Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 96
Текст из файла (страница 96)
17. 9 87) ламннавный поггаиичный слой в оицвм слтчаи 849 К чнсленяому интегрированию сводится и несколько более общая нензотермнческая задача; отличающаяся от предыдущей тем, что температура стенки не постоянна, а является также степенной функцией абсциссы х Т = Т +Ахи Следует отметить, что опыты хорошо подтверждают результаты теоретического расчета теплоотдачи. 9 87. Лимииарный пограничный слой в общем случае задания скорости внешнего потоки.
Применение уравнении импульсов для приближенного расчета ламинарного пограничного слоя Согласно (66), уравнения (66) изотермического ламинарного пограничного слоя можно переписать в размерной форме так: ди ди дП дьи и — +и — =Ц вЂ” +т —, ~ ди дп (89) — + — = О. дх ду В общем случае задания У(х), как некоторой произвольной функция, уравнения в частных производных (89) ие могут быть сведены к обыкновенному.
Существующие методы интегрирования уравнений (89), основанные на разложении 1У(х) в степенкой ряд и разыскания неизвестных функций и и о также в виде степенных рядов,я сложны с вычислительной стороны н мало точны. В последнее время широкое практическое применение получили приближенные методы, сводвщне решение общей задачи к вычислению простых квадратур. Изложению этих методов и посвяп1ен настоящий параграф.
Начнем с вывода основного уравнения количеств движении иля „уравнения импульсов", как принято его называть. Пользуясь вторыв1 уравнением системы (89), преобразуем систему ' виду: — (и"1+ — ( и)= У вЂ” + д д дьГ дти дх ду дх дут ' дх (ГГ") + д (~ ) = " д д д ИУ после чего вычтем почленно обе части первого уравнения преобразованной системы из второго; тогда будем иметьс д д сЖ дти дх — 1и (ЕУ вЂ” и)) +. — (о (У вЂ” и)) + (У вЂ” и) — = — т —, . ду дх дут 1 А, г а ие апб Ч у а!й пег, АКС й й М гй 1408 (1931).
См. также .Современное состояние гидроазродянамякв вязкой жвдкостн", т. 11, ИЛ, Москва 1943, стр. 313. з Обзор методов этого рода см. Л. Г. Лойцянскнй, Азродннамака пограничного слоя. 1 остехяздат, 1941, стр. 131, а также „Современное состояние гвдроазродннамнкн вязкой жнакосгн, т. 1, ИЛ, 1943. (гл. чш ббо динамика вязкой жидкостн н ГАВА Проинтегрируем обе части полученного уравнения по у в пределах от нуля до со или до некоторой конечной величины, принимаемой с той степенью условности, о которой уже была речь в предыдущих параграфах, за меру „толщины" пограничного слоя.
В последнем случае точные условия аси.илтотичесиого стремления и(х, у) к У(х): ди при у -+ оо и -+ И(х), -ь- -ь О, У заменяются приближенными: ди прн у=3(х) и==У(х), ч-=О. д г ( )е "у+г" ( «))а ае + е +й~( — ) у= — ф~ а Испольвуем граничные условия и заметим, что прп существовании интеграла с бесконечным верхням пределом будет: «О ««« — (и~У вЂ” и)"»бу= й ) иЯ вЂ” и)йу; д и (' 6 е точно так же в случае переменного конечного верхнего предела б(х): е (т 4(т — »и((У вЂ” и)] 0у = — „е ! и (ь«' — и) бу — !««(««' — и)» ° — „ д ! е «!а е 0 «!» = — ) и(У вЂ” и) е»у. «гх е Таким образом, будем иметь: «О,е ч«,  —" ~ и Я вЂ” ) Ьу+ — "„„~ ((У вЂ” ) бу = Я 6 о (90) Введем условные „толщины" пограничного слоги „толщину вытеснения" йе-~ (» — — ")бу е Производя в том илн другом предположеннн указанное интегрирование, будем нметек 87) ламнньвный пограничный слой в ОБщем слгчан 651 и „толщину потери импульса" 1 иг и1 0 и вспомним, что по определению напряженна трения на стенке т: Уравнение (90) преобрззовывается к виду — (изб*.>+ Н вЂ” й"-— й „, й11 тм Лх их р нли, после раскрытия производной, — + — (2й""+ й*) = — ".
л й ах ц ро* (91) Уравнение (91) представляет основное интегральное соотношение теории пограничного слоя и называется „уравнением импульсов". Уравнению импульсов придают еще форму дз" йв** 'сч, + — р — (2+Н) = — ", где под Н понимают отношение: (91') с параметром 1, равным йзг Легко проверить, чье это семейство профилей творяет ранее указанным граничным условиям 192'1 скорости уловле- ди ~- —— О, У при у=О и=О, при у=й и=У, ав Н= —. Зва * Уравнения (91) нли (91') могли бы быть получены непосредсгвенно из теоремы количеств движения «георемы импульсов), пряменеинон к объему впщкости, заключенному между двумя бесконечно близкими снежными сечениями пограничного слоя, чем н объясняется наименование этих уравненяй. В 1921 г. Карман и Польгаузен предложили приближенный метод интегрирования уравнении ламвнарнаго пограничного слои, основанный на использовании уравнения импульсов.
Идея метода заключается в следующем. Заменим неизвестные действительные профили скоростей и (х, у) в сечениях пограничного слоя семейством парабол четвертой степени [гл. ип ДННАМИКА ВЯЗКОЙ ЖНДКОСТЫ Н ГАЗА н, кроме того, еще двум дополнительным условиям; дти ШР прн у=О ду' Ри прн у= 3 - — „=О, — = 0,3000 — 0,008338Л, ачв — = 0,1175 — 0,001058Л вЂ” 0,0001102ЛЯ, кроме того, д~ и В Вьа 12+ Л =иь 6 * Подставляя полученные значения 3А, 3 ' н т,/рЮ в уравнение (91), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для определения Л: дЛ У' .
Ож — = — д(Л)+ —, л(Л), (93) где функции 8(Л) и Ь(Л) определяются равенствами; Л вЂ” 7257'6 !336,32Л+ 37,92ЛЯ+ 08АА 213,12 — 5,76Л вЂ” Лт 213,12Л-1,92ЛЯ-ОЗА 1 21 3,12 — 5,76Л вЂ” Лт [ (93') Определив по (93) Л(х), тем самым найдем и 3(х), после чего станут нзвестнымк профнлн скоростей (92) во всех сечениях погртннчного слоя, тренне на стенке тм н толщины" 3в, 3вв. К сожалению, метод Польгаузена оказывается крайне сложным с вычислительной стороны, так как требует приближенного внтегрировання нелинейного уравнения (93) с особыми точкамн прн У=О н У'=О.
Кроме того, н это наиболее существенно„метод оказывается неприменимым к исследованию пограничного слоя при замедленном движеннн нз которых первое непосредственно вытекает нз первого уравнения системы (89), а второе требует„чтобы соприкасание кривых семейства И с прямой — = 1 прн у = 3 было второго порядка. Рассматривая пара- 17 метр Л, нлн, тем самым, по (92') 3, как невзвестную функцию х, Аюжем эту неизвестную определить, пользуясь уравнением импульсов (91).
Для этого достаточно подставнть многочленное представление скорости (92) в выражения 3" н 3в" н вычислить этн „толщнны"; простое ннтегрнрованне многочленов дает: 9 87) ллминлгный поп'лннчный слой в овцвм слячлв 553 во внешнем потоке, например, в кормовой части крылоного профиля, если слой близок к предотрывному своему состоянию илн отрывается. ' О точности метода Польгаузена в областях, где метод допустим к использованию, можно судить на основании следующего простейшего примера его применения к продольному обтеканию пластинки. В этом случае Х = О, так как В7= У , 1У' = О; подставляя значения: Вг*= О 11758 Ъ вЂ” у 1 а $~ а яъа со непосредственно в уравнение (91), в котором второй член в левой части пропадет, будем иметь: О 1175 — = —.
ва 2» ях $~ Ь' Уравнение легко интегрируется и дает: В = 5,83 т77 — ", Вч = О,ЗВ = 1,75 ъà —", В ' =0,11753=0,685 в~ —, и —,~ си= 0,343 х Что касается формулы для толщины слон В, то она имеет чисто вспомогательный и условный характер; остальные результаты допускают сравнение с точныии формулами $85. Приведем сравнение числовых коэффициентов в этих формулах (табл. 18). В настоящее время разработаны значительно более простые и вместе с тем вполне приемлемые для практики методы расчета пограничного слоя, основанные на применении преобразованного уравнения импульсов Коэффициенты Точный Приближенный 1„72 0,664 0,332 1,76 0,688 0,343 и более близкого к действительности, но также однопараметрического семейства профилей скорости. а т Подробное язложегше метода Поаьгаузева с критикой недостатков и иллюстрацией примеров непрвмеиимосгя метода можно найти в ранее пнтврованвой нашей монография „Азродвнамяка пограничного слоя, стр.
170 — 189. Л. Г. Л о йця в с к и й, Приближенный метод расчета ламяварного пограничного слоя на крыле. Доклады АН СССР, т. ХХХ17, М 8, 1942; Н. Е. Кочин и Л. Г. Лойцянскяй, Об одном приближенном методе расчета лаиинариого пограннчлго слоя. Доклаяы АН СССР, т. ХХХ171, М 9, 1942. динлмикл вязкой жидкости и глзл (гл. тш Предположим, что семейство профилей скорости в сечениях пограничного слоя задано функцией =о( — 1 Л)1 ае „. Ьче „.
е ч и а- Н 3У 6 я о чэ (Л) На где Не, Нлк и о — некоторые функции Л, зависящие от вида функции э~+; Л). Подставляя эти значения йч, аль и — в уравнение импульсов (91) гг)3 э получим вновь уравнение (93), с той лишь разницей, что входящие в него функции н(Л) и Ь(Л) будут представлять следующую явную зависимость от Не, Н*" и Лн 1 Ь вЂ” (2НФФ+ Нч) л 2 — ЛН""е я(Л) = „, й(Л)= Л вЂ” + — Нвь лЛ 2 Л вЂ” +-~ Н*л еЛ 2 Введем геперь в рассмотрение две новые функции Л: ~=ЛН*'"' и Р'=2Н"е(А — Л(2Н*"+Н')), связанные с л'(Л) и Ь(Л) простыми соотношениями: д(Л) =, й(Л) = —; Р' 1. Ч' лЛ ЙЛ тогда уравнение (93) может быть переписано так: лл грн и у лх и лу +гл цг' чЛ чЛ Умножая обе части этого уравнения на —, получим обыкновенное ну дифференциальное уравнение первого порядка (95) (94) относительно неизвестной функпли: Нчат ЛФФ НГ$4:гя ~= ЛНе*а= —.— =— ч Эт ч удовлетворяющей тем или другим граничным условиям и имеющей в качестве параметра величину Л, определенную равенством (92').
Используя эту функцию, убедимся, что вообще: 556 (гл. тщ динамикА Вязкой жидкости и ГАВА Далее заметим, что напряжение трения может быть представлено каь ( д ~~к) ~ д~У) в о причем квадратная скобка представляет также функцию одного у. Обозначая зту функцию через Ц1), получим: После этого, умножая обе части уравнения (91'), переписанного в виде лаэч ц/аээ М вЂ” + ~ (2+ Н(У)) = ~, ЦУ).
11зеч на 2 —, будем иметы 2 — — + 2 — (2+ Н Щ = 2Щ или Нлл( —.у) =2Г® — 2 —,(2+НИ! И /СЧ*е~ 1 ив ' гввеея Отсюда сразу видно, что, если положить — =у, то последнее уравнение перейдет в уравнение (95); прн этом также получается и формула (97') для РЯ. й 88.
Способы определения функций ~ Щ, Н(у) н гчЩ. Приближенный метод расчета ламниариого пограничного слоя Для определения функций с(Г), н(Д и Р(Г) следует задаться семейством профилей скорости, в той илн другой степени апрокснмирующнм скорости в сечениях йограничного слоя. Так, если вернуться к семейству профилей скорости (92), то функции чф, Н(у) н Р(~) определятся для польгаузеновского приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
