Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Все зависит от величины циркуляции скорости, вычисленной по замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Величина этой циркуляции, так же как и природа возникновения в идеальной жидкости вихрей, сумма интенсивностей которых должна быть равна этой циркуляции, представляла долгое время неразрешимую задачу. Физическая причина возникновения циркуляции связана с наличием трении 1вязкости) в жидкости. Как уже неоднократно упоминалось ранее, в реальной жидкости, обладаюп«ей внутренним трением, частицы, проходящие в непосредственной близости к поверхности профиля, образуют тонкий пограничный слой. В втой области резко проявляется неидеальность жидкости, двюкенне жидкости будет вихревым, причем интенсивность вихрей может достигать больших значений, так как скорость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на повеРхности обтекаемого тела до величины порядка скорости на бесконечности на внешней границе слоя.
Так, например, на крыле самолета максимальная толщина пограничного слоя не превосходит нескольких сантнметрон, в то время как равность скоростей на поверхности крыла в на внешней границе пограничного слоя дос «игает величины 100 — 200 м ««сек1 нду. При таких значительных неоднородностях скоростного поля суммарная интенсивность вихрей по всему крылу, а следовательно, и цируляцня скорости по замкнутому контуру, охнатывающему крыло, м«»кет достигать больших значений. Т~ория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения, естественно, не могла объяснить возникновения вихрей з набегающем на тело "о безвихревом потоке. для того чтобы, оставаясь в рамках теории цдеаль««ого безвихревого потока, определить величину воздействия Вм. Избр.
соч., т. 11, стр. 97. 2/8 плоскоя Бззвихгзвоа дВижвниВ жидкОсти (гл. э потока на помещенное в него тело, заменим, следуя Жуковскому, кон. тур тела замкнутой линией тока и предположим, что внутри нее происходит движение жидкости с „особенностью" — вихрем, имеющим ту же интенсивность, что и сумма интенсивностей вихрей которые образовались бы на самом деле в тонком слое на поверх.
ности тела при обтекании его реальной жидкоетьЮ. Такой вихрь Н. Е. Жуковский назвал присоединенным к рассматриваемому тзер. дому телу. Интенсивность „присоединенного вихря", или, что то ж, циркуляция скорости по контуру, окружающему крыловой профиль могла бы быть принпипиально вычислена только при помощи расчета движении реальной жидкости з пограничном слое илн при оомощи некоторого дополнительного допущения об общем характере обтекания тела. По последнему пути пошел, как было указано в предыдущем параграфе, С. А.
Чаплыгин, предложивший свой замечательный постулат конечности скорости на зздней острой кромке крыла, позволивший определить величину „наложенной" циркуляции, или, что то же, интенсивность „присоединенного вихря". Эти две глубокие идеи великих русских аэродинамиков Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина: присоединенный вихрь и пос/пулат конечности скорости на задней кромке крыла — легли в основу всей современной теоае / / рии крыла. 1 / / Начнем с доказав тельства теоремы Жус 1 ковского о подъемной 6 силе крыла в пло- в й х скопараллельном по1 Ф токе. Предлагаемое ни же векторное доказа тельство теоремы ЖуС ковского только цо форме отличается от классического доказаРнс. 89.
тельства этой теоремы, данной ее автором.' Применим теорему количеств движения в форме Эйлера 5 23 формула (38)) к объему жидкости, заключенному между поверхностью обтекаемого контура С (рис. 89) н проведенной в удалении от кои тура С окружностью круга С, с центром в точке О и радиусом г. ПРенебрегаа объемными силами, будем иметь, заменяя в формуле (38) 5 23 ь См. предыдущую сноску, а также статью И.
Е. Жу ковского „О кон турах поддерживающих поверхностей аэропланов". Избр. соч., т. стр. 11У. 48) твоввма жя«овс«ого о подъвмной сила кгыла 279 илу плоского характера течения, Иа на а~а . 1: — ~ рп'сЬ вЂ” ~ рп сЬ вЂ” ~ РЧ Ъ'„Фг = О. с, й=~ рп'дз, где и' — нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему жидкости. Таким образом, по предыдущей формуле получим выражение искомой силы 1с через главный вектор давлений и перенос количества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля круга С„: 1т= — ~ рвай — ~ РЧЬ'„~Уз. «82) По теореме Бернулли р$/з р = сопз1 —— 2 ' причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в слу- чае безвихревого движения одинаковое значение во всей области тече- ния, а следовательно, и на круге С„, так что 2 182') с„ Разложим вектор скорости Ч на два слагаемых, положив Ч=Ч +Ч', где ׄ— скорость в бесконечном удалении от профиля, а Ч' — скоРость аозмуи1ения, вносимого профилем в однородный плоскопараллельный поток.
Относительно этой убывающей до нуля с удалением от обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что ее модуль Ъ" убывает с ростом расстояния г от начала координат, вб близи которого помещен профиль, как —. Это предположение соот- 1 ветствует пали.ию „присоединенного" к телу вихря и конечности "иркуляпии скорости по любому замкнутому контуру, например, о"Ружности С„длины 2пг; подробнее о порядке скорости возмуще"на будет сказано далее, ц этом равенстве опущен, как равный нулю, перенос количества юкения сквозь твердую поверхность профиля С. Первый интеграл „„едставляет главный вектор сил давления со стороны обтекаемого тела на жидкость. Та же величина с обратным знаком определит иско„ый главный вектор сил давления жидкости на тело 280 плосков ввзвих ввоз движения жидкости (гл. т Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82'1 получим: К -рР 1псЬ+р 1(У ° У')пЖ+ — р~ У псз— ОЭ ОЭ 2 с„ с Ф вЂ” рУЧ У са — р 1 У У сь — р 1 У Ь'яс1з с„ с„ с По предыдущему (гл.
1, формула (68)), первый интеграл равен нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при огсутствяи источников — стоков и неакимаемости жидкости полный расход жид- кости сквозь контур С„равен нулю: Ь;,сЬ=О. с„ рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов: ((У У')п — У'и )са= ((У ° У')п — (У ° п)У')агз, которую по известной формуле разложения тройного векторного произведения можно представить как У Х(пХУ)сз, с, или, заменяя У' на У'+У =У, что можно сделагь, так как при атом добавится интеграл ~У Х(.ХУ ),В=У Х(~.ФХУ 1, тождественно равный пулю, получим У Х(пХУ)из=У Х 1 пХУг1 . Г у Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного вектора сил давления потока на профиль С: К=рУ Х ~ ПХУг1з+ — р ~ У'поз — р ~ У 11„Ж (88) Вектор Г = ~ п Х У ~Уз 48) теОРемА жукОВскОГО О подъемной силе кРылА 281 напр" .
-чен по перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция Г, на згот перпендикуляр, которую мы обозначим просто через Г и б дем считать знак входящим в определение величины Г, Окажется Разной (рнс 8 ) Г= ~ 1'яп(п, 11) юУУ= ) Ъ'соз(п, 1)~Ь= ~ $е,сЬ, е. циркуляции скорости по контуру С„или по любому другому контуру, охватываюшему обтекаемый профиль. Таким образом, первое слагаемое в вырюкении главного вектора сил 1с не зависит от 1 положения контурз С„, остальные дна имеют порядок —, так как г' 1 подинтегральные функции представляют величины порядка —, а длина контура интегрировании равна 2кг. Отсюда при переходе к пределу, когда окружность С„удаляется на бесконечность (г-ч со), следует искомая формула 14=811 ХГ, (84) где вектор Г опрелеляется как криволинейный интеграл Г= НХ'11еге, (85) взятый по любому контуру С, охватывающему обтекаемый профиль С, в частности по самому профилю С.
Величина зтого вектора равна пиркуляпии скорости по замкнутому Ахнилуру, охватывающему зрсфиль. Из равенства (84) находим величину главного вектора сил давления потока на, тело: й = 81'- Т!- (86) Главный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости сечения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности с1орону, определяемую век горным произведением (84). Обычно бывает О 1ень трудно заранее определить, в какую сторону направлен зек'ОР Г: внутрь илн наружу относительно плоскости чертежа.
Если известно направление обхода контура, при котором Г ) О, зто направление условно нвзывают направлением иолозкительной циркуляиии, или, короче, „направлением циркуляции" — тогда по общим "Равилам принятого у нас в курсе „правого винта" легко найти и ~~прону, в которую напранлен вектор Г. Так, если напранление циркуляции совладает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает ~~сна, вектор Г направлен вглубь чертежа, а сила й †вве; зто же можно получить, если вектор скоросги Ч повернуть на 90' " ~торону, противоположную циркуляции. плОскОе Бязвихгввоа движкния жидкости [гл.
т Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы Жуковского, данной самим автором: сила давления невихревого потока, текущего со скоростью 1' и обтекающего контур с цир куляцией Г, выражается формулой: й =р~.Г; направление втой силы мы получим, если вектор Ч повернем на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.г Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского, заключается в отсутствии составляющей силы, направленной вдоль движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по отношению к жидкости, т. е. отсутствии силы сопротивления.
Этот важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части курса. Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как прн наличии „присоединенных вихрей", так и при отсутствии их. Единственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается поперечная движению тела сила, которая может быть названа подземной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете. Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского †Чаплыги„ можно по формулам (86), (80) или (81) получить выражение величины подъемной силы в виде )с=4кат р~ У ~авп(ео — 0 )=4яат р~ 1" [аз[па, (87) впервые указанном Чаплыгиным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
