Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Г1 Напомним„что входящая в систему (42) величина —, равная по ро известной формуле нзвнтропического двюяения 1 ро 11+ В Мв) зависит только от величины скорости в, а ие от ее направления б. Чтобы исключить из системы уравнений (42) старую независимую переменную В, продифферендируем первое уравнение (42) по б„второе †в и результаты вычтем Врут из друга, тогда, в силу очевидного соотношения дов доя дбдв двдб ' получим равенство: 1Г дто,ро дб1, 1 д.
Ро1 одф + 1 — — ~ аоо+ — ге'" — — — — еоо — ' = в~дбдв р дбдв~ в д, д 1 Г дор .РО доф ", 1 дт .. д Г1 ро'1дф + 1 — — ) Е — В1О -4- гам в~двдб+ р двдб) на дб + дв ~в р!дб ' которое после очевидных сокращений и выделения действительных и мнимых частей приведет к следующей системе уравнений: (44) 1 дт р„дф оо дб р дв' Замечая, что а Гро1 Ро ар Ро ар дд ро 1 11Р двор~ ро ив родр 'дв р' а' дв' а по теореме Бернулли таав = э др Р найдем после чего система (44) окончательно перепишется в форме: — = — — — (1 — МЯ)-д, дт ро 1 дФ дв рв дб ' дт Ро дф = — тю— дб Р дв' Введем вместо в переменную Чаплыгина т, равную Л вЂ” 1 во 1+1 а* где а* — крнтическвя скорость.
иелиниавизиеоввнныя теавнения движения газа 343 6амеияя в формуле Бернулли (гл. ссЧ) сва аа й+ 1 — + — = а', 2 й — 1 2(а — 1) :атласно предыдусцему Равенству а+1 с ыс а — 1 — а = — с толучим: 1~ 1) а а" с!куда следует: Я,с 2 с Ма = —— ас й — ! й-ь1 1 —: А — 1' 1 — сс 1 — с ! по (43) М ~ е — 1 )а с среме того, Х д дс д, дяс ды дс а+1 ачс дс ' дд й — 1 се д(с — =2 — — % — ° дсе а+1 ас дс Подставляя только что найденные выражения в систему (46), ~олучим систему уравнений Чаплыгина: а+1 1 — ", 1 й — 1 дф ам — 1 5 дс 2 (! ) д дт 2с д4 Я'=(1,,)с1а-с дс ' (46) 1 —— д (, — аЦ й — ! дФ д() — 12 (! — ) — 1+ — =О, дс) В дес 2с(1 — с)а Перекрестным дифференцированием и вычитанием уравнений сн:темы (46) можно получить раздельные уравнения для ср н чФ, причем 'ги уРавнения будут линейными уравнениями второго порядка в част'ик производных.
Так, например, уравнение для функции тока ф псеет вид: 344 плоское впзвихэввое движение сжимаемого глэх 1гл. ю нлн, если вернуться к коордвнатам тэ, 9 и ввести местную скорость звука а, Диссертация С. А. Чаплыгина содержит наложение ряда применений предыпущнх уравнений к расчету струйных обтеканий тел.
Для реп|ения этой задача устанавливаются общие разложения в ряд, которые позволяют непосредственно судить о влиянии сжнмаемостн гааа при дозвуковом течении на струйное обтекание тел. Отсылая интересующихся к орнгнналу, ' обратимся к рассмотрению другая задачи — о дозвуковом безотрывном обтекания крилового профяля Слелуа С. А. Христнаноэичу, Я введем прежде всего э уравнения Чаплыгина !46) вместо независимой переменной т новую переменную Л, равную Л= — = ~ — к'т ГЛ+! ач г' я — 1 тогда, замечая, что перепишем уравнения Чаплыгина 146) э виде: дт Л дэ де ° Ф 1 .пэ- 7Л* (! — — - Лз~ дт 1 — Лз д9 ду ! (1 — — Лз) !49) Если теперь ввести вместо Л незавнснмую переменную э, свяванную с Л дифференциальным соетно1пеннем з В настоящее время яыпжа кавос издание работы С.
А. Чапа ыгняэ „О газовых струях в серяк,Классики естествазваиия', Гастехизлат, 1949. з С. А. Христи анович, Обтекание тел газом йри бахья1их лазэуказых скарастях. Труяы 11АГИ, вып. 481, 1940, а также С. А. Х ри ст каповв я ч и И. М. Ю р ь е в, Обтекание крылавага профиля пря лакритическак скорости потока. Прика, натем. и ыехзп., т, Х1, вып. 1, 1947.
$64. Метод С. А. Христнановнчв. Приближенные формулы учета влвяния сжнмвемостн на распределение давлеинн а 54! метод хеистилновичл пеивлнжвиные еоемтлы 345 (5 1) (51') 1+ .! й — 1 в в а / Т и 2 а* а лат У Г" ~/ й — 1 2 /,+~ — ! 2 а следовательно: ь;.~ и' 1, ='М 1.~-" 1 й 1 й+! М" ле — 1 — — °вЂ” 1 й -1- 1 а+1 2 й 1 1+ Мт 1+ — МЯ й — 1 2 2 то система уравнений (49) приобретет „каноническую" форму: — г где величина К представляет следующую функцию Л: 1 — ЛЯ еч-х (! — —,— ля) Решение задачи о бесциркуляционном обтекании профиля сжимаемым газом при сравнительно мзлых дозвуковых скоростях, основанное на применении упрощенной системы уравнений, было дано впервые проф. Н.
А. Слезкиным в 1935 г.' С. А. Христиановнч исследовал общий случай циркуляционного обтекания крылового профиля и предложил метод интегрирования строгой системы уравнения (51) путем последовательных приближений. В настоящем курсе мы принуждены опустить изложение глубокого по идеям, но весьма сложного с математической стороны метода С. А. Христиановича и удовольствоваться лишь простейшим приближением, дающим при не слишком болыпих дозвуковых скоростях в удовлетворительную точность.
Выразим величину К в функции числа М. Для этого заметим, что по формулам (65) гл. 1Ч: т Н. А. Слезкин, К вопросу о плоском движении газа. Труды МГУ, !Чй,"ь а также ДАН, нов. сер.„т. Ш, га Р, 1936 я См. только что цитированные работы С. А. Христяановича н особенно последнюю яз нвх, з которой дан подробный анализ первого приближения. Вопрос об области прииевниостя рассматриваемого приближения далее несколько уточняется. 346 плоское Везвихгевое ВВижвние сжимАемОГО ГАЗА (Гл, т! Таким образом, К как функцкя от числа М, равна: К=( — Ъ( + — '' М)=.
(51") Приводим график зависньюсти величины )/К от А и М (рис. 108), а также табл. 7 значений )/А для воздуха (/е= 1,4). Таблица 7 ~т (! О,#28 0,3701 0,4179 0,4663 0,5152 0,5649 0,6154 0„6668 0,7192 0,7727 0,8274 08834 0,9409 1„0000 035 0,40 0,45 0,50 О 55 0,60 0,65 0,9965 ! 0,70 1.0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,999! 0,9982 0,9211 0,8 925 0,8416 0,77 40 0.67 88 0,50. 92 0 0 0.05 0,10 015 0,20 025 030 0 0,0457 0,0913 0,1372 0,1832 0,2з 294 0,2759 0,9940 ~ 0,75 0,9899 0,80 0.9840 ! 0,85 0,9754, 0,90 0,9632, 0,95 О'.9461 ~ 1.!Е Как Видно из графика и таблицы, у' К при не слишком близких к единице аначениях 1, и М маюю огличаегся от единицы; так, напри- мер, при 1=0,65, М=0,61 19 )/К о на 5% отличается от единицы.
Заменим в системе (51) $/ К постоянной величиной, ко- Х горую включим в состав функ- 66- ции !/. В частное гн, можно положить К= 1 илн К=К . Тогда вместо точной системы 04 уравнений (51) получим в плоскости (з, 6) приближенную систему уравнений 67 че фд 96 10 Х ничем не отличающуюся от Рнс. 108. условий Коши — Ряманна, свя- зывающих В и ф в плоском движении несжимаемой жидкости. Равенства (53) естественно сравнить с аналогичной сне!смой уравнений в плоскости годографа (г, 6) д»я несжимаемой )кидкости (А= О) („ змейка" вад буквой показывает, что соответствующая величина относится к потоку несжимаемой Вощкости)! (53') де дз дз да 54) метОд хРнстнаноаичА.
пРЯБлиженные ФОРмулы 347 и'ы ЕЛ ~ ге) ы 7' вытекающим из (50) при Л =О. Предположим теперь, что в физической плоскости течения несзппчаемой жидкости л определено обтекание заданного крылового профиля С с циркуляцией, отвечающей плавному сходу струй с задней кромки профиля. Вычисляя ге, Л, 6, з, 9 н ф в функции от х, у, можем определить и все элементы в плоскости годографа 16, з), в частности граничные условия задачи в этой плоскости. Переходя к приближенному решению задачи обтекания конгура сжимаелаьи газом, потребуем, чтобы: О =О, з=з.
(55) Для этого, согласно 150) и (54), достаточно связать скорости те я те нлн, что все равно, безразмерные скорости Л и Л соотношением: 1)Г: 1 — Ае ЛЛ ГЛЛ вЂ” = ~ — +сопз1, )/, =„Лт два 1 а -1-1 65) в котором консганту можно определить из условия, чтобы отноше- Л нне — стремилось к единице, когда Л стремится к нулю.
Соотвег- Х ствующая связь Л1Л) нли Л1М), ввиду некоторой громоздкости ее аналитического выражения, приводится в табл. 8 н в виде графика— Ба рис. 108. Таблица 8 М Л =— пч 0 0,05 0,10 0.15 0,20 0,25 0,30 0 0,0457 0,0913 0,1372 0,1831 0,2294 0,2759 0 0.0500 0,0998 0,1493 0,1983 0,2467 0,2943 0,40 ! О,'50 0,55 О,ОО 0,70 0.75 0,80 0.85 0,90 0,95 1,00 0,66688 0,71 92 0,77977 0,8274 0,8834 0,94489 1,0000 0,3228 0,3701 0,41799 0,46 63 0,5152 0,56499 0,61544 0,3480 0,3862 0,4307 0,4734 0 5144 0.5535 0,5904 0,6251 0,6568 0,6857 0.7110 0,7324 0,7483 0,7577 З есь под О понимается угол вектора скорости несжимаемого потока осью абспнсс, а под з — величина, определяемая равенством 343 плоское звзвнхгь воз двнжвнна сжнмзьмого глад [гл,,п 1 — " = 1 — — (55) Рче Рюш Но н для сжимаемого: 2Р Рчм Ро Рчв 2 йя"'~ чв 2 .~ м~ з ге<~ (:)- Замечая, что по (52) 2А2 МЯ = в+ 1 — (а — 11 сю получим: 2 а+ Мт (а — 1)л'- Вт Заметим, что при рассматриваемом допущении К=сопз1 соот ношение (55') могло бы быть заменено более простым приближенным Прн выполнении требования (55) система равенств (53) позволяет обычнымн приемами теории плоского несжимаемого потока найти в плоскости годографа (г, 5) поток сжимаемого газа, отвечающий тем же граничным условиям, что несжимаемый поток в плоскости (г, 5).
Однако отсюда еще не следует, что и в физической плоскости тече ния з контур С совпадет по форме с изученным в плоскости з не. сжимаемого потока контуром С. Как показывает основное равенство (41), элементы дуг контуров, а следовательно, н сами контуры С и С не будут одинаковы. Можно было бы доказачь, что при не слишком больших дозвуковых скоростях разница в форме профилей невелика. В ранее цитированных работах С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
