Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 84
Текст из файла (страница 84)
шп будем иметь: р — = Рг+ 201т (РВ) — йтаб(р+- Р, 61т 7). (15) ич 2 Система уравнений (14) значительно упрощается в случае нзотермического движения несжимаемой ващкости. Вынося в первом уравнении системы Р за знак производной, получим: илн, замечая, что в силу уравнения несжимаемости последняя скобка в правой частк обращается в нуль: Р— =РР— — +Р7 и. лл др я дт дх Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем иметь следующую систему уравнений нзотермического движения несжимаемой жидкости: Ип дР— =РР'в — д +Р7 о, 1 де дл — ду (14~) или в векторном виде: дМ Р ~т =РГ бтабр+Р7 т где под символом 7Я7 понимается вектор с проекциями 7ви, 7'ч, 7вте.
Используя легко проверяемое непосредственным дифференцированием векторное соотношение 7Я7 = пгаб бМ У вЂ” го1 го1 7, (16) Стоящие в левой части сисгемы проекции ускорения должны быть известным уже образом разложены на локальные и копеек гнвные части. Основная сложность системы (14), кроме нелинейности конаективных членов, ааключается еще в том„что коэффициент вязкости Р является функцией температуры Т„а распределение температур, в свою очередь, как зто уже известно из динамики идеального газа, зависит ог поля давлений и скоростей.
Система (14) может быть записана в компактной векторной форме, если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл. Н подставить выражение тензора напряжений в форме (11). Тогда, вспоминая ($17 гл. П), что (7 — скалярная функция) П1т (7$) = пгаб 7, й 77) овщив гвавнения движения вязкой жидкости 477 которое в случае несжимаемой жидкости (61чЧ = 0) переписывается в виде: ЧЯЧ = — го1 го1 Ч, будем иметь еще такую векторную форму того же уравнения (16): р — = рг — йгабр — 1хго1го1Ч.
ИЧ пт (16') К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение сохранения массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. П вЂ” ~~+рб1~Ч = Я+ 61~(рЧ) = О, 3ф дх пе зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расче~ вязкость илн нет.
Уравнение баланса энергии (46) той же главы (в 16) преобразуем в случае наличия вязкости, подстанляя в него вместо Р выражение (9) настоящей главы. Предварительно находим: р8Ч (р+ зрбхтЧ)оЧ=2роЧ (р+ зуб'"Ч,) Ч. 2 2 Произведение 5Ч можно раскрыть, составив 1-ую проекцию х= 1 а=т и заключив по последнему выражению, что оЧ = 2 (Ч Ч) Ч+ 2 йтаб (' 2 ~; 1 1 гКх с другой стороны, по известной формуле векторного анализа будем иметь: (Ч ° 7)Ч хнам( — ) — Ч,к,го1Ч, $/х так что ЮЧ йтаб ~ — ~ — Ч Х го1Ч.
тЬ~~ 1 Л2/ 2 Произведем еще в уравнении (45) гл. П замену: .7с Т=ус„Т вЂ” ЙТ=1=", О = Я Р а по (48) гл. П: ,гр,у уб1т(Л втаб Т) = 61ч ( — йтап 1). гЛ (,га (гл. чш дянлмикл вяакой жидкости и глзл Тогда уравнение баланса энергии примет вид: р — (»+ — ) = рр ° Ч + йч ~р йшд ( Ул) — 1лУ „'к, го1 У— е». уел »»»( 2 ) — рУ вЂ” — рУйч У~+ру( — )+б»ч( — йтаб»). Но, согласно уравнению (16); р — ~ — )= — — — — = — + У ° кгабр+рйчЧ= а +йч(рУ), р др р Лр др д К» р, д» р Л» д» д» р — „",(»+ —,-) =рЧ. 8 аб('+ — 2'), или, всь»оминая неоднократно ранее употреблявшуюся формулу вектор- ьюго аналиаа йч (~ра) = о йч а+ а ° цгаб о, р — (»+ — ) = бьчрУ(»+ — )~ — (»+ — ) йч (рУ).
получим Далее, при стационарном движении, согласно уравнению неразрывности (16)." 41ч(рУ)= О, следовательно, 2) ~~ (+ 2)1 Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях отсутствия объемных сил (Г= О) н стационарностн ~ — = О) примет удоб»др д» ный для дальнейших применений вид: 61 ~рУ(»+ — 1 — р нгаб ( — + Уе)— — рго»УХУ+- рУйчУ~ О. (18) 2 следовательно, после простых приведений получим такую окончательную форму уравнения баланса энергии: р — (»'+ — ) =ер ° Ч+ — + ь»». Утт др д» (, 2 ) ' д» +61ч(Рйтаб(чэ1 — 1УХ»о»У — 8 »лЧйчЧ+ — йгаб»~. (17) 2 . х св В дальнейшем удовольствуемся расслютрением преимущественно стационарных движений, причем в таких условиях, когда можно пренебречь влиянием объемных сил.
В этих предположениях уравнение баланса энергии упростится. Действительно, чри стационарном движении 771 Овщие УРАВнениЯ дВижения ВйзкОЙ жидкости 479 В этом уравнении использовано принятое в 8 75 обозначение (5) числа е; число а лля совершенных газов будем считать постоянным. Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение Клапейрона Р =гсТ, Р которое можно переписать в виде р 17 — = — ° зс Т= — 1 Ге р р А' н уравнение (3) в форме: (19) и ~!)ы (йо) го в результате будем иметь общую систему семи уравнений с еелгаю яенавестными: и, о, гл; р, Р, 1, Р. З См.
по этому поводу специальный очерк: „Заметка об условиях на поверхности соприкосновения жидкости с твердым телом*, помещенный в конце второго тома монографяи,Совремеияое состояяне гядроазродияамики вязкой жидкости' (под ред. В. Гольда|тейпа). Гос. Изд. Иностр. В-ры,М., 1948, стр. 356. Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким образом, оказывается замкнутой — число уравнений совпадает с числом неизвестных. Для решения этой, в обгпем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать начальные и граничные условия задачи. Укажеи, что в своей общей постановке вопрос об условиях существования и единственности решения составленной системы уравнений до сих пор не решен.
Соответствующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением, Прн обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкосгью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место н в идеальной жидкости), но также н касательная компонента (условие .прилнпания' жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости по стенке).
В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким образом, равенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой границе или, пря движении тела в жидкости„ совпадение с соответствующими скоростями точек поверхности тела скорости частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое время (еще в середине Х1Х в.) оспаривалось некоторыми исследователями, но в настоящее время подтверждено многочисленными прящямн и косвенными опытами.' Оговоримся, оляако, что в разреженных 480 динлчикл ВязкОЙ жидкосГи и ГАВА [ГЛ. ЧП! газах условие „прнлипания" газа к твердой стенке, не имеет места; в этих условиях наблюдается „скольжение" газа по стенке, которое можно считать пропорциональным производной по нормали к поверхности обтекаемого тела от касательной составляющей скорости.
Не приходияся и говорить о том, что условие „прнлипания" совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах и, вообще, в гех случаях, когда длина свободного пробега молекулы становится велика по сравнению с размерами тела. В этом случае основное значение по сравнению с соударением молекул друг о друга приобретаюг удары молекул о поверхность тела, и предположение о „прилипании" газа к гвердой поверхности теряет всякий смысл.
Впрочем, такого рода .движения" газа выходят уже за рамии механики в узком смысле слова и составляют скорее предмет изучения кинетической теории газов. ' Заметим, что вопросы обгекания тел разреженными газами приобрегают в последнее время практическое значение в связи с полетами реактивных снарядов на больших высотах, где разрежение воздуха очень велико'-. Граничные условия для температуры могут быгь весьма разнообразны. Наиболее часто встречается задание распределения температуры по поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, по которым происходит течение жидкости (газа), а также температуры набегающей жидкости „на бесконечности".
В других слушая задается распределение теплоотдачи, т. е. Секундного количества тепла, проходящего через единицу площади поверхности. Согласно закону Фурье (4), последнее эквивалентно ааданило производной от температуры по направлению нормали к поверхности обтекаемого тела или канала. В такого рода граничных условиях заложено предположение об отсугствии „скачка температур" между обтекаемой стенкой и „прилипающими" частицами жидкости. Эти граничные условия хорошо подтверждаются опытными исследованиями в жидкостях и неразреженных газах (точнее, при малой величине длины свободного пробега молекул по сравнению с размерами обтекаемых тел или каналов).
В случае же разреженных и, особенно, сильно разреженных газов изложенные граничные условия теряют свой смысл. В разреженных газах параллельно со „скольжением" газа образуется „скачок" температур, который, так же как я скорость скольжения, можно принять пропорциональным температурному градиенту в жидкости вблизи стенки. В сильно разреженных газах само понятие температуры (так же как и скорости) нуждается в некотором уточнении, что и делается в кинетической теории газов. В число граничных условий входит еще задание давления в какой- нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном сечении канала илв др. л См. Л.
Ландау я Е. Лифшиц, Механика слшошных сред. Гостехяздат, 1944, стр. 444. л По этому поводу см. две статья Т зяна в сб. статей „Газовая линамяка". Изд. Ивостр. л-ры, 1030, стр. 310 — 357. э уй1 полозив гндводинами«!вских явлений 481 Начальные условия фигурируют лишь в несгационариых задачах и представляют собою задание пространственных распределений скоростей и температур в некоторый „начальный" момент времени.
Прежде чем перейти к иллюстрации характерных особенностей решения уравнений движения неидеальной жидкости, остановимся на важном для практики вопросе об условиях подобия двух движений реальной жидкосгн. й 78. Понятие о подобии гидродинамических явлений.
Безразмерные уравнения движения вязной жидкости и газа. Условия подобия ,!1ва физических явления называют подобными, если величины одного явления могут быть получены из соответствующих величин другого, взятых в сходственных просйранственно-временных гочках, простым умножением на одинаковые для всех точек множители„называемые ковФФициенгиоми гюдобия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
