Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 66
Текст из файла (страница 66)
з курсе Кибела, Кочин и Розе, Теоретическая гидромеханвка ч. П гл. !. Гостехвздат, 1948. См. также А, Ееггь Е!ешепгв св Аегодупаглгсв о! Бврегвев!с Р!оеар. !чеъ Уогх, !949. сжилгае,кости газа на обтекание профиля в региегпке оказываегпся более значигпельнылг, чехг в случае единичного профиля„г Аналогичное явление повышенного влияния сжимаемости имеет место и при продувке единичного крылового профиля в аэродинамической трубе с рабочим участком, ограниченным твердыми стенками. Влияние увеличения стеснения потока помещенным в него крылом на аэродинамические характеристики профиля быстро возрастает с увеличением числа М. набегающего почока.
))елинглвивняовчнный свявхзвтковой поток 367 ь' 87) По~ытаемся теперь найти в каждой точке плоскости (х, у) такое направление с угловым коэффициентом ду дх' чащобы выражения в квалратных скобках равенства (77) представили производные по этому направлению соответственно от и и о: (78) ()х Л(+ Лево Для выполнения этик условий необходимо подчинить величины Л, н Ля очевидной пропорции: л( — л(ао Лт (а' — оа) ле (ав — ит) — (Л(+ Ляио) .— т (79) или, что все равно, удовлетворить системе равенств: Собирая алесь члены с )ч н ), получим олнороднучо систему уравнений: Л,— ) (л((аа — иа)+ио) =О, т)э+Л (ав — оа+ ае) =О, имеющую отличные от нуля решения только при равенстве нулю определителя системы, т. е.
при выполнении слелуюШего квадратного уравнения относительно и: (ит — аа) та — 2иот+ (ов — ав) = О. (80) Составляя дискриминант уравнения (80) ияоя — (и' — аа) (оя — аа) = ая (и'+ оя — ая) = а' ()'я — а') убедимся, что уравнение (80) будет иметь дейс(лвительные решения только в сеерхзвуиоеол потоке при выполнении условия ь(== а нлн М ~- 1. В каждой точке сверхзвукового потока можно указать два соответствуюп)ик сопряженным корням квалратного уравнения (80) Нут ио 1-а~у( — ат т(а = — ~ ).— ахмад 2 ди (ч — Лаио дх+ Ле(аь — и() до Ля (а( — о() ди ди ди ду ди ди ди — = — + — — =- — + — т= —,) ду дх ду ()х дх ду дх ' до до до ду до до ()о ду дх+ ду дх дх+ ду дх Л( — Ляио= л)Х (ив — иа), Ля(а' — ов) = — т (Л, + Л,ив).
368 плоское вазвнхпавоа движвниа сжимламого глзь [гл. ш направления (будем их в дальнейшем называть „характерисдлическими"), вдоль каждого из которых функции а и о должны, согласно (77) и (78), удовлетворять соотношению Ла (а — иа) — — (Лд + Ляио) — =- О. йи . йо йх д я йх * (82) Заметив, что произведение корней квадратного уравнения (8д)) равно од — а' т дпа —— перепишем уравнение (82) в виде: йо Лд (ад — иа) Лд (иа — вд) йи Лд ")" Лдио тдтд (Лд ")- Лдио) * или, согласно (79), так: ио.+ а)' 'г"" — ад от — аа йо Ж аа тдтд (83) характеристиками первого семейства, интегральные кривые уравнения иу ио — ау г.— аа Йх ид — ат характеристиками второго семейства.
Точно так же равенство (83) определяет в каждой точке плоскости годографа скоростей (и, о) два семейства Нд и Н кривых, опреде- Уравнение (83) может быть проннтегрировано в конечном виде (что и будет сделано в дальнейшем), так как местная скорость звука представддяет известную функцию скорости движения $~= )' ия —,' оя.
Таким образом, совершенно аналогично случаю нелинеаризнрованного распространения конечных возмущений в задаче Риманна, вдоль кривых, представленных дифференциальным уравнением (81), неизвестные функции и и о оказываются сисданными нзвестныч наперед соотнопденнем (83) или его интегралом.
Семейства (С,) н (Я интегральных кривых уравнения (81), соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристаки в плоскости (х, у), а величины и и т, определяемые тем же уравнением (81), представляют угловые козффициеиты касательных к характеристикам илн характеристические поправления в плоскости (х, у). Будем называть для определенности кривые, соответствующие дифференциальному уравнению (81) с положительным знаком перед радикалом йу ив+а )Гг' — ат ах ид — ад 350 нвлинвавивнгованный свегхзвкковой поток $57) ляемых дифференпиальным уравнением (33) с тем илн лругнм знаком перед раликалом в правой части.
Каждое нз этих семейств такгке представляет „характеристики", но уже в плоскости годографа (и, о). Энаку плюс перел радикалом соответствуют характеристики первого семейства, знаку минус в второго семейства. Обозначая через и угловой коэффидиент „характеристических направлений" в точках плоскости (и, о), будем иметь по (33): гйоъ тгя ле†1ГЬ'~ — а~ пье =( — '! — — '- — т, ° (83') йи мт тдют от — а' Характеристические направления в плоскостях (х, у) н (и, ц), как это сразу следует из (83'), связаны между собой очевнвньпяи соотношениями". ач 1 и = — — = — —, нли пт +1=01 тгюя ют 1 я и = — — = — —, или п,т +1=0.
тт 1 ттте юа е 1 Отсюда следует, что при выборе осей х и у параллельными осям и но, характеристические направления первого семейства в некоторой точке плоскости (х, у) будут перпендикулярны характеристическим направлениям второго семейства в соответствующей точке плоскости (и, о) н, наоборот, характеристические направления второго семейства в плоскости (х, у) окажутся перпендикулярными характеристическим направлениям первого семейства плоскости (а, о).
Это важное свойство характеристик позволяет, если наперед известно семейство характеристик в одной плоскости, указывать характеристические направления в соответствующей точке другой плоскости. При пользовании графическими методами интегрирования основных уравнений движения, известнымн уже нзм по гл. 1Ч, такое свойство характерно!нк значительно облегчает построение решения. Обобщим на случай произвольного нелинеаризнрованного сверхзвукового потока понятие о линиях возмущения. Будем по аналогии с лииеаризированным потоком называть „линиями возмущения" такие линии в физической плоскости (х, у), косите ьные к которым овразуют с направлением скорости угол .ч.
а, синус которого обратен числу М в данной точке (вспомнить формулу (21) в 27 гл, 1!!, з также Я 51 н 52 настоящей главы!: Докажем, что характеристики нелинеаризированных уравнений двизкения в плоекасти (х, у) образуют, линии возмущения" сверхзвукового потока. для этого составим выражение тавгенса угла мелщу ~~~тором скорости и касательной к характеристике в плоскости (х, у); 24 Зак. мяь л Г. лойюиеча. о ио.+.а Г' 1сд — ад о т —— и ид ид и 13 а о ио'-а Г' ~'- — ад о и + ид — ад и а -+- 1 и(1/я — ад) +'ао 1 $"' — ая т' 'е — ад у'М~ — 1 или ып е =-+- —. 1 — М (84) Из этой формулы вытекает, что: 1) характердстики уравнений сверхзвукового двддзкенддя являются „линияма возиуаьения' в подпоке и 2) вектор скорости образует с характеристиками в плоскости(х, у) одинаковые по величине и разные по знаку углы, т.
е. вектор скорости направлен по блсектриссе угла меакду характеристиками обоих семейств / к в данной точке (рис. 120), и, наконец 3) проекция 1'„скорости на нормаль к характеристике равна местной скорости звука: $~„= Исоа(90' — а) = 1 М = ИВ1па= И ° — =а. Определим теперь закон й изменения скорости вдоль ха- Г рактеристик С, и Ся плоскоРяс.
120. сти (х, у) или, что все равно, уравнения характеристик Н, и Ня в плоскости (и, о). Как уже ранее было указано, уравнение (83) может быть проннтегрировано в общем случае. Для упрощения интегрирования уравнения (83) перейдем от проекций скорости и и о к величине скорости 1Г и углу 6, образованному вектором скорости с осью Ох, положив: и= Исояб, о= Иып6 Имеем, согласно (83') и рис.
120: ( йо 1 — — — — = — с13 (6 — а), д тя ()= вол 1 — — — — СГП (6+ и), йи/д тд 370 плОскОе Веявихвевое движение сжиилемОГО ГАВА (Гл. дп тогда по известной формуле аналитической геометрии будем иметь: ф 57) нвлинеьгиаиговьнный свагхлвхковой поток Проиаведем в этом уравнении замену: ди =- л У - соа Π— 1' ып й ~111, Фо = е( У ° яп 0+ У соэ 6 с18; тогда получим: 1а1п 8 + с18 (8 -+- а) соя ч) Н У+ [соа й — с18 (й — «) а1п ~ц У 8 откуда после простых приведении найдем: М вЂ” с1иа - — =О.
л'У У (85) Вводя, по (84), число М, перепишем уравнение (85) в виде: лл1 =:+: 1гМа — 1 —, (85') ~+~ 1 — — Ле а+1 окончательно получим простое дифференциальное соотношение: Л вЂ” 1 гЛ л — 1 1 - — Ла е -1- 1 (85") Интегрируя, найдем: ч = -+. е (Л)+ сопа1, где введено обозначение е(ь) = ЛЯ вЂ” 1 лЛ ~/' 1 ' — 'Лт ' 1+1 Л+ ~Г 1 — ~ 1 ля а+1 Л-' — 1 — агс ги 1 — — 1Р 4+1 (86') У или совершая переход от числа М= — к числу Л= — по ранее Э Ю ЯФ выведенной формуле (52), которую можно есле переписать так: 372 плоское везвнхвввоа движение сжимаемого газа (гл. ч1 Переходя по обычныч формулам обратных тригонометрических функций от арктавгевсов к арксинусач, приведем выражение в(л) к несколько более простому внау: а (Х) = 1/ — агс в1п у' — )I Х~ — 1)— гв+1 г /а — 1 — Уй 1 У' 2 .
( / а+1 ~/ув — 1~ (86") 2 б8, Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком. Влияние угла поворота струи на ее газодииамические элементы Рассмотрим задачу о повороте сверхзвукового потока вокруг острой кромки выпуклого угла О (рис. 121) на угол О.' Как станет вскоре ясным, нисколько не нарушая общности, можно предпоаагать что начальный поток слева от прямой ОСо †звуков (Х = 1, Ь =6)~ окончательному состоянию потока после поворота на угол 8, соотв ТЬ.
Меу ег, ОЬег впеЫЬпепв1опа!е Веъеяппйвчогйапке 1и е1пепв ывв* пзв пй ОЬегвсйаййевсйп1пп18кей ягоше Говвсйппйвйе1В йев ЪЧу1, Чо1. 62 1908, 8. 8. 31-67. заметим, что е(Х) при л= 1 обрапеается в нуль. Функция е (й) является сверхзвуковым анапогон функции э (1), определявшей основное преобразование (80) в методе Хрнсгиановича. Задавая различные значения постоянной в формуле (86), получим семейства характеристик Н и Нв в плоскости годографа $', О или ив, 0.
Безразмерная скорость л меняется в пределах 1~1~ ~~ Га+~ левая граница представляет критическую скорость 1' = а*, правая— предельную максимальную скорость Ь~,„, при которой давление, плотность и температура обращаются в нуль (попный вакуум). ПроГА+1 ведя концентрические окружности 1= 1 и А = 1у —, можем г' а — 1* заполнить все пространство между ними сеткой кривых (86).
Подробный анализ показывает,. что эти кривые представляют собою семейство эпицикэоад, описываемых точками окружности радиуса 1 ('1/а+ 1 — ~~1 — — 1), катящейся по кругу 1=1. Имея раз навсегда указанную сетку эпицикаоиа, нетрудно методом, аналогичным изложенному в 2 28, производить расчеты плоских сверхзвуковых обтеканий. Не останавливаясь на изложении существующих в этой области графических приемов, покажем аналитическое применение только что изложенной теории к основной задаче газовой динамики о сверхзвуковом обтекании угла.
ф Щ свеРхззукояое Оьтькьние ВыпуьлОГО уГлА 373 ветствуег однородное течение справа от прямой ОС, с безразмерной скоростью Л,. Поворот на конечный угол О, можйо рассматривать как результат последовательных малых поворотов в области С ОС', чатем в области С'ОС" и т. д.; нелинеаризированная задача расчленяется, таким образом, на ряд линеаризированных. Отсюда сразу следует, что лучи ОСе, ОС, ОС", ... являются „линиями возмугаения" нелинеаризированнод задачи, нли характеристиками первого семейства. Вдоль каждой из этих прямых линий угол возмущения и, а следовательно, и числа М и Л будуг принимать некоторые постоянные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
