Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Серебрийскому.' Как уже было упомянуто ранее, основным затруднением в решении задачи является определение коэффицяентов А„при продольном и ф— при поперечном обтеканиях тела. Чем проще будет связь между 1, н р, определяющая форму контура в меридианальной плоскости, тем меньше коэффициентов А,„С„можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством 8=сопз1, т. е. разобранным ранее случаем обтекания эллнпсоидз. Отсюда следует выпад; чем ближе ло форме исследуемое тала к зллинсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим прежде всего вопрос о выборе положения начала координат на продольной оси тела.
Совершенно так же, как прн решении плоской задачи об обтекании крылового профиля произвольной формы (й 48 гл. 7), заметим, что фокусы удлиненного эллнпсонда вращения находятся посредине отрезка, соединяющего точки пересечении наибольшей осн с поверхностью эллипсоцда н центры кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим с серединой отрезка, соединюащего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллнпсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства Х=сопа1. Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области аначений 1, мало превышающих значение Х= ейЕ= 1 нлн Е= О, соответствующее отрезку осн Ог, соеди- г Я.
И. Серебркйскнй, Обтекаане теа аращеаия. Приклада. матем н махая., т. УИ1, 1944, 66) Овтекьнне ъьел вгапьения Большого Рдлипення 4М где 7„и о„— малые по сравнению с первыми членами поправки. 6амечательво, что, согласно равенствам (66), прн малых $ все функции ф„и — в первом приближении пе зависят от индекса и.
ьЩ Основное граничное условие (57) продольного обтекания в первом приближении будет, согласно (66), иметь вид: 2А вР„ Л1 и(в+!) ььи ' (67) в ь ЛРьь где производная —" представляет известную функции величины Л1ь Р =созт). Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов а=т, можно, пользуясь приведенными в 2 66 выражениями поликомов Лежандра, написать тождество: 2А„ЛРЬ ъч — т а„соз(п — 1) е, ч ь в=а (67') из которого можно вывестн выражения коэффициентов А„через пьг Так, например, при тл б имеем: 3 3 А1=п — — а+- а б 35 3 32 Аа = — па — 1 йю о Ая — — ая — — а 7 ьь 16 бч Аа= — а, А,= — и,.
7 ' 21 Представив контур меридионального сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах 6Я = ~~~ а„соз (и — 1) т), (68) определим тем самым числа а„, а уже после этого, согласно тождеству (67'), н величины коэффйциентов А„, что и дает первое приближение к решению аадачн об осесимметричном продольном обтекании удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. Прн желании можно учесть в формулах (66) остаточные члены 7„ н 3я, что пРиведет ко втоРомУ н следУющим пРнближениам.
яяющему фокусы. Рассматривая значения функций Я,(1) и ф при 1, лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых 1 будут иметь Место равенства: рл +, ьь (66) 432 пвоствансгввннов ввзвихвввов движении (гл тн Аналогичным пугем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения.
При плавности контура координата Л 1 з изменяется вдоль всего контура также плавно в пределах от 1+ ф до 1+- Е, прн атом р остается в пределах + 1; таким образом, 1 г ил можно считать, что производная — имеет порядок с „„, т. е. сравниин тельно мала. Отсюда следует, что величина и(ли) ил — =л+р— и ип имеет порядок единицы. Рассматривая граничное условие (63), видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина и (и+1) — ф„Х'„) = и (и+ 1) (ф„— „" + — "Є— „) мала по сравнению с величиной ††" †". Действительно, и(ли) Ф() ЙР и'и ил щь ац„ил . ,р и,= Ег' 1 (» =1п —.
Е Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (63) 1 1 первый одночлен имеет при малых Е порядок -1 второй — 1и —. Э Е' Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где Е мало, точное граничное условие поперечного обтекания (63) может быть ааменено на приближенное: — — У.С вЂ” "=1 Ег ~г ик ОР Ег = — Уг С вЂ” ". ИР„ 2г ° и . и 1 Сравнивая вто граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (67), видим, что между искомыми ковффициентами А н С„существует простое соотношение: и(и+1) ' (69') В первом приближении обе задачи в продольного н поперечного обтекания †решакп одиоаре.кение н сравнительно легким путем 433 МЕТОД „ОСОБЕННОСТЕЙ Изложение приемов построения второго и следующих приближений можно найти в ранее цитированной статье Я.
М. Серебрийского. Определив коэффициенты А„и С„, найдем выражения потенциалов и компонентов скоростей для продольного и поперечного обтеканий, после чего уже нетрудно разыскать н распределение скоростей и давлений по поверхности заданного гела вржцения или вне его при любом угле атаки. Отметим, что при всех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи ее можно пользоваться для (~1 и — " г(1)н г(1 приближенными выражениями (66). Само собой разумеется, что прн удалении от поверхности обтекаемого тела й возрастает, и формулы (66) становятся все менее и менее точными.
6 69. Метод „особенностей". Примеиение непрерывно распределенных источников (стоков) и диполей для решения задачи о продольном и поперечном обтекании тел вращения Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования продольного н поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока иа поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные „особенности" потока — системы источников (стоков) илнднполей, а впоследствии — непрерывные нх распределения.
Предположим для определенности, что на отрезке ( — с, + с) осн Ол задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности ву(л). Тогда потенциал э возмущенного движения, соуданного этой системой .особенностей", будет, согласно второй из формул (21) 6 61, Равен (знак минус введем в определение интенсивности в))г +э э(г, з) =— 1 ~ д (а') Ллв (70) ' ~, у' ""+( — )* Если задаться видом функции ву (з'), то, вычисляя интеграл (70), получим потенциал скоростей, а дифференцирование по гэ н а позволит вычислить н пРоекции скорости в„н о,. Наоборот, задаваясь форлгаб обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей воамущенного движения к полномт 'ютенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданнои ~~оростью на бесконечности н написав условие непроницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором в7(л') бУдет неизвестной Функцией. Заменяя потенциал скоростей на Функцию тока, Кармана Р~зработал метод приближенного интегрирования соответствующего инте- в вв в в в в в вв..кв в.в в ввк в в в в вв~~эва~ АЬЬапб1.
аяэ оеш Аегобуп. 1пэк Ааспеп, 1927, Ней б. Подробное нзложение этого н других методов, а также применение нх к Расчетам см. Н, я. ф а бр и кант, Курс аэродинамике, ч. 1, гл. П1. Гостем издат, 1938. 28 зв. Ннь л г. гмааэшаь 434 ИРОСЙРЛЕСТВЕЯЙОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ МНЙФЕИИЕ (гл. Рп +а гасоаа Р ш(л')яг' Ех(га, з, а) =— 4я,~ (газ+-(л — зяй — а (71) Здесь также можно задаваться распределением интенсивности гл (я') или, наоборот, определять зту интенсивность нз интегрального уравнения, представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на бесконечности.
Не останавливаясь на изложении этих, в настоящее время уже мало- употребительных методов, укажем лишь на простую их связь с методамн, изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции д(г') и е (г') могут быть выражены через ранее введенные коэффициенты А„и С . Разобьем ось симметрии тела вращения Ол иа две областй: одну, определнемую интервалом — свйлД+с, заполненным .особенностями", и вторую, представляющую остальную часть оси Оз, где ) л) > с.
с точки зрения эллиптических координат 1, Р, введен- ных в начале В 66, отрезок, на котором расположены .особенности, можно представить, согласно второй нз формул (53), так: Х = 1 — 1 ~ 11 "= 1, а остальную часть оси Ож нак и = ~1, 1<1< о. Тогда, сравнивая между собою вие отрезка ( — с<з'<с) выражения потенцкалов возмущений (70) и (71) с соответственными выражениями тех же потенциалов, взятыми из формул (55) и (61), получим следующие дза равенства: +х 4(Р')лр' г ~~~~А й (1) (72) — 1 я а 1 Г т(сР')ЕР' р.
дп(в-(-1)с лОя — 1 Их (73) ксморые при заданных коэффициентах А и С„можно рассматрнвать кзк два интегральных уравнения длз определения иейзвестных фущщнй я и аь Однако метод Кармана не был общим и требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким и мало точным. Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя (22) В 61, можно составить и потенциал поперечного обтекания тела вращения, складывая однородное иатекание с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных по отрезку — с<я <+ с дяяолай интенсивности т (з'): пгостганстизнпок йазнихгнвон двнжвййн (гд, йй Подстивлая сюда разложение неизвестной функции в форме щ(ср,') = — 2ястУ (1 — р'э) у св— %ч аз а 1 и замечая„что в силу ортогональности полиномов Лежандра: +т Рв ~~э О, при й,-6я, (1 — р'э) — ", —,4с'= 2я(п+1) — т 4» пр —, при а=я, 2п+ 1 убедимся в справедливости равенства с„=С .
Итак, имеем: /л~~зч га (ср) = т(з') = — 2ясэЪ 11 — ~ — ) ~ ° ~' Св — а. (75) ~с) ~ 2~ Й("/е). Совокупности формул (70) с (7ч) и (71) с (75) позволяют при желании пользоваться потенциаламн скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты Ав и С„. Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура меридиональиого сечения в ряды па функциям от эллиптических координат. а уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в предыдущем параграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным удлинением коэффициенты А„и С„легко определяются путем разложения уравнения контура в тригонометрический ряд по косинусам эллиптической координаты я. Заметим еще в заключение, что для тел с очень болыапм удлинением можно определить о(я) и гя (з) нз следующих двух простейших предположений: 1) в случае продольного обтекания считать нормальную к поверхности тела составляющую скорости возмущения У„равной скорости плоского движения от источника, расположенного в ближайщей точке оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
