Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Подставляя выражения (41) в уравнения (33) и (39) и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим: ~ч~ (Лв+ (1 — й) Ла! г = А, в~г ч ((2 — й)Ля+2Ла!г =О. В силу произвольности величины г будем иметь при в = 1: Лг=А, Л,+2Лг=О, 1 1 Лт= — лЛ = — — А 2 Ла-!-(1 — й) Ла'=О, ~ (2 — й) Ла+2Ль= О. ~ Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля, только при равенстве нулю определителя системы 2 — (1 — й) (2 — й) = О.
Корни этого уравнения: и= 0 н й = 3, причем первый отбрасывается, так как й) 1 Отсюда следует равенство 1 Л,'- .Л,; все остальные Л„и Ль тождественно равны нулю. Возвращаясь теперь к (41), составляем общие выражения скоростей: Рг ~Кю+ + ) соа О~ га ( — У вЂ” -2-+ — ) я!в ч А Лат 2- 2~ подчиняя которые граничным условиям (40), получим следующие два уравнения для определения коэффициентов А и Ла: А Ла — -3- — = $~ а + ве — — +~.-.~ 17 . А Ла 3 1 А= — -я-аКю, Ла =-уааКх, 1гл.' еп1 йнньмикл вязкой жидкости и гааА после чего окончательно получим: (41') Остается найти распределение давления в потоке и трение на поверхности шара, а затеи и полное сопротивление шара Из первого уравнения (34) имеем нгадр = — р.го1Й илн в сферических координатах: др 1 д сев 6 — = — Р—.
— (й я)п 6) = 31ва)г дг = .щЕ да гв 1 др 1 д 3 Б1ае — = п — -(г~) = — — ра)'— г де гдг 2 ' гв Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегрируется и дает искомое выражение р 3 сове р = — ра1г — „+р (42) или, составляя по предыдущему коэффициент давления р — р Зр. сове 6 сов 6 1,а чУ а (г1а)в К (г1а)в' 2 г""' (42) где под К подразумевается характерное для обтекания шара число Рейнольаса (д = 2а — диаметр шара): рггн Рд й а у Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на бесконечности: 1г созб и — )г впб, получим составляющие „скорости возмущения" шаром безграничной вязкой жидкости ~3 а 1(а)~1 ~3 а+ 1(аД Подчеркнем, что, в отличие от обтекания шара идеальной жидкостью, где порядок этих скоростей возмущении (вспомнить $ 64) был —,,„, 1 в вязкой жидкости имеет место горавдо более сильное возмущение, 1 убывающее при удалении от ивара лишь как —.
г Распределение завихренности определится по (87) в виде 3 в1пе И = — — а1г —. 2 гв' й 80) ОБТВКАНИВ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА 501 Отметим некоторые характерные отличия обтекания шара ввзкой жидкостью от обтекания его идеальной жидкосгью: 1) в идеальной жидкости коэффициент давления зависит только от относительного положения точки, в которой давление определяется, и не зависит от величины тела, скорости и плотности жидкости; в вязкой жидкости коэффициент давления является функцией числа Рейнольдса обтекания, т. е.
зависит от размера тела, от скорости, плотности и вязкости жидкости, 2) распределение давления по поверхности шара, согласна (42), не симметрично относительно миделевой плоскости, так что главный вектор сил давления при обтекании шара вязкой жидкостью отличен от нуля. Касательная составлаощая напряжения трения на поверхности шара ры будет равна Взяв на поверхности шара поясок (на рис. 188 показанный.
штриховкой) с площадью 2яаз1пй-асй1= — 2яаяз1пйсй), умножвм на эту площадь напрюкение трения р„,, и давление р; полученные таким образом элементарные силы спроектируем на ось Ок и просуммируем по всей поверхности шара (от 0=0 до О=я). Тогда получим силу сопротивления йг в виде к (Р = ~ ( — р,чз1п9 — рсояб) ° 2яаэз1пйМ= о Е =Зяра$~ ) жпйдб=бяра1г . (43) о Это — известная формула Стокса. Получив искомое решение, оценим порядок откинутого нелинейного члена р(Ч ° 7)Ч по сравнению с сохраненными членами справа, в частности с членом рго1й, так как Кгабр равен ему по величине, Имеем ( алак пропорциональности) р ~(ч-7) ч! р$~~ а рь;"„яа и ~ го10 ~ а.
Рп она~, причем коэффициент пропЬрциональности представляет некоторую функцию безразмерных величин г/а и 6. Из приведенного соотношения видно, что роль нелинейного члена — конвективного ускорения — тем меньше, чем меньше число Рейнольдса обтекания. Полученное решение оказывается пригодным лишь дла достаточно малых чисел Я Количественная стррона этого вопроса будет сейчас выяснена, 502 динамика вязкой жидкости и газа Более точная теория Озеена — Гольдштейна дает вместо (43') разложение в ряд по степеням малого параметра Й с = — ~1+ — К вЂ” — К + ° ) (43') 24 с 3 !9 з й ~ 1б 1280 Сохраняя первый член ряда, получим решение Стокса; два члена дают формулу Озеена с = 24 ~1+Да ).
(43"') Чтобы дать представление о порядке совпадения этих теоретических формул с опьпными данными н, вместе с тем, чтобы выяснить диапазон значений числа К, для которого допустимо пользование формулами (43") и (43'"), приводим табл. 13. Таблица 13 Из этой таблицы видно, что формулу Стокса можно применять только в случае очень малых значений чисел Рейнольдса (й ((1) (пыль в воздухе, мелкие шарики в масле и др.).
В настоящее время хорошо изучены стационарное и нестационарное движения шара, эллипсонда и других тел как в неограниченной, так и в ограниченной жидкости, а также вращательные их движения при малых значеннах числа Рейнольдса.' т Саь, например, %'. М611ег, 31вйшгаай 1а бег ТЬеог1е бег гййеа р)даЗ13иейеп. 1,е1ра13, 193Д Заметим, что только что приведенное рассуждение применимо и для любых других движений. Можно вообще утверждать, что число 11 служит мерой сравнительной роли инерционных и вязкостных членов в уравнениях движения. Чем меньше число й, тем больше роль сил вязкости в рассматриваемом движении. Переходя з формуле (43) от силы сопротивления к коэффициенту сопротивления с, будем иметьс Гг бева$~, 24 (43') — -~.а1'„.я' к йц вихэввые линии в идеальной и вязкой жидкости 503 Значительный практический интерес представляет рассмотрение вращательных движений пилиндра в цилиндре и сферы в сфере, когда малый зазор между ними заполнен вязкой жидкостью.
Эти движения лежат з основе гидродинамической теории смазки подшипников, основоположником которой по праву считается знаменитый русский ученый и инженер Н. П. Петров. Рассмотрение этой теории, однако, представляет самостоятельный интерес и не может найти место з настоящем курсе.' В заключение настоящего парагРафа подчеркнем важный для дальнейшего факт.
Вязкая жидкость оказывает дзюкущемуся в ней поступательно, равномерно и прямолинейно шару сопротивление, следовательно, для продвижения шара в вязкой жидкости необходимо непрерывно совершать работу, которая идет на создание возмущений в покоящейся жидкости. В отличие от идеальной жидкости кинетическая энергия этих возмущений угасает, рассеиваетсв, превращаясь, благодаря наличию сил внутреннего трения, в тепло. Вот почему при движении шара в вязкой жидкости уже не справедлив парадокс Даламбера.
Аналогичное явление имеет место и цри равномерном и прямолинейном движении вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Если бы жидкость была идеальна, то для поддержания равномерного и прямолинейного движения не надо было бы затрачивать энергии. При наличии вязкости необходимо непрерывно сообщать жидкости энергию в виде, например, перепада давления; эта энергия будет рассеиваться (диссипироваться) в жидкости, превращаясь в тепло. Подсчет количества диссипирозаниой энергии при заданном движении вязкой жидкости будет приведен в одном из следующих параграф в.
й 81. Вяхревые линии в ндеильной и вязкой жидкости. Сохрзняемость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения. Диффузия вихри в вязкой жидкости Ограничиваясь для простоты случаем несжимаемой жидкости, сравним между собою поведение вихревых линий в потоке идеальной и вязкой жидкостей. Вообразим, что в некоторый момент времени в движущейся жидкости существует вихревая линия (1, 1) (рис. 159), т. е. векторная линия вектора Й=го$Ч, и рассмотрим жидкую линию (П, 11), образованную в момент 1+И теми же жидкимн частицами, что н линия (1, 1) в момент Д ' Если жидкая линия (И, 11), представляющая новое положение вихревой линии (1, 1) к моменту времени 1+ гИ, является также вихревой линией, т.
е. векторной линией вектора-вихря Я', отличающегося от вектора лл на соответствующее индивидуальное изменение вектора- 1 Некоторое представление об втой теории можно получить, ознакомившись с й 27 части второй курса Ки,"беля, Кочина 'и Розе. язл. (946 г.
504 динамика вязкой жидкости н глзь (гл, тш (О Рис. 159 нли, замечай, что по условию (Х вЂ” произвольный бесконечно малый скаляр)г ММ =1ьг, ММ' ='т'дг, МгМг (т'+ (Ж ° 7) т'1 г(г, получим Л4'М,'=1а ~-Рйа+1(а.Р)11да — Чдс=Ца+(а-Р)вайс). Вспомним теперь указанное еще в гл. 111 уравнение (15) Гельмгольца — Фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости принимает упрощенную Форму: дй — =ф ° т)7. ат Тогда предыдущее равенство принимает внд: ММг =й~(1+ аг д) 1~ э вихря за тот же промежуток времени, то будем говорить, что вихревая линия сохраннетен, в противном случае — что она разруигаетсн. Выясним, при каких условиях имеет место сохраняемость вихревых нй.
Докакемпрежде всего теорему Гельмгольца: вдвижуи(ейсн лод действием консервативных обьемных сил идеальной несжимаемой (11 (й) жадности вихревые линии еохраннютсн. 9 Рассмотрим лва смежных положения одной и той же жидкой линии (рис. 159): (г, 2) — в момент времени 1 и (П, П)— в момент г+йг; пусть (7, г) представляет ыг вихревую линию, оютветствующую вектору Я = го( Ч. Сравним между собою бесконечно малый „жидкий", т. е. состоящий из определенных частиц жидкости, аг' вектор ММ, и его перемещенное н де- (5) формированное положение М'М,' (прн бесконечно малых перемещениях жидкости с точностью до малых высших порядков прямолинейные отрезки остаются прямолнвейнымн).
Имеем из вектОрного многоугольника ММгМгМ г —,чь, — ь — э., — ь, М Мг =ММг+ МгМг — ММ, я бц вихвввыв линки в идвальной н вязкой яппткостн 505 что и доказывает теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой ливни ~11, П) оказывается направленным по вектору Я', представлюо,кему прнращенный за время Ф вектор Я. Теорема о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости была обобщена А. А. Фркдманом на случай сжимаемого газа.' Рассмотрим теперь ту же вихревую линию (у, у) в несжимаемой, но вязкой жидкости. Прежде всего выведем в случае вязкой несжимаемой жидкости уравнение, аналогичное уравнению Гельмгольца Для этого, взяв основное динамическое уравнение (16') й 77 н предположив объемные силы потенциальными, произведем в аевой его части известное уже нам по гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
