Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Сохраняя для поверхюстной и линейной плотности распределения мощности исгочников то ке обозначение д, будем иметь соответствующие потенциалы скоро".тей в виде поверхностного и линейного интегралов: 1 Г 'т = 1 4е Х (2!) Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непрерывного распределения источников по некоторой поверхности ч, шет гндродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения ~ электростатического притяжения лотент!пала простого слоя. Потен!иал простого слоя так же, как н ньютонов потенциал обьемного рас~ределения (19), является решением уравнения Лапласа, причем, как !оказывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен т Вспомнить, например, метод ЭГДА (конец гл.
Ч). !ля пракгического изучения процессов па тех объектах, которые по~впаяют проще и точнее изучать явления. ' Вспоминая определение величины дивергенции вектора скорости еак отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно >аспределенных источников (9 11), можем, очевидно, в любой точке ~бьема т написать: ВМ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВЕЗВНХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. РП и непрерывен во всей области, включая и поверхность а.' Производная от потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности с претерпевает при переходе текущей точки М через поверхносгь с раарыв непрерывности — конечный скачок.
Подобно тому, как только что рассматривались потенциалы скоростей непрерывных распределений источников, можно ввести аналогичные понятия и для непрерывного распределения диполей. Остановимся на одном, наиболее интересном распределении диполей, образуюп щем так называемый двойной А елоп.
Возьмем некоторую поверхя в ность и и покроем ее непрерывно Шло распределенными дипочями так, чтобы моменты их (или оси) со- Ф .1. + впали по направлению с внешними .Р 1+э + нормалями п к поверхносги а. Обозначив плотность распределеРис. 136. ния диполей через т, получим вектор элементарного момента диполя, приходящегося на элементарную площадку бс с ортом внешней нормали п, в виде таси, а элементарный потенциал скоростей Йр, согласно (18) или (18'), будет равен где 6 (рис. 136) — угол между Внешней нормалью к поверхности с и вектором-радиусом г= АМ текущей точки М относительно точки А, взятой на поверхности.
Полный потешгнал скоростей от всей покрытой диполямн поверхности гн (22) а а служит гидродинамической аналогией иавестного в теории электричества и магнетизма логленпиалп даойнозо слоя. Бслн потенциал простого слон представляет, например, электростатический потенциал заряженной поверхности, то потенциал двойного слоя дает магнитный потенциал намагниченной поверхности (магнитного листка). Упомянем, что потенциал двойного слои (2л1 также является решением уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал г В точках поверхности а потенциал простого слоя выражается, со. гласно (21), через песобствевяый интеграл, который берется в смысае своего главного зйачеиня.
$ 32) полз сйоРостей ВОЙРуГ системы ВихРей 390 Ч= го1А, (24) причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию б1УА= О. Тогда уравнение (23), если вспомнить основную формулу векторного анализа го1 го1 А = йтаб б1т А — ЧЯА, превратится в ЧЯА = — Я. (23) Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуассона (20), можем составить решение уравнения (25) в форме векторного обобщения ньютонова потенциала (19)1 где г — радиус-вектор текущей точки поля А4 по отношению к элементу объема т.
Согласно (24), для вектора скорости Ч получим искомое значение 1 Галс Ч = — го1~ —. 4ч (26) двойного слоя претерпевает разрыв непрерывности при переходе гекущей точки М через поверхность а. Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно разрешать различные задачи ибгекания тел. й 32. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. Формула Вин †Сава. Потенциал скоростей замкнутой вихревой инти.
Аналогия с потенциалом двойного слоя Наряду с основными „особенностями" скоростного поля; источниками, стоками и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии. Предположим, что в некотором об.ьеме т (конечном или бесконечном, как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки) задано непрерывное распределение завихренности Ы и требуется разыскать распределение скоростей во всей области течения. Простейшей задачей такого рода является определение по ааданному полю вихрей поля скоростей в безграничной области.
В этом случае вопрос сводится к составлению такого решения относительно Ч уравнения го1Ч=Я, (23) которое стремилось бы к нулю при удалении иа бесконечность от области, занятой вихрями. Введем в рассмотрение так называемый векторный потенциал А (вспомнить формулу (33) $37 гл. Ч), связанный с вектором скорости Ч соотношением Пгостплисгвсннов ввзвихРьвос движвниь 1гл.
тн Осгановнмся ближе па случае отдельной элементарной вихревой ~рубки, окружающей вихревую нить Б (рнс. 137), с циркуляцией !'. Обозначим через !уг элемент нити, ориентированный в ту же сторону, что и 11; тогда, производя под знаком интеграла (27), по известной теореме о связи между интен- М сивностью вихревой трубли и циркуляцией скорости по охватывающему трубку кокгуру, замену и Лт = и 1Ь ° пх = а Ля ° дг = Г Лг, получим вместо (27): Ъ~= — го1 ~ — йг= — ~ гО1 — г1г). 4я ~ г 4г.~ (,г Используя формулу векторного анализа го1 ( — 0г) = — го1 (Лг) + дгаб ! — ) Х Лг г1 т ! /1' (г,) г ,г Р„с !Ч7 И ЗаМЕЧаЯ, ЧтО йГ ЯВЛЯЕТСЯ ПОтЕНЦИаЛЬНЫМ вектором, так ч го го! (туг) = О, сможем предыдуп!ее выражение У переписать в виде: ~=.~а Л( —,')ХЛг.
(28) бГ1) !п. 1 Г Г угаЛ ~ — ) = — нгаб г = — — * - =— и приводит к гндродинамическому аналогу известной в теории электро- магнетнзма формулы Био — Баварии 1' р Лг!4 г (29) Если рассмотреть элементарную скорость Л11, образованную („ индуцнрованную", как принято говорить) в точке М элементом вихревой нити А, то можно вместо (29) написать: 1' ЛгХ г я г 4я га Это решение задачи о построении поля скоростей вокруг заданной вихревой нити Е с циркуляцией 1' можно еще упростить двумя различными путями.
Первый путь заключается в непосредственном вычислении градиента под знаком интеграла 401 8 62) ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ВОКРУГ СНСГЕМЫ ВИХРЕЙ или, переходя к величине элементарной скоросги: Г (Лг)~г( Г нз.з)па (дт1(= — — =— 4п гз 4я гз (29') а затем, пользуясь очевидными равенствами (Ь вЂ кратчайш расстояние точки М от отрезка АВ): ЛО Ь вЂ”.— гз)пО, Нз= — ~1(ЬС180)=й —.— получим выражение для (011(: 1' мп 0 ° з1пгб Л КО ( с% ( = — . —. = — яп О М.
4з йз з1пт0 4ка Рис. 138: Интегрирование по О от О =а до О=-к — 'р' дает искомое выраженис скорости к„индуцированной вихревым отрезком АВ: Г Г Г 7 = — ( ми О с)О = — (сока+совр), 4яд .( 4пд (39) Формула (30) играет основную роль в расчетах полн скоростей вокруг вихревых линий и булет в дальнейшем использована в теории крыла конечного размаха. Полагая в формуле (30) п=(1=0, получим вновь известную из теории плоского движения формулу скорости, индуцированной бесконечно длинной прямолинейной вихревой нитью Г Ь' = —.
2кл Второй путь преобразования формулы (28) полезен в том случае, когда пРиходится иметь дело с замкнутой вихревой линией конечной длины, ограничивающей (рис. 139) некоторую разомкнутую поверхность а. В атом случае 28 3 пмь л г. лззч. к По аналогичной формуле Био — Савара определяют магнитное поле от элемента электрического тока. Чтобы проиллюстрировать применение формулы (29), определим скорость, индуцированнуго в различных точках пространства прямолинейным отрезком АВ вихревой нити с циркуляцией х' (рис. 138). Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной точке М давать одинаково направленные элементарные скорости Л1 (по перпендикуляру к плоскости, проведенной через отрезок АВ и точку М, в сторону вращения, создаваемого вихрем), найдем сначала ио (29'): Г з)па УЧ ( 4 а 4а гз 4ОВ прострлнстпвииов ввзвихрввое цнижнййе (гл.
уп а . 3г = ~ го1в а На й ч рассмотрим теперь, вместо циркуляции вектора, представляющей криволинейный интеграл по замкнутому контуру А от скалярного произведения вектора иа элемент контура, подобный же интеграл, но от аекторяоео произведения ~ аХг~г. Построив элементарный цилиндр с образующими, параллельными орту нормали п к поверхности а, и с направляющей б', ограничивающей элементарную площадку На, сможем иапи- сатгс а Х гГ (' =- — ) а Х (п Х п') й', д.! а' Рис. 139. где а' — полная поверхность цилиндра, состоящая из боковой поверхности и двух оснований гЬ, а 0г' и на' обозначают, соответственно, элементы контура й' и поверхности а' элементарного цилиндра (на рис.
139 гЬ' представлено заштрихованной полоской). Применив формулу тройного векторного произведения. получим: аХя'г'= — ~ па ° (Ь' — — ~ п'и Нс'=п ° — брга— Ж~ — йтаб ~ля — ) = п б1тн гЬ вЂ” йгаб(а гЬ). и й) и Суммируя обе части последнего равенства яо всем элементарным южтурам УУ слева и по всем элементарным площадкам Фа справа, получим: / аХЫг= ~ пбшагЬ вЂ” йтад( ~ а„Иа~. ъ а я Полагая в этой формуле а = йтаб( — ), будем иметь, вместо (28): 11= — ~ пта~ ~3с — — йтаб ) ~( 4я,~ (,г) 4я .) дв 1 г) (31) второй путь приводит к установлению формулы потенциала поля скоростей, индуцированного замкнутой вихревой нитью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
