Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 114
Текст из файла (страница 114)
е1, Параметрам левее (правее) е1 припишем индекс минус (плюс). При варьировании положение е1 может меняться. Можно показать, что если бяа — изменение абсциссы точки е1, то для любой переменной г имеем беде = бга + (г' — г' )абтю Палее, воспользовавшись пРоизволом в определении множителей Лагранжа, положим Рза, = Рш . Рзаь = Рза Рза, = Рза... (2.1) Учтя сказанное, а также то, что бяа = бу„= О в силу (1.3), а би„., бр, и бр, связаны соотношениями (1.7), получим ь б1У = б| = / (Иез бу + Яг бВ + Иез Жр + И гоби + Иь бр + И а бр) сЬ + а + ((| — — сьь)ата+ Бьбть — (1 — и,)=~ (1 — и,) ( — + из) би, + -1 .)(,2 а г + ~рзи( Р+ "— ) + узри~ буь+~Рзри+ Рзу( Р+ -Ри') + уи 1 / х +дару~ йьь+ (Рз — +Рзузь) брь+ (Рз+Рз Уи) бРь, (22) ~ь 2 ь х — 1 )ь Г = |1(уц В + радар — р) ~ — — иВ).
/ьо у И'а = И'ь = И'е = О. Отсюда с учетом выражений для И'; и простых преобразований с ис- пользованием (1.9) получим Р', = Ме(у, и, р, Р, В, Ьз, Ры Рз, у), ь = 1, 2, 3, Мз = з ~ У +заВ(рзВ+Рззз+Ф)) риз — хр у 1 — х Мз = иМм ху (2. 3) Здесь И'; известные функции у, и, р, р, В, уз и множителей Лагранжа. Вариации, входящие в (2. 2), не независимы. Множители Лагранжа выберем такими, чтобы в выражении для б| остались лишь вариации управляющих параметров, т.е. у, В, ьо, ть, уь и Р . Покажем, что это можно сделать для любого течения. Определим Ры вз и Рз так, чтобы на участках непрерывности у', В и ьз было (Гл.
600 А. Н. Кройко, ьь.А. Соободкино и — 1 ((щи (' 2м Л6 =, з — ( 1+у )у'+ 2у(риг — гор) ( у 1х — 1 +Ь(из+ОБ +Ц) Π— ен ( Π— С)( Π— С)/). Лля интегрирования системы (2.3) в дополнение к условиям (2.1) в точках разрыва необходимо иметь еще три условия. Их вид зависит от режима течения.
При дозвуковом истечении рь = р . и брь = бр,. Если скорость на выходе равна скорости звука (горь = рьиг), то брь = дебрь+ б ь. (2.4) Наконец, при полностью сверхзвуковом течении и, является управляющим параметров, так как может меняться за счет изменения формы канала при х, < О. Малые же изменения остальных управляющих параметров на и„в этом случае не влияют.
При дозвуковом течении и, не зависит от формы канала при х < О, а полностью определяется течением при х ) О. В соответствии с этим в первых двух случаях, приравняв нулю коэффициент перед би, получим 2рзо = 1гг . (2.5) Кроме того, при дозвуковом истечении приравняем нулю коэффициенты перед биь и брь. В результате получим и р иь г Рьь = Уь( — + и) Ргь, Рзь = — — Ргь (2 б) ~оо — 1 Ри гь ' 2 При звуковом режиме, исключив брь при помощи (2.4), таким же путем придем к условиям муьиь иь рзь 1 1ггь Рзь — 2 Ргь. (2.7) При сверхзвуковом течении, приравняв нулю коэффициенты перед биь, брь и брь, получим Ргь = 1ьгь = Рзь = О.
(2.8) Итак, множители Лагранжа всегда можно выбрать так, что в выражении для б1 останутся вариации только независимо варьируемых величин. Лля этого достаточно выполнения условий, полученных выше. При любых заданных хь, у(х), В(х), д(х) и р течение определяется уравнениями (1.1) или (1.9) и условиями: рь = р, — при дозвуковом истечении, мрь = Рьпь (2.9) при звуковом истечении (в рассматриваемом бесскачковом приближении последнее возможно лишь при р, < рь), заданным и - при сверхзвуковом течении и (1.7) -- во всех случаях. Наконец, рм иг и из определяются дифференциальными уравнениями (2.3) при условиях; 12.1) Вариачионная задана одномерной магии>аной гидродинаминн 601 (2.ое) и (2.6), или (2.ог) и (2.7), или (2.8) .-- соответственно при дозвуковом, звуковом (на выходе из канала) и сверхзвуковом режимах.
Условия непрерывности (2.1) можно не использовать, если уравнения (2.3) применять на всем интервале интегрирования. Непрерывность ра при этом обеспечивается автоматически. 3. В соответствии с выбором множителей Лагранжа, бА> = б1 = / (И > бу + Игг бВ + Ига б>р) а>х + о ( м ри! + (Н вЂ” Гь)дбхо+ Гьбхь+ [рги р+ — ) + узри Ьуь+ ',м — 1 2 ) >ь + (Р> +Рг Уи) 6Р— (1 — и )'":"> (1 — иг) (~' +уз) Ьи,. (3.1) Слагаемое с Ьр есть в (3.1) лишь при дозвуковом истечении, а с би, лишь при сверхзвуковом потоке на входе в канал. Вариации, входящие в (3.1), независимы. Это позволяет получать условия экстремума как по всем управляя>щим параметрам, так и по каждому на них в отдельности.
Кроме того, .рассматривая вариацию некоторой величины в произвольной точке (нанример, у), остальные вариации можно считать отсутствующими. Прежде всего найдем оптимальное р . при дозвуковом течении. Лля этого приравняем нулю коэффициент перед бр„- . Вспомнив условия (2.6), найдем, что это приводит к условию (2.9), т.е, среди дозвуковых режимов оптимален режим звукового истечения.
Аналогично в сверхзвуковом случае экстремум реализуется при выполнении одного из условий (3. 2) и, = > , и, = 1, (рг + 2ра)о = 0 м -ь 1 В первом случае скорость потока и, равна скорости звука,а во втором максимальной. Напомним,что в силу постановки задачи эти условия соответствуют экстремуму при фиксированном уа. Можно показать, что первое значение и„реализует экстремум и тогда, когда фиксирован расход газа, а не у,.
Характер экстремума определяется сравнением величин А> при всех корнях (3.2). Чтобы найти оптимальную длину канала, нужно приравнять нулю множитель при Ьхь. Однако,если хе = 1, то допустимые бхь < О, идля обеспечения максимума А> достаточно, чтобы этот множитель был неотрицательным. Итак, (3.3) 17ь>0 (хе<1), где знак неравенства может иметь место только при хь = 1. Отсюда в согласии с (2.8) при сверхзвуковом истечении., когда число Маха Мь > 1, следует естественный вывод; длина канала должна быть (Гл. 602 А.
Н. Кройио, Ф.А. Соободииио выбрана так, чтобы на концевом участке осуществлялся генераторный режим. Таким же путем найдем необходимое условие максимума по уэо [рэи( р-Ь вЂ” ) + рэриз > О, И"1 = —, с рзри(м — 1)(и — — ) ( и — — ) + 21 ( ~ра у(риэ — 2ор) '( у оо — 1 у + (рзВ + рэпер + ~р)~[мр(и — — ) + ри у у Иэ = Ь[и(р1В+ 1121р+ ~р) + р1(ри — — )~ = О, У И з — = Ь [(1 + р ) (и — — ) — (рэВ + рэоо + 1р)у ~ = 0 у (3.6) (3.7) (3.8) соответственно для определения формы канала, напряженности магнитного поля и потенциала. При получении выражения для И'1 производные и', р', р' и р' исключены с помощью уравнений (1.9) и (2.3). Здесь неравенство может иметь место лишь при уо = У. При сверхзвуковом течении это условие выполняется в силу (2.8) всегда, а при дозвуковом и звуковом режимах в силу (2.6) или (2.7) принимает вид р26 ~0 (3.4) и при уо < У определяет (при знаке равенства) оптимальное ум Наконец, приравняв нулю коэффициент перед бхю получим необходимое условие экстремума в точках разрыва (17 — Г), =О.
(3 5) В точках излома контура никаких дополнительных условий не появилось. Рассмотрение внеинтегральных членов в (3.1) дало условия для определения оптимальных р, и„хо и хо при произвольных у(х), В(х) и оэ(х). Исключение составление условие (3.4). В действительности вариация уо не независима, так как в силу (1.8) влечет за собой изменение у при х < хм При малых изменениях уь вклад, вносимый за счет этого, более высокого порядка малости, так как у можно проварьировать лишь на отрезке по х того же порядка, что и буь.
Это и позволяет при получении (3.4) считать буо независимой. Поэтому при произвольной форме канала (3.4) служит лишь для проверки, а не для получения оптимального ум При построении экстромальных у(х), В(х) и р(х), как и при получении условий (3.3) и (3.4), будем помнить, что искомые кривые могут состоять из участков двустороннего и краевого экстремума. Так как на первых вариации произвольны, то здесь должны обращаться в нуль И1, И2 И Иэ.
В результате получим уравнения 12.1) Вариаиионнан задача одномерной магнитной гидродинамини 603 Отсутствие в И'ь производной у' указывает на двукратную вырожденность задачи. Отметим, что это же обстоятельство вытекает и из результата заметки [2]. Каждое из этих уравнений применяется лишь там, где определяемые из них у, В и го удовлетворяют условиям (1.4) — (1.6) и (1.8). В противном случае имеет место краевой экстремум. Здесь соответствующая функция равна граничному значению, вытекающему из (1.4), (1.5) ь (1.6) или (1.8).
Так как на этих участках допустимые вариации знакопостоянны, то здесь необходимые условия максимума Аг формируются в виде неравенств Иез >0 при у=У, (3.9) И'гзь8пВ > 0 при В = х1, (3.10) И'з з18пьр > 0 при ьр = хьр„,. (3.11) Для получения аналогичного условия на участке е 1 с уравнением у' = Й проварьируем у' лишь при х, < хь < х < ха < хе, и пусть шах ~йу'~ и ~х„— хь~ величины одного порядка. С точностью до величин более высокого порядка У ья = Бх = ( /ьь'г )/и; г*, *ь В силу (1.8) при допустимых йу' ь(у' е(х < 0 при у' = й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
