Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В самом деле, углу к в точке гете соответствует угол 2я в точке Р, в чем легко убедиться, переписывая преобразование (98) в форме (99) и производя сравнение аргументов левой и правой частей для л и ч, мало отличающихся от -+-с [см. (79) 9 42). Показатель степени в правой части (99) приводит к удвоению углов, имеющих вершины е в особых точках. В точках А, и А,, как видно из рис. 94, конформность не нарушается.
Основная идея построения теоретических профилей Жуковского— Чаплыгина заключается в следующем. Возьмем в плоскости ь круг К*, центр которого несколько смещен влево так, чтобы круг Ке соприкасалса с кРУгами С" и Сг в точках на оси 0$. В силУ непРеРывности преобразования легко сообразить, что кругу Ке в плоскости ч, рас~оложенному в кольце между кругами С и См будет соответствовать не"оторый замкнутый контур К в плоскости л, расположениый в области между эллш1сом С и отрезком гг".
При этом в точке [ч контУР К б)дет иметь острую кромку с нулевым внутренним углом " внешним углом, равным 2к. Симметричный контур К с задней ~~~рой кромкой, известный под названием „руля Жуковского", имеет обтекаемую форму и представляет первый пример крыловых профилей плоское ввавнхвввов движвние жидкости ~гл. в Жуковского — Чаплыгина.
Проводя другие окружности со смегденнымв относительно начала координат ~0 ~пентрами, причем такие, чтобм всегда по крайней мере одна их точка совпадала с особой точкой Р ° получим всевоэможные профили Жуковского — Чаплыгина Вместо (98) и (99) иногда рассматривают преобразования: га а=~+в 297 чАстныв случАи кОИФОРмного Отовважания 8 48) личаюшиеся от предыдущих масштабным коэффициентом '/а; так, пресзчравования (98') и (99') переводят основной круг С" в отреаок ва оси Ох, в два рава больший чем диаметр круга. Не вдаваясь в детали геометрического построения профилей Жуковского — Чаплыгина, ~ приводим на рис. 98 различные типы профилей.
Если центр круга К; находится в точке Ф, оси 0$, то в плоскости а получим „руль Жуковского" К, (показанный на рисунке пунктиром). Круг С* переходит в отрезок РР' (круг С" н отрезок 1-"Р" показаны пунктиром), служащий „схелегпом" руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении относительной топцины руля контур его Кз будет стягиваться к отрезку гг"". Поместив центр круга Кз в точку йуз на оси ОС, получим в плоскости а круговую дужку Ке, опирающуюся в концы отрезка ГР'. В самом деле, соединяя точку М окружности Кз отрезком ОзМ=г с началом координат Ое и обозначая полярный угол череа т, будем иметь: г гег» и, согласно (98), Сравнивая з этом равенстве действительные и мнимые части, получим: х= — ~г+ — )созз, у= — ~г — — )мпн Исключая из этих двух равенств г, найдем, что хвз1пз — узсоззз =сзмпззсозз».
(*) С другой стороны, соединив точку М с центром Л'з круга К„ радиусом аз, получим й7АМ'= О'Мз+- О'Жз — 20АМ ° О'"Ф~жп >, вли, как видно из чертежа (р' — угол между линией центров М~, И смещенных окружностей и осью Озе), — = гз+ сз 1дз ~1 — 2сг 1д ~ з1п ч, саез 8 откуда следует — = 2с ° 1я рьтп'~, 2у гз- ез з1пч г апач = —, соз з =- 1 —— у з. с 188' с ° ар ~ьь К я бель, Кочни и Розе, Куре теоретзческой гндромехзяиан.
'" 1. 1946, стр. 278 — 288; „Азрод~щзмвка'. под ред. Д ю р з яда. т. Кч ОбоРовгзз, 1939, стр. 92. 298 плесков ввввнхгзвов дннжвннв жндкостн (гл. ч Подставляя зтн величины в равенство (е), после простых приведе ннй получнм уравнение круга: лв+ (у+ с ° с18 2~)в = сз ° сзсз ф, с центром в точке (О, — с с192р) н радиусом ссзс2р, что н дока. зывает ранее сделанное утверждение. Полагая в уравнении круга к= О, найдем стрелку прогиба 6 дужки (рис. 95, снизу): В=с-ар. Отношение стрелки прогиба 8 к хорде РР' = 2с определяет зогнуаосщь дужки илн, при малых 11, Наконец, круг К" с центром в любой точке И плоскостн С,преходящий через особую точку Ре, переходят в изогнутый профиль Жуковского †Чаплыги К Дужка Ке служит скелетом для профили К, так же как отрезок РР' †д руля К,, Вогнутость дужки Ке представляет вместе с тем и вогнутость профиля К.
Если, сохраняя вогнутость профнля К, уменьшать его толщину, то профиль будет стягиваться к своему скелету" — дужке Ке. Рассмотрим теперь задачу об обтеканнн профиля К потоком со скоростью К направленной под углом й к осн Ох. Проведем во вспомогательной плоскости ч осн Ы н №1' с началом в центре смещенного круга И.
Плоскость комплексного переменного ь' = 1'+ й1' повернута относительно плоскости ь на угол — р, так что, положив ( =е з(„ приходим к соответствию между плоскостями ь н Г" с параллельнымя осями координат: ь=с — пе ~+ь. Таким образом, гюлучнм1 е=-~(+ — ) .9.~с — ае 'а+С + „)= 1 „1 -г 1 ет 1гт(е — ае З) = — Г+-9.
(с — ае з)+т( — „— 9 + ." откуда, сравнивая с (94), найдем: 1 1 -а, 1 г%о — 2 з из — 9; (с Йе 11 гл1 — Ч; свэ 1 4ь вг= — — св(с — ае 2 ~ Об) чАстныв случАи коиеОРмного Отоиэьжзияя с;отлаяло (80), будем иметь (е — р): à — 2яа~ 'г" 1мп(р+О ), а следовательно, подъемная сила будет равна: 1Й1=р! Ь' ~ ° ~Г1=2пра~ у 1вз1п(р+О ).
Направление бесцяркуляционного обтекания найдем, положив ~К~ — О; 6Удем иметь (О )»ч= — Р. Коэффициент подъемной силы можно получить, если задаться каким-нибудь характерным размером крыла, через который выра- вилась бы величина а. Так, если обозначить расстояние М<,М через Ь, то легко найти." (а — а)совр=с, а= — +а. соэ О р и Ь обычно очень малые величнпы: первая характеризует зознутость профиля К н просто связана со стрелой про'иба1 дужки К,„ вторая зависит от толщины профиля. Примем условно эа хорду профиля К отрезок РР' длиной 2с, стягивающий скелет профиля Ке, Тогда для коэффициента подъемной силы получим выражение: с = =2п~ — + — ~з1пф+О ), 1И~ г 1, дт У 1, э ~Со»Р с 2Э1 "' или, прииимаа р, — и угол атаки О. малымп, будем иметь: Ь су — — 2п ф+ О )," при ~1=0, А=О получим известный уже результат для пластинки.
Фокус слабо изогнутого тонкого крыла расположен в непосредственной близости фокуса пластинки, т. е. на четверти длины РР' От точки РР. Действительно, по (97) при малых р и а: т» 1 1 ст ео =то — — »е и = — (с — ае-»Э) — — е»Э а 2 ха 1 = 2 (с — (с+А)(соэ11 — хипа — -(с — Ь)(созр+1з1п р) = — ел с+ вел. 2-го пор. малости.
1 зоб плоскоа вгввихвввоз движвнив жидкости [гл. „ Независящий от угла атаки гюстоянный момент Ео относитель фокуса О' равен по (96'): Ео = — 2прт ~ У ~г д. ч. йп,е — ""= = — 2пр*.2 ~ У ~в ° — сед. ч. 1еггг= СО -пр ° ~ У ~гввз1пг2~ ='яр( (г (зев~ 1 а козффипиент момента относительно фокуса— ьо 2 У симметричного профиля (руля Жуковского) р= О, и фокус является постоянным центром дивяения, Результат этот позволщт пользоваться симметричным профилем как удобной формой для рулей.
При атом ось вращения руля проводят через постоянный центр давления О', что дает сравнительно мааые вращательные моменты. Преобразование (99) илн (99') приводиг всегда, как было показано, к крыловым профилям с нулевым углом на задней кромке. Такая кромка недостаточно прочна и при фактическом выполнении профилей приходится несколько утолщать кромки. Чтобы избежать етого нелостатка, можно пользоваться обобщенными профилями 1гТУ- ковского — Чаплыгина, соответствующими обобщенночу преобразованию (при в= 2 вто преобразование сводится к обычному преобразованию Жуковского — Чаплыгина (99')1". ) ° '=' — —. ( ) Выясним геометрический смысл параметра т. Вблизи точек ~=с и г=ае положим: С = с+ рве", е = ее+ ге~'; тогда с точностью до малых высших порядков получим откуда следует: в=е (2 — -). Углу е' =и в точке ч=е соответствует угол е=2в — т вблизи г=-ос.
Отсюда вытекает, что круг, проходящий в плоскости ч через 4я зАдАчА ОВ овтякаиии слАВь изогнутой дужки йб1 чку ь= с, преобраауется в плоскости я в профиль с углом на адней кромке, равным т. Пример такого профиля показан на рис. 9б. останавливаясь на выводе,' заметим, что наклон кривой су(в) р Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
