Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 110
Текст из файла (страница 110)
2. Вывод нового определяющего соотношения. Представим определяющие соотношения для тензора напряжений Рейнольдса в виде 2 д бек О 2 3 — 1/2 — (иеив)+ — ЙА~ =Лц+(Ацьт+Рцыи) +АзиЛО(~ +И' ) 3 дх (2.1) В правой части (2.1) В, " тензор, не зависящий от градиентов средней скорости и необходимый для правильного описания анизотропной турбулентности в пристеночных течениях с однородным профилем скорости. Второе слагаемое в правой части (2.1) линейное по градиенту скорости —.
суперпозиция анизотропной Ацьт и изотропной Р;:ь составляющих турбулентной вязкости. Последнее слагас мое в (2.1) рассмотренное ранее нелинейное слагаемое Саффмана (1.3). Используя приемы, разработанные в (14), условие изотропии для Рдь, понятие скалярной вязкости гм и условие несжимаемос- 580 С. А. Неуч, А. Б. Лебедев, Л.
А. Любимов, А. Н. Секунда» )Гл. ти, соотношение для второго слагаемого в (2.1) можно представить так дУ» (Абы» + 1дцьш) — ' = Ю$ц+ Ацьш($У» +%ш) (2 2) дят Пля анализа структуры анизотропной вязкости Ацу вблизи стенки введем компоненты единичного вектора и,, = е1в/Й, где е1; -- компоненты вектора, направленного нормально к стенке, с модулем д, равным кратчайшему расстоянию до нее. Анализ экспериментальных данных для пристеночных струй [15) показал, что вблизи стенки вне ламинарного подслоя существует область, где для анизотропных пульсационных компонент скорости верны оценки: и — ю е1 и - д. Эти оценки позволяют заключить, что аннзотропная турбулентная вязкость Аць,„, зависящая от д, е1, и бц, должна содержать только квадратичные слагаемые по ае (или п,).
В этом случае возможно такое представление анизотропной вязкости 1 Ацв»„ш а бобы + ао(бмбзт + б»»боя) + а1пвп»,бо + азп пзбь» + + аз(п,пьб,», + и пьб, ) + ав(п;пшб ь + пвп„,б я). (2 3) Здесь учтена симметрия по индексам 1 и ~. Тогда, используя условие несжимаемости и соотношение (2.3), слагаемое с анизотропной вязкостью в (2.2) можно записать так Аца~»Рь» — 2ао$О + азпшпь$т»бц » (ав аз)(пепьРзь + пдпьРь )+ о о о + 2аэ(ПЧЗт$ут + П П,„$'т), Р~„, = ($Л»» + И»ут) (2 4) Соотношение (2.4) содержит четыре неизвестных коэффициента ао, аы аз и ав. Используем дополнительные связи между этими коэффициентами.
Первая из них получается, если в (2.4) приравнять нулю свертку по индексам з и у а1 — — — (2/3) (аз + а4). (2.5) Вторая дополнительная связь следует из требования совместимости разработанных здесь определяющих соотношений с соотношением (1.1), которое используется для расчета простых двумерных сдвиговых течений (в пограничных слоях, трубах и каналах, в струях и следах). Как уже отмечалось, для таких течений существенна только одна компонента тензора напряжений Рейнольдса — (и1из) и тензора скоростей деформации $зз.
Пля обеспечения указанной совместимости необходимо выполнить условие ао — а4. (2.6) Таким образом, имеется два условия (2.5) и (2.6) и, следовательно, коэффициенты ао и а1 можно выразить через аз и а4. Из двух основных вариантов записи модельных соотношоний, а именно при аз — — О или при аз = ав, которые соответствуют наличии> или отсутствию И'ц в (2.4), какого-либо заметного преимушества одного из них установить не удалось. Однако с вычислительной точки зрения предпочтительней оказалась первая версия с аз = О. Вариант с одним произвольным ко- 11.3] Моделирование турбулентных трехмерных течений 581 1 Вб = Са (а,п — — б,г) .
3 (2. 7) Величину Сл, имеющую размерность энергии турбулентности й, бу- дем аппроксимировать функцией, зависящей не от к, а от турбулент- ной вязкости ие и расстояния до стенки Й С, = С, г«-г. (2.8) Такой выбор зависимости величины Са от характеристик турбулентности обусловлен тем, что известные двупараметрические модели турбулентности, содержащие энергию турбулентности 14, в частности наиболее популярная й — е модель, весьма неточно описывают распределение й(у) для течения в бессдвиговом пограничном слое ]16].
Кроме того, соотношение (2.8) удобно при использовании однопараметрической модели Опаларта- Аллмараса (модель С-А) для турбулентной вязкости, которая здесь будет использоваться. Подставив (2.8) в (2.7), получим 2 — 2/, Вб = Сьиее1 ~ п,пг — — б,г). 3 (2.9) Объединим вместе слагаемые (2.4) с учетом (2.5) и (2.6), слагаемое (2.10) и описанное ранее соотношение (2.1). Тогда новое определяющее соотношение примет вид 2 У 1 1 2 — 2 — (и,иг) + — кбп — ие$0+ С21ог (п,п — -б, ~(не еГ ) + 3 3 + Сгуггиг(ЭМ ПгнтР ГггхгтР~т + ПЬПтРутб 2) + + 2С Во (Вг+ И 2) — згг (2 10) Здесь использованы условие аз = О, соотношение Сгие — — — 2ал и вве- ДЕНЫ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ Угы Угг И Егз, ЗаВИСЯЩИЕ От ОтНОСИтЕЛЬ- ного расстояния Н* = е1,17, до стенки.
Поскольку вновь предложенные слагаемые справедливы только вблизи стенки, функции угг и угг равны единице у стенки и стремятся к нулю вдали от нее. Значение угз рассмотрено ниже. эффициентом а4 и будет анализироваться далее, а значение а4 будет найдено из условия согласования с экспериментом. Для аппроксимации анизотропного слагаемого В,. в (2.1), не содержащего градиента средней скорости, рассматривается течение в бессдвиговом пограничном слое (Яе = И; = О). Вне очень тонкого пристеночного слоя, где турбулентная вязкость мала, продольную и поперечную пульсационные компоненты скорости можно аппроксимировать зависимостям; и — сопз1 и и - 41 (см.
[2, 3]). Кроме того, в случае бессдвигового пограничного слоя турбулентность является однородной вдоль направлений, параллельных стенке. Следовательно, в системе координат, связанной со стенкой, слагаемое В,г имеет только нормальные компоненты. Используя приведенные выше рассуждения, можно записать 582 С. А. Берн, А. Б. Лебедев, Л. А. Лнгбимвв, А. Н. Сенундвв (Гл. Пля пояснения смысла новых анизотропных слагаемых в (2.10) представим их конкретные значения в декартовой системе координат для рассматриваемого здесь специального класса точений, когда максимальная скорость Уг направлена вдоль оси хг и основной вклад в (2.10) вносят производные дУг/дхг и дГг/дхз. В этом случае слагаемые в (2.10) несколько упрощаются -1/3 0 0 0 2/3 0 0 0 -1/3 (пгаг — бгг) = (2.1Ц 0 0 дУгдхз 0 0 0 о 1, о Бч пгвтРг,п агввгРьн (2.12) дУг /дхг 0 0 о Нгг — 2((дУг/дхг) -~- (дСг/дхг) ) О О О 2(дУг/дхг) 20Сг/дхгдУг~дхг О 2дУ~/дх~дУ~/дхг 2(дУг/дхг) (2.13) Видно, что слагаемое (2.11) вносит вклад только в нормальные компоненты (иг), (и~~) и (из) тензора напряжений Рейнольдса.
Слагаемое (2.12) корректирует компоненту трения (игиз), существенную только в трехмерном случае. Пристеночные слагаемые (2.11) и (2.12) в основном служат для приближенного учета демпфирующего влияния стенки на нормальную к ней пульсациониую компоненту скорости иг. Слагаемое (2.13) изменяет как диагональные компоненты тензора напряжений Рейнольдса, так и (игиз). Это нелинейное слагаемое имеет более сложный физический смысл, чем слагаемые (2.11) и (2.12), и учитывает совместное влияние градиентов средней скорости Д(гг /дхг и дГг/дхз на анизотропию пульсаций. 3. Связь вторичных токов с тензором напряжений Рейнольдса. Может возникнуть сомнение относительно необходимости учета всех компонент тснзора напряжения Рейнольдса для описания рассматриваемого класса течений и, следовательно, использования столь сложной модели (2.10) для определяющих соотношений.
Пля ответа на этот вопрос рассмотрим качественно структуру связи между значениями напряжений Рейнольдса и интенсивностью и видом вторичных течений. Подчоркнем, что главной особенностью рассматриваемых трехмерных течений является наличие интенсивного вторичного течения, характеризуемого компонентами Гг и Уз, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси хы направленной вдоль основного 11.3) Модеаирование турбулентных трехмерных течений 583 потока.
В трехмерных течениях компоненты сьз и сьз скорости вторичного течения на порядок превышают характерные значения поперечных конвективных скоростей некоторых двумерных течений (например, двумерный пограничный слой или струя). Представим вторичные токи в виде суперпозиции вихревого и сдвигового (деформация сдвига) течений. Проанализируем вначале поведение вихревой компоненты вторичных токов на примере течения в трехмерной струе, вытекающей из сопла прямоугольной формы в безграничное пространство. Рассмотрим, пользуясь симметрией потока, четвертую часть поперечного сечения струи.
Окружим это сечение прямоугольным контуром С (о — а- Ь- с). Здесь введены точки: о соответствует центру струи, а, лежит на оси хз в плоскости симметрии вне струи, с --. на оси хз в другой плоскости симметрии, Ь замыкает прямоугольник вне струи. Воспользуемся теоремой Стокса о связи потока вектора вихря чероз поверхность с циркуляцией по контуру, окружающему эту поверхность (3.1) Лля выбранного контура играет роль только одна компонента вектора вихря иь, а именно компонента ьоь по оси хь, равная Иьзз. Здесь ь(Я единичный вектор, направленный вдоль выбранного контура, 1У вектор вторичных токов (сьзь сьз)ь и --- единичный вектор нормали к элементу рассматриваемой поверхности ь1Р.
Направления обхода контура С и нормаль и связаны так, чтобы обход был по часовой стрелке. Если в начальных сечениях струи вторичные токи отсутствуют, то юь — — О. Чтобы эта компонента вихря появилась, а следовательно, появились и вихревые вторичные токи, необходимо, чтобы было отлично от нуля выражение в правой части (3.1). Запишем уравнения движения для поперечной Ььз и трансверсальной Уз компонент скорости, учитывая особенности струйных течений (Р = рььр, р - "давление, р = сопз1 плотность) аь11а дР д(изд) д(изиз) (3. 2) ь11 дхь дхз дхз ~Шь дР д(и из) д(из) (3.3) й дхз дхз дхз Вычислим выражение в правой части (3.1), используя (3.2) и (3.3). После преобразований при отсутствии турбулентности внг струи получим — ~""В = (< )о — ( ) — ~,.,' д . — / д.а' дх (34) Здесь (изз)о и (из.,2)о - - значения нормальных компонент тензора напряжений Рейнольдса на оси струи. Отметим, что соотношения (2.10) на оси свободной струи вдали от среза сопла в силу симметрии дают 584 С.
А. Берн, А. Б. Лебедев, Л. А. Лнгбилов, А. Н. Сенундов ~Гл. (и~~)о — — (и~~)о. Таким образом, в этом случае вторичное течение зависит только от корреляции (игиз). Аналогичный качественный анализ вихревых вторичных токов при течении в трехмерной пристеночной струе и при течении в угле квадратного канала показал, что для них также справедливо заключение о важной роли корреляции (игиз). Рассмотрим теперь чисто доформационную компоненту вторичных течений. Типичным примером двумерного течения с чистой деформацией является соударение двух плоских струй, движущихся навстречу друг другу.
Пля этого течения существует аналитическое решение уравнений Навье — Стокса в критической точке. Направив ось хг по нормали к плоскости течения, имеем: Уг = О, Уг = Кхг, Уз = — Кхз. В этом случае огг = дУг/дхз — д7гз!дхг = О, а инвариант тензора скоростей деформации равен Яг = 0.5Яя„,Яьв, = Кг. Из уравнений (3.2) и (3.3) получается 4К дг Р де Р сР(нег) дг (нг) ед дх, 'дх! дхзг дхг (3.5) При истечении струи из хорошо спрофилированного прямоугольного сопла в начальном сечении Р соцзФ и ьег = Гз = О, т.е. К = О. В этом случае из (3.5) следует, что только нормальные компоненты (игг) и (иД определяют появление сдвиговых вторичных токов (К ф 0). Таким образом, нормальные компоненты тензора напряжений Рейнольдса индуцируют главным образом безвихревое вторичное течение,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
