Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Как показывают непосредственные измерения, пограничный слой прн тех больших значениях чисел Рейнольдса, с которыми приходится иметь дело на практике, очень тонок. Возрастая по толпшне от носка крыла к его хвосту, пограничный слой (скс рис. 164, где граница пограничного слоя показана пунктиром, причем размеры пограничного слоя для наглядности сильно преувеличены и совсем не соответствуют масштабу тела даже в точке максимальной толщины вблизи хвоста крыла) достигает обычно лишь порядка сотых частей хорды. Так, на крыле самолета с хордой 1,5 — 2 ж пограничный слой на режиме максимальной скорости имеет порядок нескольких сантиметров. На корабле, длина которого имеет порядок 100 м, „спутный поток" может достигать толщины 1 я. Если попытаться вычертить в одном и том же линейном масштабе крыло и пограничный слой на нем, то на участке поверхноети крыла от носика до точки минимума давления граница пограничного слоя практически сольется с поверхностью крыла и только вблизи хвостика заметно отойдет от нее.
Чтобы сделать картину движения в пограничном слое сравнимой по масштабу с внешним потоком, можно применить аналорфоэу, сохраняя для продольных длин тот же масштаб, что и для тела, например, 522 динамика вязкой жгщкости и ГАВА [гл. чпг взяв для этого за масштаб хорду крыла, для поперечных же размеров, перпендикулярных к поверхности крыла, принять аа масштаб специальную убывающую с числом Рейиольдса длину, закон убывания которой должен быть найден из рассмотренна уравнений движения вязкой жидкости. То же относится и к скорое~ям. Продош ные, параллельные поверхности тела скорости имеюг тот же порядок, что и скорости внешнего потенциального потока, достигаемые вблизи внешней границы пограничного слоя.
Поэтому за масштаб продольных скоростей можно припать хотя бы скорость набегающего потока Совершенно иначе обстоит дело с цоиеречнычи, нормальными к поверхности тела скоростями. В тонком пограничноч слое, в силу непроницаемости поверхносги тела, поперечные скорости ~ак ке чалы по сравнению с продольными скоростями, как поперечные размеры слоя по сравнению с продольными. Желая, скажем, на одном графике показать кривые продольных и поперечных скоростей, придется для последних принять особый масштаб, убывающий вместе с толщиной пограничного слоя при возрастании рейнольдсова числа.
Оговоримы, что в приведенном рассуждении терминам „толщина" и „внешняя граница" пограничного слоя не придается определенного геометрического количественного смысла. Зги понятии имеют лишь качественный смысл, как характеристики порядка поперечного размера области, где скорости от нулевого значения на стенке изчеияются до величин порядка скоростей внешнего потока. Так, например, под толщиной" пограничного слоя чожно подразумевать такое расстояние от стенки, на котором скорость будет отличаться ог скоросги внешнего погока на 1'Че. Во избежание дальнейших недоразумений следуег подчеркнун, что граница пограничного слон нс совпадает с линиеи тока жидкости.
Как видно из рис. 164, линии тока входят в область пограничного слоя, пересекаясь с его границей. Вопрос о харакгере смыкания ~ечения в пограничном слое и во внешнем потенциальном потоке будег далее количественно уточнен. Установим систему уравнений плоского с~ационарного движения вязкого сжичаемого газа в пограничном слое на цилиндрическом теле, имеющем плавную крыловую форму Такой пограничный слой, движение жидких частиц в котороч ичее| упорядоченный характер, в отличие от турбулентного (см. следующую главу) называется лаагинирныаг.
Условимся обозначать через х, у и и, о (рис. 164) соответственно продольные и поперечные координаты и составляющие скорое ги в области пограничного слои. Координаты х и у на самом деле криво- линейны, но при малом значении отношения толщины пограничного слои к радиусу кривизны поверхности обтекаемого гела, имеющеч кесто на профиляч типа крыловых, кожно в уравнениях движения пренебречь дополнительными членами, характерными для уравнениИ з криволинейных координатах, и пользовагься координатами х, у каь обычными прямолинейными декартовыми координагачи. а 84) УРАВНВННЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 828 При принятом условии стационариостн уравнения плоского движения при отсутствии объемных сил приводяг к замкнутой системе уравнений 1вспомнить систему (74) 8 77)1 ди ди др 4 д / ди~ 2 д г дох 1 дх ду дх+ 3 дх1, дх) 3 дх 1, ду)+ — + — =О дси дяо дх ду ди 2 до1 д Г».
вя слч Ро + ри — + Ро г+ + ду 3 ду) ду ! д»1 ие 4 ота до 2 ди1 — 1с — 1 — + — + — — ) — ри — + — ао — 1=0, ду1е 2 3 2) дх 3' дх) <8О) ЬУ ди г„к,,*г' ди 1 8 Гге др 4, 1г д ди дх ' У ду 2» дх+3»т дх~ дх) Е1одобно тому, как зто было сделано в 2 78, перейдем к безразмерной форме этих уравнений, выражая все величины в некоторых характерных для них масштабах, но только в яастоягцеы случае примем во внимание ранее приведенные соображения о риаличии е иогриничном слое масштабов продольных и поперечных координат и «коро«тай. Поэтому сохраним для х и а масштабы: » (какой-то характерный для обтекаемого тела размер, например хорда крыла) и К„ Гскорость набегающего потока), а для у н о примем свои, пока еще не определенные масштабы У и К Сохраняя остальные обозначения, как в $78, и не меняя обозначений длн безразмерных величин, будем иметь: 1гл.
гпп 524 динамика вязкой жидкости н газа З $~ Р дв р,~Ре дю 1 г )г;одр и К д р ди; дх+ 1" ' ду 2 У ду+ 1У дх ~,' ду3+ З К.дб ) а.Гд(зо) дх г' да " "— + —" — =о 1 дГ „иг ег1 — р К.ри ~ г' ю+ р- — + О-~-~— 1дх~ ~ 2 Е„К Ь' ди 2 П„Ы Г" дю1 — рп — + — "" ри — "+ 1 ду З 1 ду) + ~ — 1р \гро(г 1+ Ф' — +юг — )— и 1" Ь' дю 2п $" Ь' ди1 — — 1ги — +- — р, — 1=1) Х дх 3 1 дх) р, Р - -1- — ю' 1 г р и 1 2 З'ч — р где, напоминаем, р, и, и, 1, р, х, у, р — безразмерные величины, Р Р, а р = представляет известный из предыдуп1его коэффи= 1 1;г циент давлений. Разделим теперь обе части первых трех уравнений на постоянные коэффициенты при первых членах в левой части, обе части четвер- ЄЄㄠтого — на выражение —, и заметим еще, как и ранее в 2 78, что: р 1 1 1 р в й~„ р„Ь„ИИг ' Ь„- Р-1)д1г ' 3 84) кььвнзния Льмннавного пож ьничного слоя тогда будем иметь следующую систему уравнений1 ди И ди 1 др 4 1 д, диь ри — + — р — =-- — +- — — 'р —— дх ГР' ду 2 ох 3 и дх~ дх~ гг 1 д дю де 1Р дз 1 Л: др 1 1'г' д у ди1 дх+Л' Р ду 2 УУ ду ) й Л~ дх~~ду/ + — — ( — )+- — ~=) — ~ — )- 1ддо41тзддо 2 1 П' д ди -- — — ~ — ) ЗЯ г=г ду дх — + — — =- О д (ри) Л' д (ро) дх хм ду 1бо') — ри 1+ 1й — 1)Мз — + —— 1 Л' з l ди 2 дв1 К УЪ' ду 3 ду~ + — — — ро 1+(й — 1)М, — + —— 1 1дг1 Гиз 4 Рз Л11 — — р — ' — +(д — 1) М.„' — + — — -" Я 1' ду~а Р 3 $Ф 2И 1 а 1' г дю 2 ди~~ — — (з — 1)М,,— ри — — -ро — ) =О, д 3 2 р = —,(1р — 1), АМ„' Приведя, таким образом, уравнения плоского стационарного движения вязкого сжимаемого газа к безраамерному виду, допустим, что анзморфоза, о которой шла речь в начале вывода, действительно возможна: иными словами, допустим, что выбором разных маштабов для размерных продольных и иоиаречимх длин и скоростей в пограничном слое можно добиться конечиосльи всех входящих в уравнения (60') линьмикь вязкой 1кидкости н ГАВА ~гл.
ччп безразмерных величин и их безразмерных производных, как бы ии стало велико рейнольдсоао число 1т . Обращаясь прежде всего к безразмерному уравнению непрерывности (третьему уравнению предыдущей системы), видим, что для итого следует произвольные пока масштабы г и Р подчинить условию: — =сопз1+ О~ — ), Л/ Гр [,й„ после чего из первого уравнения системы будет следовать необхо- димость равенства: — ( 1,) = сопз1+ О~ — ), так как в противном случае из уравнения продольного движения в пограничном слое совершенно исчезне~ влияние вязкости. Выбирая в двух предыдущих равенствах константы равными единицам, положим, чтобы удовлетворить обоим равенствам: (61) Отсюда следует закон убывания масштабов толщин и поперечных скоростей в пограничном слое: с возрастанием рейнольдсоеа числа поперечные размеры и скорости е пограничном слое изменяются обратно пропорпионально корню квадратному из рейнольдсоеа числа.
Зто соотношение прекрасно подтверждается опытом. Обращаясь ко вгорому уравнению системы (60'), легко убедимся, что, в силу (61), (62) откуда вытекает второе важное свойство пограничного слоя: при больших значениях рейнольдсоза числа можно пренебрегать поперечным изменением давления е пограничном слое. Давление во всех точках поперечного сечения пограничного слоя одно и то же и может изменяться лишь при переходе от сечения к сечению; следовательно, в плоском стационарном слое (62') р =р(х). Иначе говоря, давление внешнего потока передается склизь пограничный слой без изменения. Зтот важный физический факт разъясняет, почему распределение давлений, рассчитанное по теории безвихревого движения идеального газа, хорошо совпадает с действительно наблюдаемым на опыте прн плавном обтекании тез. Некоторое расхождение теоретического н экспериментального распределений давлений М 541 тяявнзния л~мипляно1о пощлничного слоя 527 имеющее место в кормовой части обгекаемого тела, объясняется обратным влиянием сравнительно толстого вблизи кормы пограничного слоя на внешний поток (см.
далее ф 100). Выведенное только что свойство распределения давлений в потоке вязкой жидкости при больших значениях рейнольдсова числа объясняет также происхождение наблюдаемого иногда явления ошрыаа пограничного слоя с поверхности обтекаемого тела. В кормовой области цилиндрического крыла вниз по течению за точ- др кой минимума давления происходит возрастание даваения и — )О; дх при этом жидкость движется из области меньшего давления в область большего давления против подтормаживающего влияния перепада давлений.
Если бы поток был идеален и скорость на поверхности крыла не равнялась нулю, то запас кинетической энергии жидкости оказался бы достаточным для преодоления укаынного гормозящего влияния поля давлений. ~Я=) Рис. 165. В пограничном слое поле давлений по предыдущему мало отличается от поля давлений з идеальной жидкости, иекду гем, вблизи поверхности крыла скорости, а следовательно, и кинетическая энергия частиц жядкости ничтожны. Торможение жидкости вызывает остановку, а далее и попятное (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
