Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В начале координат производные приобретают бесконечные значения. Если источник (сток) или вихрь находятся не в начале координат, а в некотоРой точке Л1о с комплексной кооРдинатой ар, то выРажения характеристических фугшпий будут: источнвк (сток): Х (и) 2 1и (а ео) (41') вихрь у(я) = —.1п(а —.а ).
Г 2чг Рассмотрим, наконец, случай комплексного коэффициента прн логарифме, а именно: у(з) = (А+ В1)1п яг (42') т. е. величина скорости обрааио прогюрниональиа ришиолнию ош источника или вихри. В начале координат, где источник вли вихрь расположены, скорость бесконечно велика; начало координат является особой глоткой поля скоростей, а сами образы источника (стока) или вихря называют пцгродинамическими особг~иосглими потока.
В дальнейшем нам придегся иметь дело и с другими „особенностями" потока: диполем, вихреисточииком. Рассмотренные только что течения являются безвихревыми движениями несжимаемой жидкости, т. е. во всех точках области течения, исключая начало координат, которое является особой точкой, выполняются соотношения: ди дп — — -=о, плОскОГ ввзвихгзвов ЛВнжВниз жндкостя (гл. т где А и  — действительные велнчины. Такой комплексный потенпии можно рассматривать кзк результат наложения друг на друга двух потоков с комплексными потенпналамнг у, (в) = А 1и з, «з(8) = Вг!па, т. е.
наложение на исгочннк (сток) вихря. Сложное движение, сосгавленное из згнх двух движений, представляет течение жндкостн вокруг вихреисточника (вихресгока) со спиралевидными лнннямя тока (логарифмическими спиралями), показанными на рис. 64. Если, вообще, Р У(г)=Уг(в)+Уз(в), а)ь то в составном потоке комплексный вектор скорости будет равен сумме комплексных векторов скоростей слагаемых потоков 1' н Ь'я.
Действительно, Ф з.а — «х «х., « «е «е ' «е а следовательно, переходя от сопряженных комплексов к основным, получимг Рис. 63. На агом основан просгой графический прием ггосгироения линий тока сложного нотона гю линиям тока слагаемых потоков. Рассмотрим (рис. 63) две пары смежных линий тока двух слагаемых потоков: ф„ф,+афг и фз, фз+афз, пересекающихся под некоторым углом, причем предположим, что эти линии тока проведены тжг, чтобы расходы жидкости сквозь трубки тока были одинаковы, т. е. Ьф, =арфе; отсюда, конечно, не следует, чторасстояння между линиями тока в каждой нз двух пар долми~ы быть равны между собою.
Можно лишь утверждать, что, если АйЧ ) Р'г и М№ ) 'Р'з, то постРОенйе пРОстеййих пОлеЙ течений 937 ь Зй! У С другой стороны, площадь малого параллелограма ММ М1М, равна одному из следующих равных между собою выражений: Мц!1 - ЛЖИ'= МФ'. ЛЙИ,. Дедя обе части этого равенства соответственно на обе части предыдущего, получим ММ' ! ( $~, ~ ММ1: ~ Кя ~, откуда следует, что отрезки ММ' и ЛИИ1 в некотором масштабе выражают скорости или элементарные перемещения частиц слагаемых движений. Проведя диагональ ММт параллелограма ММ М1М1, подучим в том же масштабе величину и направление скорости У, или элементарного перемещения сложного движения.
Отрезок ММ, вместе с тем дает элемент дуги линни тока ф= сопя! сложного движения. Таким образом, построив достаточно плотную сетку линий тока двух налагаемых друг на друга движений, простым проведением диагоналей элементарных параллелограмов найдем сетку линий тока сложного движения. Единственную трудность представляет выполненно построения сеток линий тока слагаемых движений, удовлетворяющих услошао одинаковости расхода. На рис.
64 приводится построение линий тока в случае вихреисточпика или вихрестока. Лучи (линии тока источника), выходящие из центра, проведены друг по отношению к другу под углами в 1О; расстоягшя между окружностями (линиямн тока вихря) подобраны так, чтобы расходы между каждыми двумя смежными окружностями были равны между собой н одинаковы с расходами между двумя смежными линиями тока источника Другим любопытным случаем наложения потоков является диполь. Возьмем на положительной части осн х источник мощ11ости д, находяп1ийся на расстоянии Ь от начала координат, и эквивалентный ему по мощности сток на том же расстоянии от начала, но с отрицательной стороны оси х.
Комплексный потенциал такой системы источника и стока будет, очевидно, равен у = — ч! и (з — Ь) — У- !и (л+ Ь). 2я Если, сохраняя неизменным и, устремить Ь к нулю, то сток ПОГЛОтит жИдкОСть ИЗ иСточНИКа И НИкакОгО движения НЕ ПРоизойдет. 1!Остудим иначе: устремив Ь к нулю, одновременно будем увеличивать д до бесконечности так, чтобы произведение мощности и на расстояние между источником и стоком осталось конечным и равным некоторой величине т1 !Пп д ° ЙЬ= лг. ь.+ о я-ьсэ Ь8 !нгоское Бсзвихгевое движение жндкосги !Гл. 9 Тогда комплексный потенциал у приобре!ег следуюгцее предель. пое выражение: у = йш 1 ~ 1и (е — Ь) — я 1и (е+ Ь)] = ь->о ь2" Ч.+со 1 ..
1п (е+ Ь) — 1п !г — Д) = — — 1нп о- 2Ь ° 1пп 2п ь-эо ь-+о 21! е.+ оэ Е.О о т !г лг = — 2 — — „0" ) = —.У;. (46) Такой поток был уже разобран в предыдущем пункте„его линии тока и изопотенциальные линии показаны на рис. 59. Рпс. 64. Предельный образ двух бесконечно близких особых точек — источника и стока с бесконечно большими интенсивностами — называ!от с!иполем, а величину па (она может бьггь как положительной, так и отрицательной) — момен!лом диполя. Ой~ илии~ квгглОГО цИЛиНДРл и 89. Бесцирк уляциоаиое и циркуляционное обтекании круглого цилиндра Наложим плоский, паРаллельный оси х одноРодный поток со скоростью р 1Ь' — действительная положительная величина) и ков~плексным потенциалом Хв=К в а скоростное поле диполя с комплексным потенциалом т 1 и составим комплексный потенциал сложного движения т 1 Х=Хв+Хя=1 Чтобы найти уравнение семейства линиИ тока, составим функцию тока ф(х, у) = Кчу+ — —, Полагая правую часть равной различным постоянным, найдем уравнение линий тока ~р + — - в в)у=совы.
Нулевая линия тока распадается на две кривые: 1) окружность: х +у = — — 1вл ( О) 2чКч т и 2) ось х: у=о. Выбирая произвольную до сих пор величину момента диполя равной 2г.1/ш ив=в а' по"учим нулевую линию тока в виде совокупности окружности Ост радиуса а с центром в начале координат и оси Ох (рис. 65). с~альные линии тока легко получить, задавая различные значения констант в уравнении (1 ",)у = сопз1.
плоское ввзЬнхгвЬов движение жидкости 1гл. э Полная картина движеви состоит иэ двух областей — вне и вмутрн круга. Первую область можно рассматривать как обтекание круглого цилиндра радиуса а плоскопараллельным потоком, имеющим на беско. нечностн скорость г'; этот поток имеет комплексный потенциал Вторая область представляет картину течения, образуемого находящимся в начале координат дннолем с моментом т внутлри круга радиуса а; этому потоку соответствует комплексный потенциал Остановимся несколько подробнее на первом потоке. Найдем распределение скоростей. Имеем, по предыдущему: лХ ать 3/= — У 1 — — . „).
По этой формуле можно найти сопряженную скорость Г, а следовательно, и комплексный вектор скорости И в любой точке потока Рис. 65. с комплексной координатой,а. Определим, например, распределение скоростей по контуру обтекаемого цилиндра. Для этого положим (0 †уг между радиусом контура цилиндра и осью Ох) в=лен ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА а зй) „будем иметь по прелыдупсей формуле: (1г).А..„= $' (1 — е-ем)= Р е-м(«м — е-м)=2Л~ е™ыпб, отку .Иуда определим модуль скорости на контуре круга ! У ! = 2 $7 мп 6. (45) Из этой формулы следует, что при плоском безвихревом обте- кании круглого цилиндра идеальной жидкостью скорости на его поверхности распределяются по закону синуса.
В точках А и В разтвлеиия потока 6 =к и 6 = О скопость обращается в нуль. Точки потока, где скорость движения обращается в нуль, называот кригли- ч«скпкл точками потока. При направлении движения, указанном на рис. 65, точка А называется ,передней" критической точкой, точка 8 в .задней". Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное значение при й = + †" в точкак С и О .Индел««ого сечения цв- 2 линдра; это максимальное значение скорости равно ! 'Р'! = 2$', т. е. удвоеннол скорости наБегающего потока (скорости на беско- нечности).
Иногда приходится иметь цело с обтеканием цилиндра плоско- параллельным потоком, скорость котоРого Р ., направлена под неко- торым углом 0 к оси ОХ. Заметим, что в этом более общем случае комплексный потенциал обтекания будет иметь вид: У=К г+Ь' (46) гле Ь' является уже не действительной величиной, а комплексным вектором, равным $' =! ъ' !е Выражение комплексного потенциала (46) легко получить из равенства (44), если ввести в рассмотрение дополнительную плоскост~ «', действительная ось которой наклонена к действительной оси плоскости « под углом О.. Тогда в плоскости «' скорость на бесконечности будет представляться действительной величиной ! Р' !, и по (4а) получим: х( ') =! р-!«'+! )'-!р 11олставляя сюда выражение «' через «: — чч « =«е Ф докажем правильность формулы (46): Х(~)=! Р' !« ° +! 11 !«'" ° — =Р' «+У 16 Зкч пчь л г.
лоьявсаа. 11л 242 нлоскоь Безэнхяьяо! дянжьниь жидкости Обратимся теперь к рассмотрению соответствующего формуле (46) распределения давлений ло контуру иилиндра. Лля этого вспомним что при беззихрезом дзижении несжимаемой жидкости давление р связано с величиной скорости ~ У~ формулой Бернулли (ч 66, равенство (12'))г р+ — = сопац г! Ит 2 Константу определим из услозня на бесконечности (зоззрагцаемся к обозначению ~ Ц = Ф'1 р р„+р 2 —— сопз1, тогда будем иметь, вводя безр змернмй коэффициент давления р: Р Рш К ь 1 4 йпз О. (47) Из формулы (47) следует, что распределение по контуру цилиндра безразмерного коэффициента давления р не заяиснг нн от размеров цилиндра, ни от яеличипы скорости и дазления на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
