Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Выбирая, например, в меридиональных плоскостях в качестве криволинейных координат обычные прямоугольные координаты (го, з), будем иметь: Н, = 1, Н,= 1 и, следовательно, уравнение движения приведетси к простому виду: (48) соответствующему уравнению Лапласа з цилиндрических координатах при отсутствии зависимости движения от о. Интегрирование этого уравнения проводится обычными приемами анализа. Можно, например, составить такой, хорошо известный интеграл уравнения (48): )о (Г ", З) = — ~ рв (ГГР СОЗ 0+ Е) )70, (49) о где эо(Г) †аналитическ во всей области течения (г", е) функция. Лействительно, если ))о в аналитическая функция, то она сама удовлетворяет уравнению Лапласа (48). Имеем, рассматривая О как параметр и применяя штрих для обозначения дифференцирования по всему аргументу: дто дато " дтЧЧ) д) о ' дгю о > део о — „= О'Г'Соз 0 — = — ч) Созз 0 — = 7 и, подставляя в (48), гооо" з1п О+1~асов 0 = О.
Вычисляя теперь аналогичные производные от функшш р, представленной интегралом (49), найдем в силу предыдущего равенства: ч = — ~ (г*ро япа0+ йуос050)))0 = О. о НРостванственное ВеавихРВВОе дВиженнв (гл. уп Функния «Рр(1) имеет в нашем случае простой физический смысл. Составим выражение составляющей скорости, параллельной оси течения: 1 «(Г «В) ~ д = ~ «ЯГ созб+л)пО о и определим ее на оси потока (Г« =О). Тогда будем иметь: "'«о = ~ ео (л) 51" = ~ю (з)' О Таким образом, первая производная от уз(з) представляет собою не что иное как распределение скорости (Г, вдоль оси симметрии течения.
Задаваясь видом функции ««='Ро( ) =Ге( )» найдем по (49) распределение скоростей течения: 1à — = — ) Д(йг*созО+л)гй, дт 1 1 дз= я.) е (бо) 1'„=- —,= — ~ Д(1Г«созО+л)созбс(О, дт 1 а при желании и функцию тока: « « ф»= ~ Г«1Г~йе= — ~ созОМ ~уе(1Г«созО-~ з)«г. (01) « Нулевой линией тока ф" =0 служит ось течения Г« =О. Простейший пример такого осесимметричного течения получим, если положим ~'ю =Хе(л) = — л т. е. потребуем, побы жидкость имела бесконечную скорость нз отрицательной бесконечности (я = — оо) и нулевую скорость в на иле координат (а=0), причем зададим линейный закон уменьшения скорости.
В этом случае легко найдем1 1 Г., Г(, О+, „ « 1« = — — ) 1Г«созЯО«10 — — ~ соаОИО= -г, 1 Г. 1« 1 я я 2 О 9 1 *, ф == — Г* З. 2 й' 651 овй(нв углвнвния осасймматгичного движвиия 417 Поверхносги ~ока имеют уравнением г 'в=сопя(; общее Их расположеике пбказано на рис. 144. Картина течения соответствует растеканию приходящей из бесконечности с бесконечной скоростью жидкости, встречающей препятствие в виде безграничной г=- юэ Рнс. 144. плоскости, перпендикулярной направлению потока на бесконечности.
Поверхности тока, очевидно, асимптотически сходятся к оси Ов при л-+ — со и к плоскости хОу при л-+ О, Вычисление интегралов (49), (%) н (51) может представить иногда сложность, которую можно обойти, если, воспользовавюнсь аналитичностью функКкй тв и ув„разложкть кк в ряды: чв (й" сов О + «) = та (л) + й' сов О . тв (л) + ° ° ° У„((г" сов О + л) = Ув (л) + гг" сов О . У„(») + ... Подставим втк разложения в рассматркваемые формулы к, замечая, что и — ( ..
Оаа= —, 1 1 (2к)! ( ' Ввк. (в1)в ' о в — совал-вака= О, 1 1 к,~ 27 Злк ~ык л г. лкывккнь Ввостглнствзннов вкзвидэзвбе цинк(внг(к (гл. чм получим: чт г — 1зэ Ч,(,э,) ~ ' — ' г зв,рвч(,) з~а 2зи (л1)т и=э Иь т (52) ( з ) тв' ( ) эзэу(тл)( и з О ф" (гэ, л) = ч ( ) гэл'усзэ1(з), 2тв (и1)з э Пользуясь этими формулами, можно строить различные формы коифузоров, диффузоров н других каналов, Так, например, положим:т уэ (з) = 0,05+ 0,90 ~ Ф (з) дз, о т 1 — э' Ф(з) = — е в2к что дает плавное изменение скорости р' вдоль оси Оз, показанное иа графике (рис. 145).
Посзедовательные производные функции уз (з) определяются очевидным ра- ьО венспюм: 66 у(эи+') (л) = 0,90 Фьч) (з), 6,4 ф(и) (з) = — — (е ' *). ТГ2з нхэ 01 Вспоминая определение по- О линомов Эрмита Н„:з й Н (з)= и 1 г Рис. 145. Тм Ии з ис.. = ( — 1)" е — (е ). дзэ будем иметь тажж выражение для последовательных производных заданной функции уэ(з): з Уэ1и+т)(з) = 0,90 ° ( — 1) Ф(з) Ни (з) = 0,90. = е Т Ни(з). 2п г Нзне-3'пеп Тз1еп, Оп тйе Пез1цп о(1Ье Со~йгас11оп Соне 1ог з убжб Тпппе1..!оппж Аегоп.
Бс. ро1. 10, М 2 19'Ц рр, И вЂ” 70. т См. Янке и Эмке, Таблицы функций. Гостехиздат, 1948, стр. 122. 419 пводольное овтекьнне тел вэлщение $66) Яа рис, 146 приводятся линии тока и распределение продолыгых скоростей, соответствующие рассматриваемому осесииметричному потоку. Римскимн цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифрами со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей.
Принимая линию тона за твердую стенку, получим профиль 1 конфтзора, причем эпюры покажут, насколько однородно еоле скоростей в раэ. личных сечениях конфузора. Так, например, видно, что профиль конфузора, показанный на рис. 146 штри- Н ховкой, имеет достаточно хорошую форму: некоторое повышение скорости к сгеикаи копфчзора не вредит делу, так как подтормажи- заиие жидкости нз за аяз кости вблизи стенок должно 6 йе гг 60 66 выправить поле. Рассчитанный конфуэор, как видно Рис. 146.
из рис. 146 и !46, удваивает скорость движения. Изложенный тольке что метод может с успехом при- меняться для расчета конфузоров аэродинамических труб, сопел и других каналов, если скорости в нйх значительно меньше скорости звука. й 66. Осеснмметрнчное продольное обтекание тел вращении. Случай вллнпсонда вращения г=ссйЕсозть О==Ех=.со, гэ=свй$шптэ О -н~2п, где величина с представляет расстояние фокусов семейства координатных линий — софокусных эллипсов и гипербол — от начала координат. Положим: сй $ = Х, сов т1 = р; 1~1=лес, 1<р<+1; тогда связь межлу координатами (г*, л) " (1 Р) бУде~ иметэ' внд ,ктг:~ гт=й ~ л с1р (63) Лля расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (рис 147а) возьмем в меркдиональных плоскостях (г", л) эллиптачепгую систему координат (с, т1), связанную с (г", х) соотношениями (вспомнить формулы (51") й 40 гл.
Ч: 420 пвосттанственное ВеаеихРевое дВиженйе (гл. И1 Определив производные: аа у-=сХ, Р найдем, согласно (46), коэффициенты Ламе: (ьз') После этого уже нетрудно составить н основное дифференциальное Рнс. 147. уравнение Лапласа для потенциала скоростей. По (47) получим: а~ ~(" ') л.1+а~ ~(1 р') а~1=0. Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных Х н р в отде7п ности; у=г.(1) Л4(р); тогда в уравнении (54) переменные равделятся и ие равенства 421 пгодольнов оатккьнив тьл ввлщения в силу независимости ! и р будет следовать, что камская из частей равенства полина быть постоянной, которую можно выбирать совершенно произвольно.
Полагая эту постоянную равной и (и+ 1), где и— целое положительное число, получим для определения Е и М два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа: — ~~(! — !Я) — „~~~+и( —, 1)А=О, 3 Г (54') — „" ~(! — ра) "д ~+п(п+1)М=О.1 Этим уравнениям удовлетворяют ' два класса независимых решений: 1) функции Лежандра 1-го рода, в частности полнномы Лежандра Р„(х), определяемые равенствами: Ре(х)=1, Р,(х)=х, Р Гх)= — (Зхя — 1), Ра(х)= 2 (5хз — Зх), ...
1 и реккурентным соотношением для вычислении последукхцих полиномов: (и + 1) Р„+ ! (х) =- (2п + 1) хР„(х! — нР„, (х); 2) функции Лежандра 2-го рода Я„(х), определяемые равенствами: 1 х-!.1 ! х-'-! а (х)= —,!и —, а (х)=-,х!и — — 1, о — 2 х ! ~ =2 1;! (х! = — (Зхе — 1) !и — — х, 1 . я х+1 3 4 х — ! 2 Я (х) = — !Зхе — Зх) !и — — — ха+в 1 х+1 5 я 2 4 х — ! 2 3 и, вообще, Г1 х+! 1 1т Р Зт !п — 1)Я1 Я„(х) = !à — 1п — — — — — — — — — — ...
— 1Р„(х). (2 х — 1 х Зх Зх 7х '' (2п — !)х1 При желании моя~но пользоваться реккурентным соотношением (+ ж...,! )=(2.+1).г.() —.ая,(), совершенно аналогичным реккурентному соотношению для полиномов Лежандра. Функция Р„, как полипом и-ой степени, обращается в бесконечность при бесконечно воврастаюшем аргументе, функция же я, при этом стремится к нулю, но зато обращается в логарифмическую ~ Е.
Уатт евер в Г. Ватсон, Курс современного анализа, ч. И. Гостехввдзт, 1934, стр. 91 н сл. 422 пэосттанстзвннов Бвззихтвеов движение (гл. тп бесконечность прм л= ='- 1. В случае внешнего обтекания тела координата Л = с1т$ может достигать бесконечных значений, а координата р ограничена. Принимая во внимание, что потенцкал скоростей возмущенного лвижения (т. е. полного обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости иа бесконечности) должен стремиться к нуюо при удалении от поверхности тела, можно вне отрезка оси Ол( — с(в~с) представить полный потенциал скоростей в зиле суммы потенциалов скоростей возмуптенного движения н однородного потока, набегающего на тело со скоростью, на бесконечности равной 1т и направленной вдоль Ое: Р(Л, Р)=сЪ" [ХА 1;1 (Л)Рч(Р)+ЛР11 () здесь А„— неопределенные коэффициенты, значение которых зависит от формы обтекаемого тела, Для определения коэффициентов А„найдем прежде всего вырюкение функции тока ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
