Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 116
Текст из файла (страница 116)
1. Система уравнений одномерных нестационарных движений газа с конечной скоростью химических реакций в массовых лагранжевых координатах имеет вид ди з др дт дт — +т' — = О, — = ци, — = и, дг дщ ' дтц ' дг др ду т д,З и е з — Е (1.Ц с — = — ~ — ри + Щ~, — = — Идиреиз ехр— д1 дг~ у — 1 д1 ри' Здесь и —. удельный объем, р --давление, и -- скорость газа, т -- эйлсрова координата, д массовая концентрация непрореагировавших *) Изв.
АН СССР. МЖГ. 1969. 1зз 6. С. 52 58. [Гл. 612 В. М. Кроль, Ф. А. Соободиина молекул, у . показатель аднабаты, Е --- энергия активации, «) полное тепловыделение в единице массы газа, т массовая лагран- жева координата, «время, и = 1, 2, 3 соответственно для плоских, цилиндрических и сферических волн, Й, р, и, ««постоянные вели- чины. Для определенности будем считать энергию активации Е и тепло- выделение Ц также постоянными величинами. В [Ц приведены урав- нения и условия автомодельности для более общего случая, когда Е и Ц --.
степенные функции р, о, г и «., однако все численные расчеты относятся к постоянным Е и ьб. Рассмотрим такие движения, когда в начальный момент (« = 0) газ покоится, т.е. и(т, 0) = О, а его удельный объем распределен по степенному закону и(т, 0) = А[г(т, 0)«т (А, 1" = сопз«). Будем считать, что химическая реакция в газовой горючей сме- си, инициируется прохождением ударной волны и что интенсивность волны достаточно велика, чтобы можно было пренебречь давлением перед ней. Будем также пренебрегать энергией, затраченной в началь- ный момент на возбуждение ударной волны. Предположим, что при «> 0 ударная волна поддерживается порш- нем (плоским, цилиндрическим или сферическим), скорость которого и(0, «) задана или известно оказываемое им на газ давление р(0, «). В частном случае, когда и(0, «) = О, будем иметь режим самоподдер- живающейся химической реакции.
Если р(0, «) = О, то около центра образуется пустота. В работе [4) показано, что в случае идеальной сферической детонации (без учета конечной скорости химических ре- акций) пустота образуется в центре при 1 > 3(Т + Ц,«(3у — 1). Рассмотрим автомодельные решения системы (1.1) при высказан- ных выше предположениях. Условия автомодельности в данном слу- чае имеют вид и(0, «) = ио — — сопя«или р(0, «) = ро«до "~, ~ = 1((и — ц).
Введем автомодельные переменные Ъ', Р, Г, Л, «3 и х по формулам и(т, «) = ио««Ъ'(х), р(т, «) = о„~ь)««Р(х), ио = Аф«~, и(т, «) = «,) «с«(х), г(т, «) = «) У «Л(х), «3(т, «) = «3(х), х = т«~ос(д 'о', а = « — и. Тогда система (1.1) примет вид (гцтрих . — дифференцирование по х) Г— (а -Ь 1)ЬзЪ' — ( у — 1)(ах«3~ -Ь «Р«') — (о — 1)Ь~У Л 'ах ах ур(1 — Мо) Р' = — Ьз'ь" — (а + 1)Ь~У[(ах) + (о — 1)1ьзЬзЛ Л =Л ь', Р+Ь(« =О (1.2) ах(3' = — КбоР" («о ехр( — е«(Р ь')), Ь = ахЛ~ ', е = Е)««, К = й«,«оо ", Мз = ЬзЦ(уР). 12.2) Аотомоделснсье течения с кими ьесними реиниилмьь 012 Соотношения между автомодельными переменными на любом сильном разрыве, имеющим автомодельную координату т„могут быть получены непосредственно из системы (1.2) методом, указанным в [5), и имеют вид (индексами 1 и 2 отмечены величины справа и слева от разрыва) т(Ьгр;+ Р,) + [(Ьг~, — ЗР )г -252(1' — 1) р, — дг)) Мг ь'г = ( л 1)52 Рг = Р, -> 5 (1сь — )ьг), Сьг = Сьь — 5( Ссь — )сг), 5 = ат,гт, Дь = Ль = Нг.
Отметим, что (32 ф Дь лишь в предельном детонационном случае. При (22 = ьгь знак плкю перед корнем в (1.3) означает, что разрыв отсутствует, а при рь < )22, как известно из [6), знак плюс перед корнем имеет место в случае принудительного поджигания горючей смеси (со скоростью, большей чем следует из условия ЧЖ). Сформулируем краевую задачу для системы уравнений (1.2). На поршне при к = 0 имеем (1.4) 5ь(0) = иге или Р(0) = Ро.
Обозначив автомодельную координату сильной ударной волны, поджигаюьцей смесь, через ть, запишем условия на ней в виде И = ь Р = (акга~ и), Д = 1, -~ -~-1' з -~-1 (1. 5) 2аяььь " ьуи Величина д = уР(1 — Мг) из (1.2) на ударных волнах меняет знак. В частности, слева и справа от т = ть имеем д(яь — О) = — д(ть + 0) = ( — ах~)~~'. Таким образом, для решения задачи необходимо проинтегрировать систему пяти обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2) при шести граничных условиях (1.4) и (1.5). Дополнительным произволом является координата ть ударной волны.
2. Проведем качественное исследование системы (1.2). Особые точки втой системы при т у: 0 определяются условиями М2 0 ( +1)52)сг ( 1)( оь+ур1с) ( 1)52)сз ьь1 0 (2 1) и принадлежат четырехмерной поверхности в шестимерном пространстве переменных 25 И, В, Р, Г, (2'. Интегральные кривые в малой ее окрестности лежат в двумерной плоскости [2]. Как следует из результатов работы [2)ь систему (1.2) можно записать так, что особенность содержится лишь в одном из уравнений, а правые части остальных уравнений конечны в окрестности особой точки.
Характер особенности находится, как обычно, по коэффициентам линейного разложения правых частей (1.2) в окрестности особой [Гл. 614 В. М. Кроль, Ф. А. Слободиина точки. Уравнение для определения собственных чисел Л1 з в данном случае имеет вид Л,, =о~ ~/Р+., (2. 2) 1)[ 2(а + цб',1'. — (э — цу[Р. — Ь.'1х.) 21 ах.
( д е(Р. — б~'ь'.) аоо +~,-эс[ — ь . — — [л — г -ьь)) [ о. Р,'1 аз Р. ю = — [у+ 1)Ь„1 ['ь; (й — — *) — [и — 1)(ь', Л, й — луб,'ь', Л, )— КД', РУЪ'„о — е ах, Р.'ь'. ' Дз — и 5 2 2 Д1 — за[Д [ 1) ю = — (а+ 1)5'Ъ'[ах.)" + (о — 1)Ь'Ъ" И '. В [2.2) звездочкой отмечены значения всех величин в особой точке.
Различный характер особенностей в зависимости от знаков Ль и Лз и устойчивость течений вблизи особых точек подробно исследованы в [2[. В рассматриваемом случае за ударной волной в силу (1.5) имеем Мз < 1. Интегральные кривые за ударной волной могут либо входить в особенность типа узла с Лз > О и Лз > О, течение в окрестности которого неустойчиво [2[, либо проходить в окрестности особенности типа седла, где Ль > Ои Лз < О. В последнем случае через точку х = х, проходят два решения, причем в силу (1.5) нас интересует решение, вдоль которого величина 1 — М меняет знак с положительного на отрицательный.
Это решение с точки зрения [2[ устойчиво. Из [2.1) видно,что при больших скоростях химических реакций произведение К,Зо конечно в особой точке, и при малых значениях 13 за ударной волной, как следует из (2.2), особенность будет седлом, так как оо — о +со при ф — > О. Условие прохождения решения через седло однозначно определяет положение ударной волны х = хы Поэтому для того чтобы удовлетворить граничному условию (1.4) при х = О, необходимо иметь еще один произвол. Таким произволом может быть либо положоние еще одного разрыва в решении, либо прохождение решения через особенность типа узла с Ль < О и Лз < О, в окрестности которого решение устойчиво [2[.
И в том и в другом случае величина 1 — Мз меняет знак с отрицательного на положительный. Можно показать, что в случае детонационной волны, когда ударная волна и следующая за ней область горения рассматриваются как одна поверхность разрыва, уравнения, описывающие течение за такой 12.2) Аетомоделенеьс течения с химическими реаньеиями 615 волной, могут иметь особенность типа узла. Потому и здесь при больших К можно ожидать появления узловой особой точки между седлом и к=О. Ра.зрыв в решении за седловой особенностькь может возникать и тогда, когда между седлом и х = О имеется особенность типа узла, фокуса и при отсутствии особых точек. Проведенный анализ позволяет построить картину интегральных кривых системы (1.2) прн достаточно больших К. Качественный ход интегральных кривых системы (1.2) в плоскости я, Р изображен на х х х х Рис.
1 рис. 1. Сплошными линиями на нем изображены решения краевой задачи (1.2) "(1.5), соответствующие разным значениям Ре, а штриховыми — интегральные кривые и их участки, не удовлетворяющие краевым условиямДА). Из рис. 1 видно, что решения с величиной Ре > Рл, лежащие выше кривой АВС, содержат только один сильный разрыв, автомодельная координата которого хь > яс зависит от Ре (такого рода решения получены в ~1]). Решения с Ро < Ро < Рл имеют один общий разрыв в точке хь = т„проходят через особую точку (седло) В и претерпевают второй разрыв на интервале (хр, хд), координата которого уже зависит от величины Ро.
Одно единственное решение с Ре = Рл имеет один сильный разрыв в точке яь = х, и один слабый разрыв в точке хь — — хн . На рис. 1 ему соответствует кривая АВС. При Ре < Рсь второй разрыв исчезает за счет прохождения интегральной кривой через узел в точке Г.
Таким образом, еще до выхода на детонационный режим при Ро < Р,ь возникает ситуация, когда параметры ударной волны, инициирующей химическую реакцию, не зависят от условий при х = О. Однако в отличие от идеальной детонации, в которой энергия химической реакции выделяется в бесконечно тонком слое за ударной волной, в рассматриваемом случае независимым от условий в точке х = О оказывается 616 В.Лб. Крооь, Ф.
А. Соободиина целый участок решения на отрезке ~хв, хс), заключенный между особой точкой В и первой ударной волной хс. Следует отметить,что ни на интервале (хв,хс), ни на участке слева за второй ударной волной или за особенностью типа узла не может быть еще одного сильного разрыва. Нетрудно проверить по (1.6), что он оказался бы недопустимым скачком разрежения, так как скачку уплотнения соответствует переход величины 1 — М из облас- 2 ти 1 — Мз ( 0 в область 1 — Мз > О.
При фиксированной величине е = ЕЯ и при К з оо величина хв — хс стремится к нулю, т.е. точки хв и хс сближаются и в пределе конфигурация, состоящая из особой точки хв и ударной волны в точке х = хс, переходит в один детонационный разрыв (1.3) с величиной Дз = 0 и автомодельной координатой ~2(7' — 1)) да а В обратном предельном случае при К ь 0 (при фиксированной величине е) координата особой точки хв может "уходить" из области х > 0 при некотором К = К*(е, р, п, о, у, и) ), и все режимы с К ( К* окажутся "пересжатыми", т.е.
не имеют разрыва, не зависящего от условий при х = О. Численные расчеты уравнений (1.2) с краевыми условиями (1.4) и (1об) подтверждают проведенный качественный анализ. Одно из решений с двумя разрывами приведено на рис. 2, где выбрано р = 2, 0.5 05 т 0.25 Рис. 2 п=1, д=О, и=3, у=о/3, е=О, К=10и Го — — О.Взтомрешении координата особой точки хв = 0.32, а координата второго разрыва х„= 0.30. Нетрудно заметить, что система (1.2), описывающая автомодельные движения газа с учетом конечной скорости химических реакций, 12.2] Аотомоделонеге течения е кими геекими реакциями 617 с точностью до постоянных множителей и переменного экспоненциального множителя для концентрации нспрореагировавших молекул аналогична автомодельным уравнениям, описывающим движения газа, нагреваемого излучением [3, 5].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
