Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 125
Текст из файла (страница 125)
определяемого из линеаризованного интеграла Коши. Лагранжа (1.2), имеют в окрестности острых передних кромок тот же логарифмический тип особенности, что и решения для входа тонких клина и конуса [1 — 3] в окрестности их носика, т.е. — е1пг, где г . - расстояние от передней кромки пространственного тела., отсчитываемое в нормальной к ней плоскости в некоторой точке. Таким образом, область неоднородности (8), где (Гл.
662 Н. А. Остапенко внешнее (линейное) решение задачи уге теряет смысл, имеет характерный размер г - е 11'. Случаи, когда областью неоднородности внешнего решения будет на "трубка" с радиусом г, окружающая острую переднюю кромку тела, а "сфера" того же радиуса с центром в некоторой точке, будут оговорены ниже. Для построения внутреннего решения перейдем сначала к декартовой системе координат, связанной с телом. В ней уравнение (1.1) примет вид (по = (чс(, Юо = Иоо/Ф) д'з д'з ..
д'з ьв дз + —, -~- —, + 2 — — + —, дуг дгг сг дгдх сг дх' (1.4) у=у1, х=х1, М= его(1) 1 ду (1 Мг)дзг Х вЂ” Х1 ( 50(е) Ф о (1.о) п = Д(х,у), а = 11(х,у), где а может быть, например, константой первого интеграла уравне- ния а1у,1Ях = Д„/~,. Уравнение (1.4) и краевое условие (1.3) на выбран- ной части поверхности тела запишутся в виде дг дг дг ~(1 — М')У.'. + У„'~ — ",'+ ~(1 — М')У,', + У,'„~ — ",'+ — ",'— дг — 2М~у;Ле — + [(1 — М )уег+ Ц вЂ” + ~(1 — М )(гг +11оо~ —— — — 'с+2 — ", (Ь +Лг )+ — ", (Ь ~+А.. ~) = О, (1.6) е(, + Х ) — — — = еухпо(с). г г дФ дно дн дг (1.7) В соответствии с приведенной выше оценкой для масштаба окрестности передней кромки, где внешнее (линейное) решение задачи становится непригодным, введем внутренние переменные п,=пс, г;=ге 11е 11е (1.8) Тогда при необходимых ограничениях на порядки величин производных функлий 1(х, у) и 11(х, у) в окрестности передней кромки, для Пусть лля простоты острая передняя кромка тола (или одна из них) является плоской дважцы дифференцируемой кривой, лежащей в плоскости г = О, а одна из двух поверхностей тела, образующих в пересечении данную кромку, определяется в ее окрестности уравнением еу(х,у) — х = О.
Таким образом, 1(х,у) = О и г = О уравнения передней кромки. Перейдем к криволинейной ортогональной системе координат, связанной с передной кромкой, 14.2) Решение оааан22 охода тела о сжимаемую жидкость 663 главных членов (1.6) и (1.7) получим а2 д2 [1 М(,,)[„Р(,)д',д. 0 (1.9) сЬ (о) — ' — — * = сУх(о)ио(у)е дп, дх, (1.10) дхФ а2Ф вЂ”.,' + —,' = О, (1.12) ! ~Х дФ, дФ, т дсьь дх, Таким образом., внутренняя задача свелась к решению двумер- ного уравнения Лапласа (1.12) для потенциала Ф, в плоскости, нор- мальной к передней кромке тонкого пространственного тела в неко- торой ее точке, с условием Римана †Гильбер (1.13) [9] на одной из граней "клина": х, = е2атгьпц . Здесь опущены члены порядка с по 2 сравнению с единицей.
Во внутренней области эта точке является образом линии пересечения поверхности х = су(х, 9) с указанной плос- костью. Переменные 1 и о - параметры внутренней задачи. Если плоскость х = 0 †. плоскость симметрии пространственного тела в малой окрестности передней кромки, то к условию (1.13) следует до- бавить краевое условие дФ,22дх, = 0 при х; = О, п,х < О. В более об- щем случае, когда поверхность, образующая вместе с указанной в их пересечении переднюю кромку, определяется в ее окрестности урав- нением х = — с21(х,у), к (1.13) следует добавить краевое условие на второй грани "клина" х, = — е2Ьтпеа.
„~ аФ дФ О. (1.14) ' т, дп2 дх, (1.13) Решение уравнения (1.12), как и в [7), удобно записать в полярных координатах г =~из+22 1яд =х/222. (1 Гй) но в виде, содержащем две произвольныс функции переменных т и о, а также произвольный параметр для удовлетворения краевым усло- Здесь Ма(1, о) = ио(с) [12(е)[с'(сЬ(о)) число Маха составляющей скорости, нормальной к передней кромке, в некоторой точке; Ь~(о) = = 22 + 12 при 1(х,р) = О, а оо, --. потенциал внутреннего решения. Поскольку линейные решения задач входа тонких пространственных тел в жидкость содержат логарифмическую особенность в окрестности передних кромок при дозвуковой скорости последних (М„< 1) [4, 5), то (1.9) является уравнением эллиптического типа.
Введя новые переменные — Фь,=ь °,, = 1 — м,а, ), (1-11) получим из (1.9) и (1.10) [Гл. 664 Н. А. Остапенко виям (1.13) и (1.14) ф, = а(1, з)гз сов[О(О; — а)] + Ь(й з). (1.16) Подставив (1.16) в (1.13) и (1.14) соответственно при О, = гЬт и О, = 2к — е~Ьт, найдем 2кт ~ 2я /' й(с+с~) Поскольку, согласно (1.11), Ф; потенциал относительного движения жидкости для внутренней задачи, легко найти линию тока луч О,е полярной системы координат г;, .О„входящук> в критическую точку на передней кромке. В главном приближении будем иметь (1.18) О о = (е — г~)Ь/(2т). Учтя формулы перехода к внутренним переменным (1.4), .(1.5),. (1.8) и (1.11), заключаем, что положение критической линии тока (1.18) зависит не только от линейных углов между касательными плоскостями к поверхностям, образующим в пересечении переднюю кромку в рассматриваемой точке, и плоскостью з = О, но и от числа Маха скорости, нормальной к передней кромке.
Функции а(1, з) и Ь(г, з) в (1.16) находятся из условия сращивания внешнего предела внутреннего решения с внутренним пределом внешнего решения [8] В рассматриваемой задаче указанные функции удобнее разыскивать последовательно, сращивая сначала компоненты скорости внутреннего и внешнего решений, а затем потенциалы.
После нахождения функций а(1, з) и Ь(г, в) равномерно пригодное составное решение задачи строится по формуле 'Рс = 'Ра Я'с]х + 'Рх (1.20) 2. Примеры и замечания. Рассмотрим задачу входа в сжимаемую жидкость по нормали к ее поверхности с постоянной скоростью пс циклически-симметричного тонкого пространственного тела с плоскими гранями и четным числом циклов [5]. Общее линейное решение указанной задачи представляет собой угловую суперпозицию решений линейной задачи входа конического тела с тонким ромбовидным профилем в поперечном сечении (рис. 1). На рис.
2 в плоскости параметров М = пс/с и Д изображены области существования режимов входа тонкого конического тела с ромбовидным профилем с разной конфигурацией акустических волн. Штриховые кривые описываются уравнениями; М18 11 = 1 (кривая 1) и М з1п Д = 1 (кривая 2). Область 1, расположенная под прямой М = 1 и кривой 1, отвечает полностью дозвуковому режиму входа тела; область 2, расположенная под прямой М = 1 и над кривой 1, - — сверхзвуковому движению следа передней кромки тела по свободной 14.2) Ретеиие задачи входа тела в сжимаемую жидкость 665 поверхности жидкости; область 3, огра- 'У о ниченная прямой М = 1 и кривыми 4 и 2, полностью дозвуковому режиму движения передней кромки (Ми = Мзш)з ( 1) при сверхзвуковых скоростях движения носика тела и следа передней кромки по свободной поверхнос- ~, О, ти жидкости; область 4, расположенная над прямой М = 1 и под кривой 1,-- сверхзвуковому режиму движения передней кромки тела (М„> 1).
Сплошные У' д кривые 3 — 5 соответствуют постоянной скорости движения передних кромок те- (3ь ла: М„= 1/ие2, 0.5 и 0.25. ' О Согласно ~5) линейные (внешние) решения задач входа тонкого тела,отвечающие значениям параметров М и )3 в об- У х,х, пастях 1 — 4 1рис. 2, под кривой 2) содержат логарифмические особенности на пе- Рис. 1. редних кромках. Приведем примеры построения равномерно пригод- ного решения для режимов 2 — 4 в областях конического движения воз- мущенной жидкости. 2 м Р и!2 и/4 (Гл. 666 Н. А.
Остапенко Пусть М»я Д ) 1. Потенциал внешнего решения в области между конической волной с вершиной в подвижной точке пересечения передней кромки со свободной поверхностью жидкости, сферической волной и свободной поверхностью (рис. 2, области 2 и 3) в соответствии с (5) можно записать в виде я»е = — 1 Р(х», д», я», с)»»», 1 ) 1», »1 Е(я», у», я», 1) = я1п»З 1п — ~, соей . С» 2кд С »яд м е-1' (2.1) " Ь~е1 — Р» с16 »3) — (и» + я» ) + дя» + 5 я», е~(е +, м з.е Š— ~,Яе,,'), д= —, 1 — М яш,З. й 2 2 яш о,=( п = — и» я1пД вЂ” у» соя»З+ ио1 я»п,З, (2.2) я = и» соя»З — д» я1пР+ ее1 я1п 316~ (зцесь начало координат помещено в точку пересечения передней кромки со свободной поверхностью жидкости), а функции Мп(1, я) и Ь(т) постоянны: (2.3) М„= М я1п»З, Опустив громоздкие выкладки, выпишем внутренние пределы для компонент скорости внешнего решения в проекциях на оси и, я, я и внешнего потенциала Зо,: (е„,)» = — 1п ч ( — 1п(2дз) — я»п»З 1п дз (2.4) д» = И», дз = 1 !(у+1) еоо / .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
