Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Оно показывает, что решение ш = 1 уравнения (1.4) при Д > О устойчиво, а при ьэ' ( О неустойчиво по отношеникь к возмущениям, не зависящим от поперечной координаты. Физический смысл этой неустойчивости обсуждается ниже. Обозначим через йь(зо) и кг(ьр) функции, обращающие в нуль правую часть уравнения (2.2), причем будем считать, что 1ш лз > > 1пь1ея. Исследование уравнения (2.2), которое для кратности опустим, показывает, что при ьр -+ оо все решения, за исключением одного, приближаются к функции кь(ьр).
Исследовав с помощькь (2.2) окрестность значения Й = Йь(Зо), можно показать, что для решения, близких к йь(ьр), при ьр » и, иаь, и1ь имеет место равенство '(ьр) = (-"~ -2Ц)~~р+ О(~р 3) (2.3) Указанное выше точное решение й = О, аь = — 2Ц принадлежит этому семейству решений. Существует, кроме того, исключительное решение, для которого к — Ь кг(Зо).
Можно показать, что для этого решения при ьр » и, иаь, иьин имеет место равенство 'а(р) = ььрььи+ (аь — 1+ 2е(д),1р+ 0(ео ). (2.4) Равенства (2.3) и (2.4) получаются методами ВКВ [6). Таким образом, решение уравнения (2.1), зависящее от ~ как ехр( — н ~5), можно при больших значениях ьо записать в виде ь1 С зн — ал — ь л, С ьр-.зя, ььы — Π— о ььгоь,— ьыл (2 5) При аь = О равенство (2.5) представляет собой асимптотику автомодельного решения при ььо — ь со и соответствует асимптотике, найденной в [ое). При действительных и отличных от нуля значениях аь выражение (2.5) можно рассматривать как суперпозицию двух периодических по переменной ~ волн с волновыми векторами (2.3) и (2.4). Применим для определения направления распространения волны то же правило, что и для решений уравнений с постоянными коэффициентами (см., например, [7))ь а именно будем считать, что направление распространения волны зависит от знака 1ьп Й при значениях оь с достаточно большими 1шаь.
Тогда можно заключить, что первый член правой части (2.5) соответствует волне, распространяющейся при увеличении ~ в отрицательном направлении ьр, а второй волне, распространяющейся в положительном направлении ьр. Пругим основанием для такого заключения является аналогия уравнения (2.1) с уравнением теплопроводности при наличии источников тепла — 2(эц в среде, движущейся со скоростью — ьо, и обладающей коэффициентом теплопроводности и. При этом величина ( играет роль времени, а ео -- координаты.
Лля уравнения теплопроводности существует два типа возмущений, распространяющихся в противоположные стороны. Один тип возмугцений представляет собой волну (Гл. 624 А. Г. Куликовские, Ф. А. Слободана теплопроводности, распространяющуюся против движения среды и быстро затухающую в пространстве. Этой волне соответствует второй член правой части (2.5). Второй тип возмущений представляет собой волну, распространяющуюся в направлении движения среды, и в некоторых случаях определяется в основном переносом тепла вместе с частицами среды и действием источников.
Так как второе слагаемое в (2.5), содержащее и очень быстро (как ехр ( — у~ф)) стремится к нулю при удалении от стенки., то вдали от стенки можно пренебречь этим слагаемым по сравнению с первым слагаемым, не содержащим и. Это эквивалентно, как будет показано ниже, пренебрежения> в (2.1) членом, содержащим г. Для такого пренебрежения достаточно, .чтобы отношение члена, содержащего и, к "инерционному" члену уды/Вез было по порядку величины много меньше единицы г/(дЛ) (( 1. (2.6) Здесь 1 характерная величина р, на которой происходит изменение функции д.
Например, Л можно определить как отношение д/(дд/ду). Величина Ь . функция д и 5. Выражение в скобках в левой части неравенства (2.6) представляет собой число Рейнольдса, осли учесть,что р в инерционном члене уравнения (2.1) играет роль скорости. Будем считать, что неравенство (2.6) выполнено вдали от стенки. Тогда (2.1) превратится в уравнение первого порядка, общее решение которого можно получить, интегрируя уравнение характеристик гор/г1~ = — ~р, г1г7/й~ = — 2~Дг1. (2.7) Первое уравнение задает форму характеристики, а второе изменение д вдоль характеристики, которое,как видно из сравнения (2.1) и (2.7), определяется действием источников тепла. Если зависимость д от ~ выбрать в виде ехр( — го~~), то из (2.7) получится первый член в асимптотике (2.5).
При этом уравнения (2.7) показывают, что возмущение, соответствующее этому члену, распространяется в сторону убывания ез. Из (2.7) следует, что на характеристиках справедливо равенство Ч = ЧО'г ~. (2.8) Нетрудно найти общее решение уравнений (2.7) 1=до(уеГ)е "~; Чо = юо — 1 (2.9) При решении задач с начальными данными важно, чтобы условие (2.6) не нарушалось с ростом ~. Так как Л представляет собой величину, пропордиональную разности двух значений у, то из (2.7) можно заключить, что ЙЬ/д~ = — Ь, где производная взята вдоль характеристики. Из последнего равенства и из первого равенства (2.7) следует, что на характеристике выполняется соотношение Ь/р = сопз1.
Поэтому, если функция до(ез) такова, что для нее при больших значениях ~р справедливо неравенство Ь > глр, где щ -- некоторая по- 12.3) Выбор автомобельного решении в теории пограничного слоя 625 стоянная, то величина Цуг, ~) не может уменьшаться с ростом ~ при ~р = сопзг. При рассмотрении задачи с начальными данными будем всюду в дальнейшем предполагать, что это условие выполнено. Тогда можно указать такое значение у*, что при ео > го* неравенство (2.6) будет выполняться при всех значениях ~, а решение будет представлять собой возмущение, идущее к стенке, и описываться равенством (2.9) или при зависимости решения от ( в виде ехр( — еш~) первым слагаемым в правой части равенства (2.5). Если Д > О, то при 1ш го = О, и в частности при ш = О, первое слагаемое в правой части (2.5) растет с ростом у, и условие ограниченности решения при ео — е оо представляет собой нетривиальное условие, из которого следует, что Сз — — О.
Поэтому при )э' > О решение автомодельной задачи для ю определяется единственным образом условием ограниченности ш при ер — э оо и условием ш = О при ~р = О. Если )3 ( О, то при ео = О (и вообще при 1гп ш = О) оба слагаемых в правой части (2.5) стремятся к нулю при Зо -Э со. Поэтому условие ограниченности решения не накладывает каких-либо ограничений на асимптотическое поведение решения, задаваемое равенством (2.5). При любых значениях Сз и Сз величина д стремится к нулю, а ш — э 1 при ~р — ~ сю. Этим обусловлена неединственность автомодельных решений, так как оставшееся одно граничное условие и = О при ~р = О не может выделить единственного решения.
Однако поведение неавтомодельных решений при больших значениях у и истолкование членов решения как волн с определенным направлением распространения позволяет провести анализ решений неавтомодельной задачи с начальными данными и выделить то автомодельное решение, к которому стремится неавтомодельное решение при ~ — э оо. Если при 11 < О величина иго — 1 = е1о(у) при ео -э со стремится к нулю медленнее, чем ~ргэ, то из (2.7) и (2.8) следует, что возмущения, представляющие собой волну, приходящую к стенке, будут неограниченно расти при больших фиксированных значениях ео и ~ -э оо, н решение не будет стбпемиться к автомодельному.
Если цо(ф = уог ~(р), причем функция Д~~р) не стремится ни к какому пределу при у — э оо, то возмущение, приходящее к стенке, будет согласно (2.7) и (2.8) оставаться ограниченным, но не будет стремиться ни к какому пределу при 5 — ~ оо. Если до = К~Рз"'[1+ г(Уо)), где е(У) — г О пРи ео — э оо, то возмУщение., представляющее собой приходящую волну, будет стремится при ~ -э со, ер = сопз1 к постоянному значению Кер~~, н автомодельное решение, которое может установится при ( — э ею, будет выделяться из множества автомодельных решений условием Сз = К.
Если е1о при ео — э оо стремится к нулю быстрее, чем 1озо, то возмущение, задаваемое приходящей волной, будет стромиться к нулю при ~ — е ею. В этом случае предельное автомодельноо рошение характеризуется условием Сз — — О. Таким образом поведение функции шо(у) при болыпих значениях ео определяет граничное условие при уо = со для 626 А. Г. Куликовский, Ф. А.
Слвбвдкика автомодельного решения, которое устанавливается при с -в сю. Это граничное условие заключается в задании постоянной Сг в асимтотике (2.5). Интересно отметить, что рост величины о при,З < О при увеличении с (неустойчивость решения уравнения (1.4)) не связан с действительным увеличением возмущений скорости, а вызывается тем, что возмущения скорости отнесены к скорости внешнего потока, которая при /4 < О уменьшается при увеличении с. Это вытекает уже из того факта, что отмечавшийся рост возмущений описывается уравнениями идеальной жидкости, так что можно записать интеграл Бернулли, который в приближении пограничного слоя имеет вид из/2+ р(к)/р = = сопзФ, откуда следует, что возмущения квадрата скорости остаются постоянными вдоль линий тока. Литература 1.
Кочин Н.Е., Кабель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. сй 2. Мл Физматгиз, 1963. 2. Лабцякскип Л.Г. Механика жидкости и газа. Мл Гостехиздат, 1957. 3. Ра!Ьпвг Км., Яап Я.уг'. Яоше арргох!шаге зо1пбопз оу ФЬе Ьоппдагу !ауег ег!пас!опз. Аегопапа Нез. Соп1ш!гсее, Нерве агМ Меш.
1930. Ыв 1314. 4. Наг!гав Р.Н. Оп ап ег!па!!оп осспгппй !и РаПгпег апс1 ВЬш'з арргох!шаве ьгеаьшеп! оу ьйе ецпаь!опз оЕ сЬе Ьоппйагу !ауег // Ргос. СашЬг. РГВ1оз. Кос. 1937. Ъ'. 33. РФ 1., 2. 5. Гвтавцвв А.В. Отрывные автомодельные течения в ламинарном магкнтогидродипамнческом пограничном слое при адуве н отсосе // Изв. АП СССР. МЖГ. 1972. Н 3. 6. Хвдакг Лак. Введение в метод фазовых интегралов. (Метод ВКВ). Мл Мнр,. 1965.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
