Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Поэтому необходимое условие максимума Аь имеет вид / И'ь е(х > 0 (у' = к, х, < х < х1). По той же причине /И'ь Мх > 0 (у' = — й, хе < х < х1). Для выполнения этих неравенств достаточно (но не необходимо) выполнения (3.9). Иногда класс допустимых функций может быть сужен. Так, если стенки — идеальные проводники, то 1о(х) = сопз1. При этом оьр также не зависят от х и экстремальное ьр удовлетворяет условию с *ь )О,ак) (3.12) а где неравенство имеет место лишь при (ьр~ = ьр,, Анализ полученных условий показывает следующее. При оптимальных В и ьр единственным возможным разрывом является одно- (Гл. 604 А.
Н. Краниха Ф. А. Слободиина временное изменение их знаков при неизменной абсолютной величине. Это решение, однако, можно отбросить, так как оно дает то же значенио Х, что и непрерывное. Если у задано и непрерывно, то оптимальное В также непрерывно. В ряде случаев у может быть задано разрывным. При этом или с обеих сторон разрыва ~В~ = 1 или В(х) разрывно в силу (3.7). Если р(и) ищется в классе кусочно постоянных функций с заданными точками разрывов (секционированные электроды), то у на всех участках определятся из условий (3.12) при интегрировании лишь по участкам постоянства у.
Оптимальные размеры этих участков находятся из (3.5). При этом в точках разрыва ~р оптимальное В(и) также или разрывно или ~В~ = 1 с обеих сторон разрыва. Сказанное переносится и на тот случай, когда В и ы меняются местами. В общем случае экстремальный контур может состоять из участков четырех типов: д = У, р' = Й, у' = — Й и участка двустороннего экстремума, определяемого уравнением (3.6). Экстремальное магнитное поле может содержать участки трех типов; В = 1, В = — 1 и участок двустороннего экстремума, определяемого уравнением (3.7).
То же можно сказать и об экстремальном распределении потенциала. Как следует из (3.7) и (2.8), при сверхзвуковом течении концевой участок кривой В(х) всегда является участком краевого экстремума. Функции у, В и у непрерывны во всех точках стыковки. На участках канала, являющихся одновременно участками двустороннего экстремума по у и по В, в соответствии с (3.6) и (3.7), р = ри, т.е. число Маха М = м и~к . Следовательно, такой случай при сверхзвуковом течении невозможен.
Кроме того, при сверхзвуковом течении не нужно определять дз, так как в этом случае оно не влияет на решение. Ясно, что найденные условия дают решение и более частных задач, например, задачи об определении экстремального В(я) при заданных форме канала и потенциале. Здесь из условий (3.6) — (3.12) используются лишь (3.7) и (3.10). В каждом конкретном случае следует рассматривать все возможные режимы течения (дозвуковой, звуковой, сверхзвуковой) и при наличии нескольких макисмумов производить выбор по величине Х.
Не рассмотренный в работе случай смешанного течения представляет несомненный интерес и требует дополнительного исследования. 4. В качестве первого примера рассмотрим задачу об определении оптимальных: В(к), р = сопз1, р и иэ для разных значений параметра Ь в случае канала постоянного сечения. При х < 0 форма канала такова, что М < 1. Ограничения на ~р отсутствуя>т. Итак, необходимо решить краевую задачу для пяти дифференциальных уравнений первого порядка (1.9) и (2.3), где а = у = 1 и у' = О, при шести граничных условиях: (1.7) и (2.5) при х = 0 и (2.7) и (2.9) при т = хм дополнительный произвол дает выбор рэ или констан- 12.1) Вариаиионнан задача одномерной магнитной гидродинамини 605 ты С в конечном уравнении системы (1.9).
Величина то определяется по (3.3), а В(л), в соответствии с условием (3.7), уравнением Ш вЂ” (1+ рг)и 2ию если ~ьр[1ьз — (1 + рз)и) ~ < (2ирьз ~, и равно т1 или — 1 в противном случае. Оптимальное ьр определяется условием (3.12) ь И'з ь1л = 0 о или эквивалентным дифференциальным уравнением 11' = 11'з при граничных условиях г, = Хг = О. Одно из этих условий удовлетворяется за счет выбора ьр. Уравнения интегрировались методом Рунге-Кутта от т = яй до л = О. Недостаюшие начальные условия при л = ль выбирались путем пристрелки по четырем параметрам с использованием метода Ньютона.
Так как при приближении к то число Маха Мь — 1 1, а все производные стремятся к бесконечности, .то т бралось за независимую переменную лишь при и' < 1. При и' > 1 за независимую переменную бралось и. Расчеты были выполнены для и = 5/3 и 0.01 < ьз < 100. Результаты приведены на рис. 2 7 сплошными линиями. На рис.
2 показано 1.0 0.6 0.2 '0 Х Рис. 2 оптимальное В(т) для ряда значений г."ь (для всех рассмотренных Ь оптимальное то = 1). Кривые В(т) при ьз > 0.1382 состоят из участка В = 1 и участка двустороннего экстремума. При меньших Ь второй участок отсутствует. С ростом Ь протяженность участка двустороннего экстремума растет, однако при любом конечном ь3 вблизи левого конца В = 1.
На рис. 3 дана кривая оптимального ьр, а на рис. 4 — — кривая ро в зависимости от Ь. Оптимальный (звуковой) [Гл. 606 А. Н. Крепко, Ф. А. Слободвина )ц~ -) П 1 )~Л Рис. 3 1КЛ О 1 1КЛ 0 Х Рис. 4 Рис. 5 режим осуществляется при р < рм С ростом Ь срабатываемый перепад давления р возрастает, а у падает, правда, медленнее, чем Ь з~'. Поэтому размерный потенциал растет. На рис. 5 для ряда значений Ь показано изменение вдоль канала числа Маха (кружки -— точки соединения участков краевого и двустороннего экстремумов). Рис. 6 даст снимаемую мощность в зависимости от Ь. На рис.
3 — 7 штриховыми линиями даны соответствующие кривые для генератора с В(т) = 1, причем остальные параметры: у, р~ и х~ были опти- 12.1) Вариационная задана одномерной магнитной гидродинамини 607 Интересно, что при В = 1 область изменения всех параметров с ростом еа стягивается к х = 1, что видно как по распределению числа Маха М, так и по распределению снимаемой моп1ности (рис. 7, п отношение мощности, снимаемой с участка канала левее данного х, к полной). Такой результат естественен, так как в этом случае при производных в (1.9) появляется малый параметр Ь При оптимальном В(х) съем мощности осуществляется почти равномерно, что подтверждает качественные соображения работы [5). В качестве второго примера решалась задача об определении оптимальных у(х), В(х), 1о = сопз1 и хе при 1 /у„' = 10 и М„= 1, для ряда значе- 8Л -1 О ~8Л ний Ь и У при сверхзвуковом режиме течения.
Ограничения на ~р отсутствуюти и=5/3. 1 При определении оптимальной формы нужно знать константу Й или максимально допустимый угол о„между стенкой и осью канала, при котором еще применима одномерная теория. Так как выяснение этого вопроса выходит за рамки настоящей настоящей работы, то было взято д = 20', что дает Й = (1 1у„') 18д = 3.64 и максимальное У = 4.64. Исследование показало, что в рас- 0 смотренном диапазоне Ь и 1г оптимальное хе = 1, оптимальное магнитное поле Рис. 6 Рис.
7 мальными. При Ь < 0.1382 (кружки на рис. 3, 4 и 6) характеристики обоих генераторов совпадают. При ббльших Ь оптимальное профилирование В(х) ведет к увеличению снимаемой мощности (на 3.8, 7.1, 22, 31 и 37% соответственно при 1а = 1.0, 1.5. 5.0, .10 и 20) и к уменьшению уо. В связи с этим заметим, что при наличии ограничения на 1о выигрыш был бы еще значительней. На рис. 3 и 4 горизонтальными отрезками слева показаны оптимальные ао и ре при еа = О. Для определения уа-а применялся результат Ньюрингера (1, 4]: у = и,/2, а и, и р„определялись по формулам газовой динамики. В соответствии с (1.2), Ха — е = О.
Проверка необходимых условий экстремума по уе и у(х) показала, что в исследованных случаях канал рассмотренный формы не оптимален, хотя уе = 1 и оптимально. [Гл. 608 А. Н. Кранко, Ф. А. Слободкиня 1.05 2.6 1.03 1.8 1.0 ОА 'О 0.99 о Х Рис. 8 Рис. 9 однородно: В(т) = 1, и оптимальный контур канала состоит из двух прямолинейных отрезков у' = и и у = У. Для 1 = 4.64 мощность оптимального генератора в зависимости от Ь дана на рис. 6 (штрих- пунктир), а оптимальное у на рис. 8.
Максимальное Ь, при котором течение еще всюду сверхзвуковое, в этом случае равно 0.103 (черный кружок на рис. 6). Изменение характера течения с ростом Ь видно из рис. 9. Интересно, что увеличение Ь не влияет на начальный участок течения. Как слсдует из рис. 7, где штрих-пунктиром показано распределение снимаемой мощности для Ь = 0.01 и 0.1 при 1' = 4.64, этот участок генератора работает как ускоритель. На рис. 10 сплош- 1.0 0.8 0.6 0.4 3 5 Рис.
10 3 5 ной кривой дана зависимость мощности оптимального генератора от У, а штриховой - генератора, у которого хм В(х) и ~р - - оптимальны, а стенки образованы прямолинейными отрезками, соединяющими точки и, = О, 8, = х1 и хз = 1, рз = хУ; в обоих случаях Ь = 0.02.
12.1) Вариоционноя зодочо одномерной магнигнной гидродиномини 609 На этом же рисунке приведена зависимость ьр = ьр(У). Видно, что оптимальный выбор формы ведет к существенному увеличению Х. Расчет показал, что взятое в этом примере М„= 1 не оптимально. 5. Проведенное исследование можно перенести на более общий случай. Пусть а = а(р, р, В).
Кроме того, оптимизацию не всегда следует проводить по величине снимаемой мощности (6). В связи с этим рассмотрим функционалы К = ~Ф1(х, у, иь рь р, В, ьр) йх (у = 1,... ьг — 1)ь о *ь ь 3 К, = ~Ф (х, у, иь р, р, В, уь) йх ~Р (х, у, и, р, р, В, ьр) йх~ о о (~ = рь...,и), где Фв и Р., как и а, известные функции своих аргументов. Представляет интерес вариационная задача., в которой ищется максимум г-го функционала при изопериметрических условиях, получающихся при задании остальных К иь Такова, например, задача о построении магнитогидродинамического генератора заданной мощности при минимальной джоулевой диссипации. Составим функцию Ф = Ф(х, у, и, р, р, В, ьр, Л) = ~ Л Ф. (х, у, и, р, р, В, ьр)йх— 1=1 п — ~ Л К Е (х, у, и, р, р, В, ьр)йх, где Лд -- постоянные множители Лагранжа, причем Л, = 1, если ь(т,и ° *ь — 1 Л, = ~ /Е;,йх), если 1) г. о Исследование, аналогичное проведенному выше, вновь приводит к прежним соотношениям, если заменить в них выражения для М„Ивг и П на: Мь =,, з у + Ь(р,В+ ргьр) ь1иа — рар~и — — гь— вг ( рьри / у У -"(".-'")("--я " -" -(".-'")") Мг =, 1 У +11(1вгВ+1вгр)~иа — (аррьв +Рар) х вв — 1 ( рьри г уи(гвр — риг) ~ у (,в — -)1ь,ь„— ь,р — рь,), Глава 12.2 О ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕхКИМАХ АВТОМОДЕЛЬНЬ1Х ТЕь1ЕНИЙ ГАЗОВ С У к1ЕТОМ КОНЕк1НОЙ СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ *) В.
М. Хрокгь, Ф. А. Сягободнина В работе ~Ц рассмотрены одномерные нестационарные течения горючей смеси газов с учетом конечной скорости химических реакций. В ней указаны условия автомодельности таких движений, произведена математическая постановка задачи, приведены результаты ряда численных расчотов. Авторы ~Ц указывают на необходимость проведения дополнительного исследования, так как им не удалось получить численно, путем предельных переходов, самоподдерживающихся детонационных волн, распространяющихся со скоростью Чепмана-Жуге (ЧЖ). В данной статье установлена причина, по которой в (Ц не удалось выйти на режим ЧЖ, проводится качественный анализ с использованием результатов работы ~21 системы уравнений, описывающий автомодельные течения га.ва с конечной скоростью химической реакции, производится предельный переход к самоподдерживающимся детонационным волнам ЧЖ при наличии химических реакций. Здесь же указано, что задача о нестационарных течениях горючей смеси газов с конечной скоростью химичесхнх реакций аналогична рассмотренной в ~3~ задаче о движении газа, нагреваемого излученисм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
