Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 117
Текст из файла (страница 117)
В [3] для движений газа с ударной волной, инициирующей поглощение излучения, также были получены решения с двумя ударными волнами и особой точкой типа седла между ними. Отметим, что решения с двумя разрывами получались в работе [7] при изучении стационарного обтекания конуса потоком детонирующего газа, а также в работе [8] при нестационарном движении за детонационной волной с расширяющимся из центра поршнем. В свете указанных выше обстоятельств становится понятным, почему в работе [1] не удалось получить путем предельного перехода режимов самоподдерживающихся волн детонации, распространяющихся со скоростью ЧЖ: но была учтена возможность появления в решении, начиная с некоторого К*, внутренней особой точки и второго сильного разрыва.
Но именно такая конфигурация, как указано выше, и предшествует волнам детонации ЧЖ. Все решения, полученные в [1], либо принадлежат к случаю, когда К < К*, либо относятся к режимам, лежащим выше кривой АВС (рис. 1). 3. Ввиду особой важности и универсальности волн детонации, описывающие в пределе движения газа как с учетом тепловыделения за счет химических реакций, так и с поглощением излучения, рассмотрим их более подробно. Задача о распространении одномерных детонационных волн с постоянным по времени знерговыделением по газу переменной плотности описывается первыми четырьмя уравнениями (1.2) при Уг' = О. Соотношения на сильном разрыве (1.3) остаются в силе, а краевые условия для режима ЧЖ имеют вид (У(0) = (Уа или Р(0) = Ре при х = 0; г=гг(г+1), я=2(г-~), о=, г(г -1), (3.1) о = г г(г — 1я» ~ 1) р, = = — '(г(г — 1З'г .
Согласно (3.1) в точке х = хр величина 1 — М равна нулю, поэтому производные функций 1У, Р и сУ в ней бесконечны. С точностью до величин более высокого порядка малости в достаточно малой окрестности точки х = хуг зти функции прецставляются в виде +Ь, Р = 2(т-1)-Уг Ь, 17 = 2(у — 1)У('у+ 1) + ЬЬ. у -~-1 г г з з г г (3.2) й— (а+ ЦЬ уг — (у — 1) УРЪ' — (о — 1)Ь уг'гг11 1 У ' (х — хуз)] ахоЬт Лля того чтобы решение слева от х = хгг существовало, требуется, чтобы подкоренное выражение в формуле для 6 из (3.2) было положительным.
Отсюда сразу следует необходимое условие существования одномерной расходящейся детонационной волны ЧЖ. После [Гл. 618 В. М. Кроль, Ф. А. Слободкано подстановки в (3.2) вели ьин 1л, Р, У и х из (3.1) получим (З.З) 1 < ( — 1)И(у+ 1). Это неравенство совпадает с приведенным в [4] условием для сферических (и = 3) волн детонации ЧЖ. При невыполнении условия (3.3) интегральные кривые автомодельных уравнений развернуты в противоположную сторону от точки х = 0 и все волны детонации оказываются пересжатыми, т.е. распространяются со скоростью, меньшей скорости звука в газе за детонационной волной.
Это имеет место, в частности, при о = 2, р, = 2, ц = 1 и о = 0 (бимолекулярные реакции при наличии цилиндрической симметрии). В тех случаях, когда режимы детонации ЧЖ существуют, качественный ход интегральных кривых в плоскости х, Р имеет вид, изобра- 0 х х Рис. 3 женный на рис. 3. При этом второй сильный разрыв сохраняется у решений с величиной Ро, удовлетворяющей неравенству Ро < Ро < РА. Функция (1 — Мз) на интервале (хр, хп) между особой точкой хр и детонационным разрывом ЧЖ в хц отрицательна, поэтому сильный разрыв в любой точке х, из интервала (хр, хп) является скачком уплотнения и соответствует некоторому решению с Ре из интервала (Ро, Рд).
Это обстоятельство, по-видимому, впервые было отмечено в работе [3) для детонационных волн ЧЖ с переменным по времени энерговыделением на фронте. Решения с Ро < Ро содержат один сильный разрыв ЧЖ в точке х = хр и один слабый разрыв в особой точке х = хр . узле. При постоянном по времени энерговыделении и постоянной начальной плотности газа (д = О) такими решениями, в частности, являются плоская, цилиндрическая и сферическая (и = 1, 2, 3) волны детонации ЧЖ [4, 6, 9] с покоящимся в пентре ядром (Уо = О, У(х) = 0 при 0 < х < хр). Хо Рис. 5 Автомодсльные профили сферических детонационных волн, распространяющихся в режиме Ч?К по газу переменной плотности, с постоянным по времени энерговыделением на фронте, с двумя сильными разрывами и с разными скоростями поршня Уо изображены парис. 4 (о=3, 7=5/3, 1=1).
Исключением из указанного выше правила являются плоские волны детонации ЧЖ 1и = Ц с постоянным по времени энерговыделением, распространяющиеся по однородной среде (7' = 0). В этом случае второй сильный разрыв оказывается слабым, так как через точку хо проходит кривая 01?, все точки которой являются особыми.
2.5 Х На ной 1 — Мз = О, и через каждую ее точку проходят два решения. Качественный ход интегральизображен для этого исключительного Рис. 4 ных кривых в плоскости т, Р случая на рис. 5. Литература 1. Биюимов Е., Коробейников В.П., Левин В.А., Чернь~й Г.Г. Одномерные нестационарные течения горючей смеси газов с учетом конечной скорости химических реакций Л Изв. АН СССР. МЖГ.
1968. гз б. 2. Куликовский А.Г., Слободкина Ф.А. Об устойчивости произвольных стационарных течений в окрестности точек перехода через скорость звука Л НММ. 1967. Т. 31. Вып. 4. 12.2) Автомодсльныс тс ~сник с химическими реакциями 619 620 В.М. Кроль, чь А. Слободнина 3. Кроль В.М., Немчинов И.В. Автомодельные движения нагреваемого излучением газа за фронтом ударной волны, инициируюшей поглощение Л ПММ. 1969.
Т. ЗЗ. Вып. 1. 4. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 5-е. Мл Наука, 1965. 5. Кроль В.М. Плоские автомодельные движения теплопроводного газа, нагреваемого излучением Л ПМТчс 1968. № 4. 6. Зельдович Я.Бч Компанееи А.С. Теория детонации. Мл Гостехиздат, 1955. 7. Квашнина С.С., Черный Г.Г. Установившееся обтекание конуса потоком детонируюшего газа Л ПММ.
1959. Т. 23. Выл. 1. 8. Ьее Т.Н. ТЬо ргорабагюп о1 вЬос1ьв апд 51ввс аачвв ш а десопасш8 8аз. Вер. 65-1. Мс С111 Пшч. Мозйгеа!, 1965. 9. Ландау Л.Л., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Изд. 2-е. Мл Гостехиздат, 1954. Глава 12.3 О ВЫБОРЕ АВТОМОЛЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОГРАНИННОГО СЛОЯ *) А. Г.
Куузиковский, Ф. А. Слободкина Если скорость внешнего потока на границе пограничного слоя не зависит от времени и запается в виде степенной функции продОльной координаты, то можно найти автомодельное решение уравнений пограничного слоя с помощью интегрирования одного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка [1-3[.
При отрицательном показателе степени в распределении скорости внешнего потока автомодельное решение, удовлетворяющее уравнениям и обычно выставляемым граничным условиям, находится неединственным способом [4[. Аналогичный результат получен для течений проводящей жидхости в магнитном поле [5[. В настоящей статье исследуется поведение неавтомодельных возмущений автомодельного решения, что позволяет дать основания для выбора автомодельного решения. 1. Будем для простоты рассматривать двумерное течение несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил. Уравнение пограничного слоя можно записать в виде дф дзф дф д~ф с1Ш дзф — — — — = о — + в —.. [1.1) ду дх ду дх дуз дх дуз ' Здесь ф функция тока, б'[х) продольная скорость на внешней границе пограничного слоя, в кинематичсская вязкость жидкости, х -- продольная, а у ††поперечная коорди.
Функция тока должна удовлетворять граничным условиям, которые возьмем в виде; [1.2) Имея в виду рассмотрение возмущений автомодельных решений, зададим скорость внешнего потока в виде бг[х) = Сх *) Изв. АН СССР. М1КГ. 1974. 1з1 4. С. 42 4б. (Гл. 622 А. Г. Куоикоооиий, Ф. А.
Соооо0кииа Введем вместо оу, у,х новые переменные 1о, л, С по формулам х., О) = ш+ ! х (т';гРяф С(™+ 1), Оо — гдг 'у' 2С 2 !ц х. га+ 1 2 Тогда (1.1) примет вид 3 2тп ~Р ~'Рсо — Р~~Роо = цУооо + УхРуо — д('Ро — 1) )3 = . (1.3) Здесь нижними индексами обозначены частные производные. Можно добиться, чтобы коэффициент при первом члене в правой части был бы равен единице. Это не сделано для того, чтобы в дальнейшем легче было проследить роль вязкости. !оешения уравнения (1.3), не зависящее от С, являются автомодельными. Они удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению, получающемуся на (1.3) отбрасыванием левой части, содержащей производные по 4.
Сделаем в (1.3) егцс одно преобразование. Примем вместо д за независимую переменную ш, а в качестве искомой функции возьмем ю(с, уо) = уо = С где/дд скорость, отнесенную к скорости внешнего потока автомодельного течения. Тогда получим — — ш — = и — (ш — ) — 13(ю — — ). а4 ар др др ю (1.4) В пограничном слое уо меняется от нуля на стенке до бесконечности при удалении от стенки. В силу (1.2) граничные условия для функции ю(С, уо) имеют вид ю(с, 0) = О, !цп ю(с, ~р) = 1. Начальные данные для решения уравнения (1.4) будем задавать при некотором С = Со в виде ю(Со, уо) = юо(уо) 2. Рассмотрим поведение неавтомодельного решения уравнения (1.4), считая, что решение и функция юо(ш) при болыпих значениях уо мало отклоняются от единицы, так что можно провести линеаризацию в (1.4) по величине д = ю — 1 — — уо — = и,, — 2дд.
дд ду дад (2.1) д4 ар дур Будем разыскивать решения этого уравнения в виде у = Аехр!(/к(уо) гор — шо), где А = сопзс, а к(уо) — — искомая комплексная функция действительного аргумента. Для к(уо) получим уравнение гк' = к~ — (гало/о)й+ (23 — гш)/ж (2.2) 12.3) Выбор аопьоыодельного решения а теорна пограничного елея 623 Имеется точное решение этого уравнения к = О, аь = — 2куь которому соответствует решение уравнения (2.1), не зависящее от ьр: ь1 = да ехр( — 2ь36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
