Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 119
Текст из файла (страница 119)
7. Куликовский А.Г. Об устойчивости оппородных состояний // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. Сергей Аркадьевич Регирер С.А. Регирер родился 21 октября 1930 г. В 1959 г. поступил на Матсматико-механический факультет Ленинградского государственного университета им. А.А. Жданова, который закончил в 1964 г. Кандидат физико-математических наук (1968г.), доктор физикоматематических наук (1976 г.).
В настоящее время -- главный научный сотрудник Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова. Основные научные направления: магнитная гидродинамика вязкой жидкости, теория развитых течений и течений на начальном участке канала для различных конфигураций магнитного поля, биомеханика; континуальные модели биологических сплошных сред, спонтанные кальциевые колебания и волны в изолированных клетках, теория пористальтических течений. Награжден медалями и премиями им.
профессора Н.Е. Жуковского (1964 г.) и им. С.А. Чаплыгина (1973 г.). Член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике, заместитель предсодателя Научного совета по проблемам биомеханики РАН, член редколлегии сборников "Современные проблемы биомеханики", член экспертного совета ВАК РФ по математике и механике. Глава 13.1 РАЗВИТЫЕ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ ОСТРОКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИИ ") С. А. Рееирер Рассматриваются полностью развитые точения вязкой несжимаемой изотропнопроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения при наличии поперечного магнитного поля (Вэ/а)( — еэу -Ь еэз). Получено точное решение задачи в общем виде и его предельный случай, соответствующий течению в плоской щели. Похазано, что при высоких числах Гартмана в окрестности оси канала может образовываться зона повышенных скоростей.
Течение в плоской щели обладает в связи с этим парадоксальным свойством: расход увеличивается с ростом числа Гартмана. Причина этого заключается в том, что предельный переход "выносит" на бесконечность область с бесконечно большой ЭПС, а рассматривается область, где течение происходит в режиме насоса. В заключение обсуждаются некоторые другие течения в неоднородных полях остроконечной геометрии. 1. Развитые течения проводящей жидкости в каналах изучены в настоящее время весьма детально ~Ц, и возможности получения новых аналитических точных решений кажутся весьма ограниченными.
Однако такие возможности все же существуют и удается, как будет показано ниже, найти даже простые новые решения, которые, вместе с тем, обладают довольно интересными качественными особенностями. Пусть в плоской щели, ограниченной бесконечными непроводящими плоскостями з = ша (рис. 1), происходит полностью развитое течение несжимаемой вязкой проводящей жидкости с постоянными и изотропными свойствами, причем скорость течения ч компланарна границам и зависит только от ьч у = (и(з), и(х)., О). Внешнее (не зави- *) ЖТФ.
1974. Т. 44. Вып. 7. С. 1390-1400. 13.1] Разлитие. магнитогидродинаминеекие течение о каналах 629 Рис. 1. Схема течения в шели (1.2) (1.4) сящсе от движения) магнитное поле примем в виде В = (О, -В", В"), (1.1) где Во = совою Относительно геометрии индуцированного магии сво- го поля примем те же гипотезы, что и для скорости, положив В' = = (Ь(х), Ьз(х), О). Таким образом, суммарное поле есть В = [Ь(.), Ь,( ) — — '", — В"- ]. Наконец, относительно эффективного давления р' = р+ Вз/(8я) прсдположим, что оно зависит от всех трех координат, причем р* = ' (у +х ) — Рх — Рху+сопз1, яках где Р и Р, постоянные, заданные или зависящие от заданных рас- ходов Я и Щ в направлениях х и у соответственно.
Обратившись к общим уравнониям магнитной гидродинамики, можно убедиться в том, что сделанные предположения нспротиворе- чивы (положенные в их основу соображения тесно связаны с услови- ями существования полностью развитых течений [1]) и приводят к следующей краевой задаче относительно и, и, Ь н Ь|. рио+ "Ь' — ' Ье+Р, =О 4ка 4ка Во'и'+~ Ьо=- — ои о(~а) =О Ь (~а) =О а а (1.3) и'+ и Ь" = О, и(та) = О, Ь(та) = О. а Очевидно, что течения в направлениях х и у гидродинамически независимы. Течение вдоль оси у, подчиняющееся уравнениям (1.2), было рассмотрено в [1].
Оно представляет собой плоский аналог осе- симметричного течения в трубе радиуса а при ъ = и(х)е, и Вог 2Вох В = — е — — е,. а а [Гл. 630 С. А. Рееирер 2. Перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве масштабов длины, скорости и индуцированного поля величины Р * с )/Р и введя число Гартмана Н = (Ваа/с) з/а/д. Тогда из (1.3) получим и" +НгЬ' = — 1, Ь" + Нги' = О, а(~1) = О, .Ь(Ф1) = О, или в симметричных переменных ю1 = и + Ь и юг = и — Ь и~о + Нею[ = — 1, юг — Нзшг = — 1, юг(о1) = 0) 'юг(е1) = О.
Решение поставленной задачи симметрично: и, Ь и ю, функции ж Из (2.1) найдем (2.1) четные / — нег~г /' нег,ег ~ ~ /' нег~о /' — нег~я ~ о а Отсюда скорость и безразмерная у-компонента плотности тока /Ь = = (ю1 — юг)/2 получаются в виде 1 Ег г г г и = / / сй(Н а )сЬе11, Уя — — / з1г(Н ' )еЬ. (2.2) о Полный ток через систему равен нулю, а расход (на единицу ширины канала в направлении у) выражается формулой г еЗ = — / з1е(Н )еЬ. а (2.3) При Н» 1 из (2.2) и (2.3) следует, что и(0) )/г, е~~~, е,) )/ ", сну .
(2.4) Формулы (2.2) (2.4) приводят к выводам прямо противоположным тому, что известно для течения Гартмана и ему подобным: а) ток уя имеет при я ) 0 (я ( О) положительное (отрицательное) направление, т.е. всюду противоположное злектродвижущей силе (и х В)а, б) лорснпева сила всюду направлена в ту же сторону,что и скорость,т.е. Такую осесимметричную задачу впервые решил Бай Ши-и еще до магнитогидродинамичсского "бума" [2]; затем решение было дважды повторено в [3, 4].
Задача (1.3), описывающая течение вдоль оси и, т.е.параллельно линии нулевого магнитного поля, изучается ниже. 13.1) Разлитие леаенитогидродинааичеекие течение о каналах 631 ускоряет, а не тормозит поток; в) ток, лоренцева сила и скорость всюду экспоненциально растут с увеличением числа Гартмана Н. 3. Предположительное объяснение этих парадоксальных фактов состоит в следующем.
Рассмотрим канал конечного, но сильно вытянутого прямоугольного сечения (рис. 2) с непроводящими стенка; В Рис. 2. Схема замыкания токов в поперечном сечении канала (~у~ < аЬг 'насосная" часть., аЬг < ~у~ < аЬ " огеператорная" часть; в сечениях ~у~ = = айг пРиближенно У, = О, Е, = — иВо(е) ми у = жЬ, х = ж1, 6 » 1.
Вблизи удаленных стенок у = жЬ размерная ЭДС имеет порядок 6(Вои/с) и в Ь раз больше, чем в средней части канала. Можно ожидать поэтому, что именно ЭДС в удаленных боковых областях определяет направление тока в средней части, т.е. удаленные области работают как бы в генераторном режиме, а средняя часть ". в режиме насоса, питаемого напряжением от "генераторной части" . При увеличении числа Гартмана в некотором диапазоне (вероятно, расширяющемся с ростом 6) работа "насосной части" интенсифицируется. Решение, построенное выше, соответствует случаю 6-г со при фиксированном Н, и описывает 'насосную часть" с источником напряжения на бесконечности. Уравнения полностью развитого течения в канале прямоугольного сечения с непроводящими стенками имеют в переменных и.
2 вид дтьг дтпг 1 егтгг тН( — у ' +х ' ) = — 1, ду дг (у = хЬ, )х( < 1, (3.1) нцг=О при Допустим, что в области ~у~ < Ьг < 6 (рис. 2) решение этой задачи слабо зависит от у. Для этого необходимо, чтобы дтг г/ду, ди/ду и у, дЬ/ду при ~у~ = 1ц были близки к нулю. Чисто теоретически этого, вероятно, можно добиться, уменьшая вязкость и организуя электрическое поле Е.
го иВз/с в области ~у~ Ьг . Для "насосной части' ~у~ < Ьг это поле является внешним. При этом, из-за того что Е,( — Ьг, х) = — Ее(Ьы х), между точками ( — Ьы х) и (6ы х) возникнет внешняя разность потенциалов. Частичное подтверждение этих сооб- 13.1) Рааентме магнитаоеидродинамичеекие течение е каналах 633 Решения системы (2.1) представимы также в виде разложений по 1'„, которые, как можно показать, имеют вид т, = ~ — '" Ън(х, хН) (1 = 1,2).
~И о=1 При больших 6 (Н6з » Ц (3. 5) р1з (НЬа) 1г! ень'1е(НЬ )~ Г(-+ Ь„) и стало быть Поскольку о,и, 7„и ан не зависят от Ь и й„> 1/4, то при Ь о оо, Н=сопз1и у=сопззРО сч 1ии, — >— (3.6) 7 Это соотношение верно и для р = О, так как М,,1а( ~ ) ( и ) при р — 10. Однако чем больше Н, тем 61 ближе к 1/4 и, следовательно, тем больше должны быть Ь... при которых ш;„, о,и/ ун в некоторой области ~у~ << Ь. Размер атой области уменьшается с ростом числа Гартмана, так как в ней должно быть ) зь1 — 1/2 Таким образом, предельный переход Ь о оо действительноприводит, как видно из сравнения (3.5) с (3.3) и (3.6), к решению и. 2, не зависящему от у. Это решение является удовлетворительной аппроксимацией точного решения с 6 » 1 лишь в некоторой области ~у~ (( Ь, размер которой уменьшается с ростом числа Гартмана, если только 6 не увеличивается достаточно быстро вместе с Н.
Строгое исследование асимптотики решения (3.3) и (3.4) при фиксированном 6 и Н вЂ” 1 оо представляет собой довольно трудную задачу, так как почленный анализ рядов не ведет к результату и указывает лишь на существенное, по-видимому, различие асимптотик для пристенных пограничных слоев, для свободных пограничных слоев вдоль линий р = 0 и х = О, для области в окрестности нулевой точки р = О, х = О, и, наконец, для четырех ядер потока. 13.1) Развитие магнитогидродинамические течения в каналах 635 Литература 1.
Батазкин А.Б., Любимов Г.А.. .Регирер С.А. Магнитогидродинамические течения в каналах. Мз Наука., 1970. 2. Раз Б. -5 Л 3 Арр1. РЬуз, 1954. Ъ'. 25. Р. 1205. 3. Бете1тадез А. Л 3. Аего-Брасе Бс1. 1960. Ч. 27. Р. 388. 4. Леркач П.Х., Бузовсря П.П. Сб. 'Тидромеханика и теория упругости". 1970. Вып. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
