Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 122
Текст из файла (страница 122)
После умножения (2.2) и (2.3) соответственно на ЙЯФ и 9' н сложения получим 1ддс /дидс . з1 др я~ — + ь( +йуз пхФ)] = — ~ — +йу 9тг — тз гу [ д1 (, дх 9! дх (3.4) тз = е„т,„+ еат а. Здесь значком 2. отмечены векторы и операции в плоскости переменных г, д.
Проинтегрировав (3.4) по сечению трубки и использовав (2.4) и (2.6), найдем (Гл. 646 С. А. Рееирер ис(т, д) = — — ' Кс(т, д) + Сс(т, д), г т К, = / /С,(т, т', д, д')т'с1т'егд', ~р, = оо,(д'), о о г о Отсюда получим расход ; Ег дР„ г т. г. г / ) К'те"те1д~ см / ) ~~с~ г"~ е~д' о о о о Подставив ис из (4.2) и дрс,едя из (4.3) в интеграл (3.3), найдем Ес = дс9с (Е + 2Асдс(ус + )1гсЕ(усе,; (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) г )3,= .,'з//К,"д дд, о о 7гс = г / /Б~ т е тес'д, / / , ,.
° д, о о (4.6) 01с — 71с (1с Фгс — А 271с+7гс о о Наконец, проинтегрировав (4.1) по сечению трубки, будем иметь Г,т, = р' —. (4.7) Откуда с учетом (4.3) получим 1 сто = (г стссс Ус). 5,Р (4.8) В замыкающие соотношения (4.5) и (4.8) входят три характеристики формы сечения Е, сс и Д и три характеристики продольных смещений стоики сУ,,, уы и угс, вычисляемые по формулам (4.4) и (4.6) и зависящие от г, и 1, как от параметров.
В дальнейшем индекс с будет опускаться, когда речь идет о системе (3.1), (3.2), (4.5) и (4.8). Процедура состоит в определении ис как решения краевой задачи ганс(т, д) = †', ис(згс: д) = ис~с(д) (4.1) и в последующем установлении связи между величинами Ес, Г,тс и д„которые выражаются через и, согласно (3.3). Пусть Сс(т, т', д, д') —. функция Грина задачи Лирихле для области, ограниченной кривой т = ~р,(д), так что С, содержит я, и 1„ в качестве параметров.
Распределение скорости и, найдется тогда из (4.1) по формуле 13.3) Коазиодноееерноо теория периетаоьтичеених течений 647 Распределение скоростей прн пуазейлевском течении (иа = 0) в эллиптической трубке дается формулой (5) 4 дх ао 4- Ьо ' ' 12 1, дх / (аз 4- Ьо)' Следовательно, согласно (4.4) и (4.6) 1 аЬ 4 4п аон-Ьо' 3 Заметим, что (1 = сопэ1 независимо от предположения о геометрическом подобии, тогда как 4 = сопэ1 только при его соблюдении (когда а/Ь не зависит от х и 1). Интегрирование (4.1) с весом и„по сечению дает равенство дс 4) иеи типов ~~Рс + ( ) о - Г1~( — '.")' —,'( — '."Л """'=' о о которое можно с учетом (4.7) и (4.8) использовать для замыкания уравнения (3.6).
Тогда получим 8 /дЕ дМ(из) 1 др д — ( — +5 ) = — д — + — Гт. 2(, д1 дх ) дх Р (4.9) Соотношение (4.5) отличается от часто используемого равенства Е = Ддз/Е и совпадает с ним только в специальных случаях. Иными словами, при и, ф 0 отличие профиля скорости от плоского определяет в (4.5) не только коэффициент д, но и, вообще говоря, дополнительные слагаемые, линейные по д. Когда все сечения трубки геометрически подобны, то 4, и )1, постоЯнные, не зависЯшие от х„и Ье.
Аналогично 7зе и 7з, постоанны, если кроме геометрического подобия имеет место еще и подобие в распределении скорости и,,(д). Доказательство этих утверждений использует свойство инвариантности функции Грина при трансляции и повороте системы координат., масштабное преобразование координаты г и формулы (4.2), (4.4) и (4.6).
В качестве примера вычислим 4 и Д для течения в прямой трубке с сечением в форме эллипса. Обозначив длины (безразмерные) полуосей эллипса через а(х, 1) и Ь(х, 1), будем иметь (Гл. 648 С. А. Рггиргр (5.1) я~(г-З „,( — Ог -)о) д1 дх — ~2яЙ(г ' — Дуг ' — г,ог) — (г 'г ))о= Х ~ д1 = ~+8(Е-'~~ — 5Е-' д (131г'Е-'-д1т.+р,Л~.',)\+ дх +Ы 'Г (Ж+ЕС )) (53) При )1 = сопз$ для дальнейших преобразований можно использовать равенства ( -' —,'. -') = —,',( -'(, ) — -'(, )), Комбинируя (4.9) и (3.2), придем к соотношению д (дд + 1 дЕ) 1(дЕ + 5 дМ(и )) (4.10) Оно может служить, в частности, для определения Е(х, 1) или же для оценки невязки аппроксимации (4.5), если принять «пуазейлсвскую» связь М = М,(д, Е). В предположении Е = Е(9, Е) и М = М(д, Е) уравнение (4.10) тождественно удовлетворяется только при (Ео, Еы Мо = север) Е=91р''+ЕоЕ +Й, М=91р' +3ЕоЕ9+Мо.
Интегральное соотношение (3.6), как и другие моментные уравнения типа (3.5), удобно, когда замыкание основывается не на задаче (4.1), а на прямом задании профилей скорости в виде функций от г и д со свободными параметрами, зависящими от х и 1 или от Е, д, Е, М,....
5. Из уравнения (3.1) следует [6) д = С(1) — 1г(х, 1), 1' = — 1 — г1х. 1 гдГ 5 дг о Здесь С вЂ” расход через входное сечение трубки и И - известная из условий задачи (предположение 4) ) скорость изменения объема трубки длиной х. Подставив (5.1) в (3.2) и учтя (4.5) и (4.8), получим — ~ — + ЬС вЂ” — — 25С вЂ” ( — — Я~1ш)~ + 8(дС г д 11 д гР~' з) С Р(дг дх Р дх Р ~~ 5Рз др 8 д'г д 91г, 21 1г+1гС = — — + — „~ — — 5 — ( „— ЯЪЧ1,+ЯГ1У,~~ + "'. (5.2) дх Е'(дг дх(, Е р' Проинтегрировав (5.2) по длине трубки с учетом граничного условия (2.5) и обозначив угловыми скобками осрецнение по х' на длине Ь, придем к уравнению Риккати относительно С 13.3) Кеазиодномернаа теория неристаастичесних течений 649 Пля модифицированных задач с условиями типа (2.7) уравнение (5.3) верно, но в ном нужно выразить Ь через С и )с при помощи (2.8) и (5.Ц, положив (если не учитывать инерционные эффекты) Ь = Р~(Г+) — Р (Г ) — (Я~ + с )С+ с — ( — ), (5.
5) йР- С ь (дР) Когда решение (5.3) найдено, то тем самым по (5.1) найдены д и средняя скорость д/Р, а из (5.2) квадратурой определяется давление р. Анализ уравнения (5.3) позволяет, таким образом, выделить случаи, в которых решения исходной задачи можно представить через табулированные функции. Например, перейдя от (5.3) к линейному уравнению второгопорядкаподстановкой С = 0'(Р с)/[06(Р зд((4Е г)/дх)), можно установить условия, когда оно решается в гипергеометрических функциях. Не останавливаясь здесь на этих общих приемах, укажем простой важный случай превращения (5.3) в линейное уравнение [6): если 0 = сопзс и Р(О, 1) = Р(ь, с), то множитель при Сз в (5.3) обращается в нуль (см.
(5.4)). То же имеет место и при любой непрерывной однозначной зависимости Д от Р. Исчезновение члена с Сз в (5.3) не означает отсутствия конвективных инерционных эффектов — они частично сохраняются в коэффициенте при С и в правой части. Важной характеристикой перистальтического течения при периодическом изменении Р во времени является средний за цикл расход.
Из (5.1) следует, что при Р(1+ 1) = Р(1) имеет место равенство =~0 11=~Со=С . о о При малых значениях 6 уравнение (5.3) можно решать с помощью разложений по степеням 6. В пределе 6 — > О получается простое уравнение При малых Я также возможно использование асимптотических разложений. В пределе Я вЂ” г О Ы Р )С= — +% гР ('с'+РС )) (5. 7) Медленные течения, для которых расход полностью определяется формулами (5.1) и (5.7), сравнительно подробно изучены [1, 2].
Случаи трубки круглого сечения при чисто продольных и чисто радиальных смещениях стенки рассмотрены в [6, 7). Решение, эквивалентное формуле (5.7), для эллиптической трубки с поперечными смещениями стенки получено в [8[ методами возмущений. (Гл. 650 С. А. Рееирер 6. Пусть деформации стенки имеют характер бегущей волны, т.е. Р, Сх, з, д, )уз и дг функции переменной ~ = 2к(х — е) (этот случай представляет основной практический интерес (1, 2)).
Тогда — — — И = — (Р(0, 1) — Р). дР дР Подстановка выражения для И в (5.3) приводит к уравнению того же типа относительно величины ц = С вЂ” Р(0, е)/Ь: 3(Р,) дЧ+35уР г д ДР г) г+ де ~ дх -~ (2яф(Г ' — ) ~ е(е ' — е е„Я -~(Е 'е ))д = = — + — 1п ' — — ( Р— ДР + ЬР— ЯРЮх + А 3 Р(5,1) 3г д д 5 Ы Р(01) 5( д дх +АгР-' д,з РСг) — -'(~-'Р-')+«-'Р-'и ) дх '! Ь (6.1) Если перечисленные выше функции от С периодические, а длина трубки 1 кратна длине волны, то все величины в угловых скобках постоянны и уравнение легко интегрируется при Ь = сопз1 или при Ь = Р— (Я е + Я )е1+ (Х )Ц(ОР)д1) (см. (5.5)), Р = сопза Пусть далее д = сопзе, Г .
= О, а Р и ~ периодические функции. Тогда из (6.1) следует (ср. с (5.6)) уравнение Проинтегрировав его по времени., найдем, что среднее за период значение и и, следовательно, расхода С,я не зависят в данном случае от В, т.е. от инерционных эффектов. При ез = сопзг от Б не зависит и мгновенный расход йс Аналогичный вывод получен в [6] для чисто продольных смешений стенки цилиндрической трубки.
Нетрудно, основываясь на (6.1) или более общих уравнениях (5.3) и (5.5), привести примеры и других ситуаций, в которых инерционные эффекты не сказываются на расходе в перистальтическом течении. Изучение перистальтических течений с бегущими волнами в большинстве работ ограничивается случаем бесконечно длинной трубки, когда в системе отсчета, связанной с волной, можно перейти к стационарной задаче. Для трубок конечной длины эти результаты остаются верными только в случаях типа рассмотренного выше.
7. Квазиодномерный расчет перистальтического течения сводится в конечном счете к решению уравнений (5.3) и (5.5), которое легко осуществить численно, а во многих случаях, как показано выше, и аналитическими приемами. Последние позволяют проанализировать с качественной стороны многие закономерности перистальтического транспорта, включая роль инерционных эффектов, формы перистальтических волн и т.д. 13.3) Каазиодпижираая теоиия перистияьгпических гпичепиб 651 Можно, в частности, доказать, что стоячие волны с Е = Ес(х)0(1), Гв = О могут при Я « 1 создать средний по времени поток жидкости, отличный от нуля, только если хотя бы одно из внешних сопротивлений играет роль клапана (ЯЯ в (5.5) зависит от я!яп д при х = О или х = Е).
Когда Я 1, стоячая волна может порождать среднее течение благодаря тому, что сопротивление самой трубки зависит от направления потока. Структура уравнений (5.3) и (5.5) такова, что не существует сколько-нибудь простого правила сложения эффектов от двух и более волн. Так, если Е = Ег(х — с1 !) + Ез(х — сз1), то даже в наинизшем приближении по амплитуде (при сохранении в С членов порядка не выше Ь ) средний расход С,„не равен сумме расходов от волн Ез и Ез по отдельности. Не разделяются и вклады в расход от продольных и поперечных смещений стенки [6]. Пля неньютоновских жидкостей квазиодномерные уравнения могут быть построены практически теми же методами, что и для ньютоновской.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
