Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Подтвердим зто заключение еще одним хараатериым примером. рассмотрим функцию Р(У) е l = е 1т+гф) = е т(соз ф — г мп ф), ~охраняющую действительное значение при ф = 0 и ф = к и имеющую чисто мяамос значение прн ф = 2' Сос'валяя вновь основное дифференциальное ур (бб) дх дх ду г1Х бт от — = — +1 — = е-т(соя ф — 1а)пф)+ я будем нисть для линии тока ф = —: 2' й — =О, — = — е т+$ е ее+1; дх ду ет ' де это — линия х= сопз1, которую выбором положения осей координат можно прилить за ось Оу1х = О). Вдоль втой линии скорость ие остается постоянной.
при й= — оо скорость равна нулю, при а =+со — единице; следова- я телыю. линия тока ф=-е — не .свободная'. Линии тока ф = 0 соответствует дифференциальное уравнение — +1~ е т+ е Ят — 1. ду дэ (73) Бели ч ~0, то подкорениое выражение не отрицательно и Уравнение 110) приводится к системе двух уравкеиий: дх ду ~- =О. Интегрируя, найдем: *»- — —.- — У.— — ~- ~аМ. у= сопз1 =О, где а н выб ана неопредеаенная константа натегрнрования, а линия тока у= сопзг Рана за ось х. Определим, какая часть Ох совпадает с рассматриваемым участком линии тока ф О.
для этого заметим, что: при ч — ось х= — со1 ррп о=о, К -П 1. 888 плоское веввихневое движение жидкости игл. ч Это означает, что отрезок линии тока ф = О, соответствующий ч -О представляется отрицательной стороной В'В оси Ох (рис. 83 а), причем йод;,' можно только утверждать, что — (а+1) ч.,О, так как в противном «лучас линия тока ф = 0 пересеклась бы с линией тока ф = —. 2' Рнс. 83.
При ф~.0 уравнение (73) дает систему дифференциальных уравнений свободном струн: д~у — =е ч, -= ! — е дл ду Интегрируя и определяя константы из условия непрерывного перехода предыдущего участка линии тока в свободную линию, найдем: ! 1 — г!— — — е т, у=1! — в вт+ — 1ой Кривая ВАт выходит из точки В(Ч!= О, х — (а+1)) по касательной к оси Ох и опускается вниз. стремясь прн !р -+ со к асимптоте х = — Я. причем по условию непересекаемости линий то!ог а»0.
Аналогично ведет себя н свободная линна тока ф = н. являющаяся зеркальньщ отображением аннин ф= 0 в оси Оу (рнс. 83н), йзямхя задача ткогия плоского дви)кнняй Ч обы найти положительную постоянную а, заметим, что расход чеРез е сечение струи, по определению фун~щин тока (формула (28), й 27), равен е„ -с другой стороны, при удалении от выходного отверстия будет з сече „пнях струн аснмптотически устанавливается однородный поток со ско,с, равной единице; отсюда следует (1олученная картина течения представляет, таким образом, вытекание жнхкости из безграничного горизонтального резервуара сквозь отверстие АВ ширины 2(а+1) =2~йи + 1). Как видно из рисуя~а, струн при выходе из отверстия сжимается, причем коэффициент сжатия струи равен 2а я 2(а+ 1) я+2 = — = 0,611. Эта цифра с большой точностью совпадает с действительно наблюдаемым значением коэффициента сжатия при плоских истечениях водяной струи в воздух.
г1а рис. 83 б приведена для сравнения другая теоретическая картина вытекания жидкости, рассчитанная при помощи непрерывного комплексного потенциала, который легко получить из (57), если поменять местами линни тока и изопотенциальные линии; для этого, как известно, достаточно заменить 7 на Будем иметь для отверстия с полуширииой, равной единице, 7 = ) агс э)п з. Линиями тока являются гиперболы, причем в точках отверстия А н В, в отличие от разрывного вытекания, скорости обращаются в бесконечность а давление — в отрицательную бесконечность, что физически невозможно.
1)рн одном взгляде на обе картины течения сразу видно преимущество разрывного течения. почти точно отражающего деиствительпую картину истечения. $42. Прямая задача в теории плоского движения ядеяльной несжимаемой жндкостя. Применение метода кояформных отображемнй. Гзпотезя Чаплыгина о безотрывяом обтекании задней кромкм профиля. Формула циркуляции В предыдущих параграфах рассматривалась простейшая задача плоского движения. По заданному комплексному потенциалу определялась форма линяй тока, часть которых принималась за контуры обтекаемых тел, часть — за обыкновенные жидкие линии тока и, наконец, в случае разрывных обтеканий некоторые линни тока играли особую Роль „свободных" линий тока, сорвавшихся с острых кромок обте"аемых тел.
Такая задача определении формы обтекаемого тела по заданному комплексному потенциалу течения могла бы быть названа »~братвой" задачей. (ораздо большее значение имеет лрялгая задача разыскания иле~~ого обтекания тел заданной формы. для решения этой основной Лалла задачи существуют два пути: 1) непосредственное решение уравнений )зпласа, которым удовлетворяют потенциал скоростей н функпдя тока, ИЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСГН ьГЛ.
И Х-Х У(7))=Х*6) =16). причем в некоторых случаях зто исключение не предсгавляет труда и приводит к равенству Х=Х(Я)ь в других случаях оказывается проще пользоваться параметрическим определением Х(е) при помощи системы п~ бииыооои поппи пь (75). В последнем случае сопряженная скорость Р определится в результате исключения С из системы равенств: — йх йХ йС тх (ьь У'ьс) ' (76) Е=УГ)- Наконец, в некоторых особо сложб) жпбиппыи Рппппиб~ьп попоипь ных случаях приходится для упрощения решетки прибегать к нескольким вспомогательным плоскостям. П Гьпбинный иптибнььи пРвпипо Остановимся подробнее на наиболее важной для дальнейшего вадаче внешнего обльеканан зазапнутого гладко2о контура с одной илн двумя угловыми точками.
Такого типа контуры (рис. 84) Рис. З4. испольауются как профили винта а и крыла 6 самолета, лопаток рабочих колес в, г и направляющих аппаратов турбомашин и др. Набегающий поток зададим вектором скорости на бесконечности. б> кпыппбои пппьпипь или заменяющих зги уравнения интегральных уравнений и 2) примене. ние методов конфорльнмх отображений. Второй метод, как практя чески наиболее простой, получил в последнее время широкое распре. странение. Основная идеи метода заключается в следукицем. Желая определить обтекание тела заданной, Подчае Очень слОжнОП форМН в фазической плоскости комплексного переменного г, производят кон.
формное Отображение течения на вспомогательную плоскость ком. плексного переменного С при помощи некоторой аналитической фУнкция Е=УР (74) причем предполагается, что преобразованное течение в плоскости г, проще, чем в плоскости л, и комплексный его потенциал Х*(ь) уже известен. Искомый комплексный потенциал Х(г) течения в физической плоскости л находится как результат исключения вспомогательного переменного 1 из системы равенств: иэямай задача евогй«плоского двнжкийй 27$ и этом конкретном случае будем предполагать, что аналитическая ф,„„ция (74) дает конформное отображение внешней по отношению „контуру С (рис.
85) части плоскости з, включая и „бесконечно удаи„ую точку" в=со, на внешнюю, по отношеюппо к контуру С* круга радиуса а, часть плоскости С также со включением точки ь = со. для того чтобы такое отображение было взаимно-однозначным, необ„димо, как известно, потребовать, чтобы бесконечно удаленная точка вспьиюсю ~пепьпап ппюсьюс и Риюежпап ппюспюспюь в=со переходила в бесконечно удаленную точку С=со и чтобы в этой точке сохранялось направление некоторой прямой, например, направление скорости на бесконечности Ф' ю при ( — +оо, «-+со, аск Ъ' = аги сс .
Замечая, что по первому равенству (76) где под комплексной величиной т здесь и в дальнейшем будем понимать коэффюшмент конформного преобразования т = — ~'(ь), сюе ~К ааключюя, что условие й' =агп у' =В =агд Ъ' эквивалентно требованию, чтобы коэффициент конформного преобразования в бесконечно удалешюой точке т был действительной и положительной величиной сл =~' (со) ) О, н, Следовательно, 2И йлоскоз везвихгзвос двшквнйе жнйкостй 1гл. т Комплексный потенциал обтекания круга в плоскости с извес|си ~ и будет равен, по (46) и (48): е е ат Ге Х 1')= г ~+ 1' Т+2 ° 1пь= 2%Б .= „(Р г.+к„Я+' —.Ы, (77) где Г* — произвольная, наложенная на круговой цилиндр циркугпщия; одну из постоянных (коэффициент преобразования ш или радиус круга а) можно задавать совершенно произвольно, например, пола гать равной единице.
Таким образом, решение задачи внешнего обтекания контура С свелось к исключению параметра с из системы уравнений: Докажем, что циркуляция скорости Г по любому замкнутому контуру С, (на рис. 85 показанному пунктиром), один раз опоясывающему крыловой контур С, будет равна наложенной на обтекание круга в плоскости ь циркуляции Г*. Для этого заметим, что по определеншо циркуляции и по (78) можно написать (д. ч.— символ действительной части): Г=1~ (ис1х+ ос(у) = сйр=д. ч. с1)(= 1 йг.
Эта общая длк обеих плоскостей постоянная Г является характерной для данного течения в двусвязной области и может (см. й 35) рассматриваться как „циклическая постоянная" двусвязпой области плоскости е вне контура С. При конформном отображении втой дзусвязной области на плоскость 1 циклическая постоянная сохраняелг свое значение. Из системы равенств (78) следует, что задача об обтекании профиля С потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконечности имеет бесчисленное лнолсесшво решений, зависящих от выбора величины циркуляции Г. С точки зрения математической теории идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
