Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 57
Текст из файла (страница 57)
При е = 2, т. е. в случа~ обычного преобразования Жуковского — Чаплыгина. формулы упрощаются. По вычисленным значениям !и р, е строим график 1и — . 1(ля обработан Рэ (е). а полученной кривой к виду (110) можно применять любые известные приемы гармонического анализа, В ранее цитированной работе Я. М. Серебрнйского излагаются остроумные приемы, позволяющие легко получать трнгонометриче скнепредставления резких месяеныл отклонений нз кривой вблизи точки е = е при помощи комплексов вида 1+ соя(е — е,) 1я е названных автором „горками'. Применение широко затабулированных автором „горок" сильно сокращает объем вычислений, необходимых для опреде.
пения коэффициентов а„н Ьо. Опуская изложение практических деталей вычислительного характера— их можно найти в ранее цитированной работе Я. М. Серебрийского,— будем считать, что рял (110) уже составлен и коэффициенты его а„, Ь„определены. Обратимся к установлению приближенных формул конформйого отображения области вне „почти-круга" це в плоскости комплексного переменного ( на область вне круга й в плоскости еь Введем обозначения: 48) ОБТВклннв пРОВВВОльного КРЫЛОВОГО пРОФилй З)З вЂ” = лэ + ~', (а„соз пэ+ Ьш зш яч). Рэ (э) л 1 Это равенство полностью совпадает с ранее установленным разложением (!10). Таким образом, искомые коэффициенты а„и Ь„, входящие в преобразование (112) через комплексные коэффициентй С„, оказываются уже известными.
После этого не трудно по (112т) вычислить комплексные коэффициенты Сгэ тем самым полностью определить основное преобразование (112) и решить поставленную задачу. Опыт многочисленных расчетов показал, что для употребительных на практике крыловых профилей изложенное первое приближение оказывается вполне достаточным. Совокупность равенств (100) и (112) дает преобразование части пэоскояш л вне крылового контура К на внешнюю по отношению к окружности круга Е часть плоскости ш, т.
е. как раз то основное конформное преобразование (74), о котором говорилось в 0 42 (вспомнить рис. 85). Желая найти распределение скоростей по поверхности крылового профиля К или вне его, используем комплексный потенциал Х(ш) обтекания кругового контура Е с наложенной на него циркуляцией. Будем иметь г(Х ЛХ Лш Ль (/(л) = — = — ° — ° —. Ля дш Л( Ил ' Величину изложенной циркуляции определим, пользуясь постулатом Чаплыгина о плэшюм обтекании зздней кромки крыла, представленным формулой (80). Заметим, что последние два сонникителя в только что составленном выражении комш1ексной скорости имеют чисто геометрический характер и не зависят от кинематическнх условий обтекания †скорос и угла атаки.
Зто делзет простым пересчет распределений скоростей с одного угла атаки Лш на другой, если комплексные величины — „и — для заданной формы кры- сГ Лл лоэого профиля уже определены. Расчет поля скоростей вокруг прафияя представляет особые вычислительные трудности, удачно обойденные Я.М. СеРебркйскнм путем применения специальных приемов.
В методе С. Г. Нужина промежуточное отображение иа „почти-круг" отсутствует н решение задачи сводится к непосредственному отображению области, внешней по отношению к крыловому контуру К, на область вне кРУга Е (см. Рис. 07). Бдя этого между физической плоскостью течения л и вспомогательной плоскостью ш устанавливается соответствие в форме рида Лорана л=сэ+ + ~ — „, л=1 (113] с неиавестньшн комплексными ьоэффициенэзми си = (эя )-(чш В,1боре угла ч, а следовательно,и э.
контур ,почти-круга" Кэ будет мало „тличаться от контуРа круга А, соответствующие точки будут близки друг „ д(,угу и, клк показал Я М, Серебрийский,можно с лостаточной для прахи„и точностью пренебречь в первом приближении разницей межлу поляр„,ии углами э и В соответствующих точек в плоскостях ч и ш. При желании метод позволяет поэучить следующие приближения, учитывающие разницу между углами э и 6. Замечав. что для точек. лежащих на контурах К* и Е, будет: 1=1, Р— Р„(а), перепишем в принятом приближении (6 = э) первое равенство предыдущей системы в виде а)4 плос!п>е незвихревое движпнип жидкости <гл. т Пола!ая в (113)» =асп и выделяя в нем лействительную и мниму», части, получим систему двух действительных равенств: х(0) =рв+асов0+',"Р (Рнсоэпб+тиэ»ВПО), и=1 (ПЗ) У(0) =»э —, аэщ О+ "~', (»исоа а0 — Риюп ВВ), и=! хт (0) = — ~ х (О) — х (2г.
— 6)) = ~ч~„' А л з!п а 1, и 1 (! 14) Г СО -У1(0) = 2 ~У(О)+У(2т — 0)~ = А» ! У, АчгсзяО, и 1 1 Г У,(0) = — Р (О) — У(2.— 0)~ = ч» В„згл ВО. и=1 Входящие сюда поные коэффициенты Фурье: А„= ти, В„= — рю В1 = а — рт могут бмть определены по обычным формулам! (1!4') 1 2 1' Ав = — ~ .т! (0)»<0. А„= — ~ .т! (0) соз ВО»>6„ о о (119 В„= — ~ ут(О) зш ВВ »<0 2 >* о Неизвестные коэффициенты Я»и В„определяются следующим процессом последовательных приближений.
За нулевое приближение принимается. <ф 1 „, О „<в> В,!<в> ВВО <о> что соответствует отображению на круг пластинки. Затем, задаваясь последовательными значениями В и соответствующими Вначеннямн х<ч>, определяют по чертежу крылоного профиля величины ордииату<1> 10 1, а также у<1> (О) н ут< > (0) проведенных через выбранные абсциссы. Пользуясь интегральными выраже виями коэффициентов Фурье (115), по найденным значспивм у<'> <6) и у<в!> (0) предо»ивляющих параметрическое уравнение крылового контура, выражен. ное через параметр  — угол в плоскости»» между радиусами-векторачи точек иа круге Х„соответствующи ! точкам на контуре К, н действительной осью.
разобьем координаты х(0) н у(0) на полусуммы и полуразности их заа. чеиий на кру»е Е в точках с угловыми координатами В я 2п — 6, положив . (О) = . (В)+х (О) У(О>=ут(0)+У 10), 11 х! (В) = — ~х (0) + х (2п — О)~ = рв+ 2а соз 0 — 1», 'В„соз ВО, и=-1 4Щ ОБТЕКАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 315 1 1' б' — б, 1 1 х(0) = — — ~ у(0') сея — пб + — 1 сов б — — 1 з»п В+лопай 1 2 .1 2 2м 2к 0 23Е у (О) — — х (О') с»н — Лб'+ — Ем зш В + — 1 соа 0-1- сопзй в (1 16') Определенные в точка к крылового контура производные Лл = —, » к =— Дх Лу '"~ бб' " гЕО удовлетворяют системе равенств: зк Л (В) = — — Л (Ы) с»Я — АВ' — — Е„юп 0 — — Елсоз О, ~ е (117) 2 1Г,О' — В!1 Лк(0) = — ~ Л, (В') стй — гЕО'+ — Е соз 0 — — Е аш О, 2з~ и 2 2 и 2 опрея делают новые значения козффициентов Ае .
А„н В„в первом приблн- РО О» О» р„н. Эти значении козффициеятов позволяют найти новые функции й»(0) хЕзт»(0), а зто в свою очередь по предыдущему приведет к уточнен- ~! ным значениям ординат и т. д. Не останавливаясь на весьма интересных деталях метода С. Г. Нужина, блегчающих проведение выкладок н лелающих нх наглядными, заметим. что ору метода улалось провести докааательство сходизьосши процесса послевательных приближений, что выгодно характеризует метод с теоретической стороны. »Иожио заметить, что наибольшие вычислительные трудности в обоих лько что рассмотренных методах связаны с необходимостью определения козффициеитов ряда Фурье, выралшющего логарифм огиолеиия радиуса-вектора точек „почти-круга" к радиусу круга через угол в промежуточной плоскости в методе Серебрийского.
или координаты крылозого профнля в физической плоскости в функции от поляр2юго угла в вспомогательной плоскости з „етоде Нужина. В первом из указанных методов для втой цели с успехом используетсг способ .горок", во втором приходится непосредственно вычнслзть квадратуры (115). В методе Л А. Симонова основную роль играет преобразование внешней по отношению к контуру крыла Е( части плоскости з на часть плоскости и вне кругл Е., аналогичное (113).
с той лишь разницей, что при и в первой степени сохраняется комплексный козффнциент. Замечал, что из первых членов разложения (113) можно выделить группу, представляющую отображение некоторой .зквиаалентиой" пластинки, имеющей одинаковую с рассматриваемым крыловым контуром подъемную силу, Л. А. Симонов интерпретирует указанный комплексный козффнцнент, кзк одну четверть комплексного вектора, совпздлющего по величине и направлению с эквивалентной пластинкой.
Ряд (1!ое может быть представлен црк атом в виде (Ез и 1з †проекц эквивалентной пластинки) з= — (1 +11з)~+с„+ ъ'"'„. (Ыб) я=1 Отделение действительной и мнимой частей приводит к рядам, аналогичным (113'), которыш пользуясь нзвестнымн формулами теории функции комплексного переменного. удается представить в интегральной форме: 316 плоское ввввихвввов движвнив жидкости [гл, в аналогичной (11Р). Расчет Функций: я(6), у(6), Хл(6), Хи(6) может быть произведен путем последовательных приближений в системах (116') и (11у) причем входящие в правые части этих уравнений интегралы могут быт„ сведены к суммам, аналогичным применяемым в механических квадре.
турах. Основной особенностью метода Л. А. Симонова является усгзновлениая им тесная связь между параметрическими выражениями координат крылоного профиля к(6). у(6) и величинами Х,„(6) и Лз(6), входящими в основную формулу распределения скоростей. Это позволяет при пользовании методом 1 нршчичесние щечки нраюичеснан шчна Рис. 98. разрешать как ирянгую задачу разыскания распределения скоростей на по. верхиостн заданного профиля, так н оораткую задачу определения формы крылоного профиля по заданному распределению скоростен или давлений по его поверхности. Расчет по методу Симонова становитси особенно простым, если после дуемый произвольный профиль сравнивать с близким ему профилем. обтекание которого уже известно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
