Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Согласно (97), имеем для элемента длины крыла конечного размаха; йг, =РУ' Гдеып и,='рЪ' Г(а)а,йг, ~Ил =рЪ'„,Гдесозие='РЪ' Г(е)~Кг, где, в отличие от предыдущего параграфа, будем под Й, и А'„пони- мать проекции индуктивного сопротивления н подъемной сияй всего крыла, Заменяя величину Ъ' на Ъг, так как по (101) с точностью до вторых степеней ае: Ъ' =-МЪ" + е=(г 71+ е-.Ъ.„, получим следующие вырвкения элементарных сил: ~Я„= — рГ (е) ое (л) дл, Ия=рг(в) Ъ„дл.
Интегрируя эти дифференциальные выражения вдоль всего отрезка несущей линии ( — 1 -я~1), получим формулы индунтпаноео сопротиеленап и подземной силы крыла: )с„= — р ~ Г(л)ое(а)де, Дя —— рЪ;рэ ) Г(2)дл. (102) ( 04) Подставляя в первую из этих формул значение о (е), согласно равенству (99), получим формулу: +3 +г Р 1 ЛГ йь (103) — $ — В явно выражающую индуктивное сопротивление через распределение циркуляции Г 1ч). Для фактического вычисления интегралов (99), (101), (102) и (103) зададимся распределением циркуляции в виде тригонометрического ряда: Г(б)=4Ъ' 7 ~~А„з1ппб, где угол б связан с переменной по размаху координатой я равенством: я= — 1созб, (О -- б - и — 1.~.л.~.
7). (104') 468 пРостРьнстзвннов БВЗВнхРВВОВ ДВнжьниь [ГЛ. 911 Ясли распределение циркуляции салогетрично относительно начала координат (з = О, 6 = — ~1, то должно быть гг' Г(6) =Г( — 6), а следовательнсс Аз — — Аа= ... =Аз„— — ... — О. Заметим еще, что, согласно распределению (104), значения циркуляции на концах „несущей линии (л= — 1, 6=0) и (з=!, О=я) равны нулю.
ЛГ Вычислим по (104) производную „—,, полагая параллельно с (104') ч = — 1соз6'; будем иметь: — =-а-1 — =4'Р' 1 ВА созл6' ° — = лГ ИГ. Ф6 ъ~ еС Ж 1 в6 ' гзп16' Ф 1 ="-Х - — ".,'."6'-. ( ) в 1 Подставляя это выражение в формулу (99), получим выражение индуктивной скорости: ь о,(6) !',, в Н6 = К 1' ъ1 ВА„созна' в, соз зг — соз 6 О в=1 СО ь в=1 Р Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего „главного значения" и равен соз п6', ввз1п из сов 6' — сов 6 з1п 6 о так что окончательно получим следующее выражение индуктивной скорости: ог(6) = — ~' ~~Р ВА ~" ~ (10б) в 1 а по (101) — и угла скоса: "г (6) = ~~ ~и 4 — 6 ° (107) Ва.г $ уй) Основные ФОРмулы твОРин „несущей линии 459 Определим подъемную силу.
Имеем по второй из формул (102) +г е ч~ йв= рК ~ Г(в)де= 4рК"„,1~ ~ ~ А„яплбйпбЖ= — 3 Е п 1 =4РРл 7 ~г Ап ~ Ялпбз$пбдб. п=г о Но по известному свойству ортогональности синусов кратных дуг; ~ ъ- при л= 1, жп лб з1п б дб = О ~ 0 при а>1, следовательно, в сумме, входящей в только что найденное выражение подъемной силы, сохранится лишь один член, что даст такое окончательное выражение для подъемной силы: РЪ' 1тв — — к — * (21)Я ° Ан Замечательна, что величина лодзелснод силы зависит только от первого коврглриниента А, в разложении аиркулниии (104)," напомним, что аналогичным свойством обладало и выражение подъемной силы крыла бесконечного размаха, которое зависело только от первых двух членов разложения комплексной скорости в ряд по отрицательным степеням комплексной переменной Е 44 гл. 7).
Имея выражение подъемной силы (103), легко найти коэффициент подъемной силы крыла конечного размаха с„, определяемый отношением: 1РУ вЂ” Рге ° 8 где о — площадь крыла в плане. Подставляя сюда выражение (108), ПОЛУЧИМ: с =я1А„ (109) Р где величина 1, представляющая отношение площади квадрата, построенного на размахе крыла, к площади крыла в плане Х= —, (109') называется удлинением крыла. В случае прямоугольного крыла удляНеиие имеет простой геометрический смысл отношения размаха к хорде: 2Г б' (109") пгостганстаанноа аазаихязаоз дзижаниа (гл.
чп Индуктивное сопротиялепие 1с найдем„подстааляя аеличину цир куляцин (104) и индуктивной скорости (106) а первое из разенстз (102), Будем иметь: СО й =р 4 У'Р ~ )~~А„з1ппб~тА бя)пбНО= =рУг (21)з 1~ тА„А ~ а1п пба1птОНО. Замечая, что по свойству ортогональности функций синуса о если п=т, а1ппба1птбдб = О, если пфт, получиьс /г =. — 2" (21)я 1 пА, (1 10) н=-г й 74. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением. Эллиптическое распределение циркуляции. Связь между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы.
Основное уразмение теории крыла и понятие о его интегрироаании Г=4У РА,а1пб (Аз=Аз —— ... — 0), (111) нли, возвращаясь к переменной е по (104'): Переписывая последнее равенство з виде гг вз (4У Иг)а+Р Индуктивное сопротивление предстазляет сущестаенно положительную величину, незазисимо от того, каковы будут значения козффициентоз А„. Отсюда сразу вытекает зажное следствие: индуктивное сопротивление крыла конечного размаха при отличной от нуля подземной силе (А, фО) будет минимальным, если все козффициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю.
Это, согласно равенству (104), соответствует распределению циркуляции: квыло с минимальным индтктивным сопвотквлвнивм 461 убедимся, что второй распределения циркуляции по размаху крыла (весугцей линии) будет эллипс (рис. 154) с полуосями: по оси я равной полуразмаху крыла 1, по оси à †максимальн по размаху циркуляции Гв, причем коэффициент А, можно выразить через эту максимальную циркуляцию Го'. 4Ы ЙАг=Го~ Аз= ь (112) Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим. По только что доказанному при эллиптическом распределении циркуляции индуктивное сопротивление минимально; в связи с этим Рвс.
154. крыло с эллиптичетгим распределением циркуляции играет центральную роль во всей жорик крыла конечного размаха. Всякое другое крыло стараются конструировать так, чтобы распределение гнгркуляции на нем, по возном<ности, приблиькалось к эллиптическому. Рассмотрим ближе особые свойства крыла с эллиптической циркуляцией. Прежде всего из формул (106) н (107) сразу следует важное заключение: ори эллиптическом распределении циркуляции индуктивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего размаха. Действительно, подставляя в формулы (106) и (107) значения коэффициентов А„: ГО А, °, А,=А,=...=0, 4У„1 ' р Г о ь — аг — — —.
4! ' 41(ог получим: (116) Из этих формул, между прочим, видно, что с возрастанием размаха при заданной максимальной циркуляции индукгпивная скорость и угол скоса стремится к нулю, как это и должно быть при переходе к крылу бесконечного размаха. 4о2 пвосттхнстввннов йззвихгавов дяижвиив 1гл. Чй Если у крыла с эллиптическим распределением циркуляции „геометрические" углы атаки а по размаху не меняются, то будут сохраняться неизменными и „действительные" углы атаки а,.
Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют геометрически незакрученным или лоским; крыло с постоянным по размаху действительным углом атаки называют аэродинамически незакрученным. Геометрически незакрученное крыло с эллагипическин распределением циркуляции буд т и аэродинамическа незакрученным.
Докажем теперь, что геометрически незакрученное крыло с эллиптическим распределением ииркуляции и одинаковыми по всему размаху аэродинамическими характеристиками сечений имеет эллиптическую форму в плане. Для доказательства свяжем прежде всего коэффициент подъемной силы отдельного сечения с' с соответствующим ему значением циркуляции Г(г).
По теореме Жуковского будем иметь для единицы длины крыла 1б — хорда): , 1Ф рК»Г = св 2 или, вспоминая еще, что для малых углов атаки, отсчитываемых от направления нулевой подъемной силы, с = (-~) - а, == аоа„ У где а,— действительный угол атаки, отличающийся' от геометрического а на постоянный скос ао найдем искомую связь в виде: 1 Г=-авдК„,а .
Отсюда сразу следует, что при постоянной вдоль размаха аэродинамической характеристике аа и отсутствии геометрической закрученности 1а= сопз1) закон изменения вдоль размаха хорды д совпадает с законом изменения циркуляции Г, т. е. также будет эллиптическом. Форма крыла в плане представится уравнением эллипса: ва гэ вг' Р— у.~- ~ = (115) На первый взгляд можно подумать, что с изменением угла атаки а, или скорости Ь' набегающего потока максимальная хорда такого эллиптического в плане крыла должна изменяться. На самом деле, как это сразу следует, например, из равенс ва (81) $42 гл. Ч, прн малых а циркуляция Г, определенная на основании постулата Чаплыгина, будет пропорциональна произведению 1г а,: Го=сот 'Ъ $ 74) ктыло с минимальным индтктийиым сопготивлвнивм 463 где с — некоторая константа, характеризующая форму крыловых профилей в сечениях исследуемого крыла, так что форма крыла в плане определится чисто геометрическим равенством: аа аа — + — =1 ° (4со)а 13 Итак, при принятых условиях геометрической незакрученности и одинаковости аэродинамических характеристик вдоль размаха крыло с эллиптическим распределением циркуляции будет иметь и эллиптическую форму в плане, подобную кривой распределения циркуляции.
Вот почему такое крыло называется эллиптическим. Найдем еще связь между коэффициентами подъемной силы и индуктивного сопротивления эллиптического крыла. Имеем по (110) и (108): У4 =я — ° (21) Аг, а а й =и — (21)аАы рЯ или, вводя коэффициенты индуктивного сопротивления и подъемной силы: А'а и вспоминая определение удлинения 1 крыла (109'): с„,=кХА~г, с =яМ,.
Отсюда следует важная формула связи между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла: 1 а с,= — с„, (116) ,Я лАя н=1 А1 (117) где е будет тем меньше, чем ближе рассматриваемое крыло к эллип- тическому. показывающая, что индуктивное сопротивление эллиптического крыла быстро падает с убыванием коэффициента подъемной силы. Аналогичную формулу можно вывести и для крыла любой другой формы в плане.
Введем обозначение 464 пяостяаистяениов Ввзвихяввоз дВижВнив [гл. ти Тогда, повторив те же выкладки, получим для крыла любой формы в плане: 1+Ь з (118) ЬОО УОО УОО 400 УЬО Укм)час Ряс. 155. ! См. Б. Т. Гор ощенко, Аэродяяамякаскоростного самолета. Оборон" гиз, 1948, стр. 25. При полете современного скоростного самолета на режиме максимальной скорости потребные для поддержания самолета в воздухе сз не велики (с„=0,15 — 0,20). При этом коэффициенты индуктивного сопротивления с, становятся малыми по сравнению с коэффициентами профильного сопротивления с„, обусловленными сопротивлением трения и сопротивлением давления, возникающими из-за неидеальности воздуха (об этом будет сказано подробнее в заключительной главе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
