н. А. Остапенко 1.0 с, 0.5 ~3 и/2 я/4 Рис. 3. На рис. 3 представлены результаты расчетов нормированного приведенного коэффициента давления с = с о/1п2 по формулам (2.13) (сплошные линии) и (2.14) (штриховые линии). Такая нормировка обусловлена тем, что в первом случае, отвечающем давлению на кромке в области конического течениЯ пРи Мтб/1 > 1, с„о = 1п2 пРи /1 — ) к/2 и М вЂ” > О. Номера кривых соответствуют значениям 10 Мп. Штрихпунктирная кривая А, ограничивающая сплошные кривые слева, является образом кривой 1 на рис.
2 (М Фк Н = Ц. Штрихпунктирная кривая В разграничивает области с дозвуковой (М ( 1, справа от кривой) и сверхзвуковой скоростьк> движения тела. При М„> 1/з/2 (см. рис. 2, область 3) в окрестности передней кромки реализуются две области конического течения, рассмотренные выше. На этих режимах давления, согласно расчету, давление на кромке в окрестности носика тела выше давления в окрестности свободной поверхности жидкости (рис.
3, ср. ординаты штриховых и сплошных кривых 8 и 9 при одинаковых величинах угла,З). Следует, однако, отметить, что решение, построенное при М > 1 в области конического течения у носика тела, становится непригодным при М э 1. На это указывает логарифмическая особенность в формуле (2.14) (см. также штриховые кривые на рис. 3). Хотя тело, входящее в жидкость, по условию тонкое, но углы отклонения потока 14.2) Решение задачи входа тела в сжимаемую жидкость 671 конечны, и при М > 1 волна должна отсоединиться от носика тела. Это свидетельствует о том, что акустическая модель в указанном предельном случае перестает быть справедливой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
