Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Вместе с тен отсюда вытекает и важность рассмотрения безвихревых потоков с „особенностями" для нряблц. жеяия к действительно существующим Лзнжеияям. й 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций комплексного переменного. Комплексный потенциал и сопряженная скорость 7 9= дав+аз =0 дзч дтч уз (22) Граничные условия в задаче обтекания тела плоским, однородным на бесконечности потоком со скоростью Ч будут состоятт из услония непроницаемости зраниц тела: 1~я= — 0 на контуре тела С дт дп Изучение беззихревых движений начнем с простейшего класса такого рода неимений — плоского стационарного движения несжимаемой жьщкости.
Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается от соответствующего определения кинематики твердого тела. При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу. Поскольку во всех параллельных плоскостях движении тождественны, будем рассматривать лишь движение в плоскости хОу, подразумевая, конечно, что на самом деле разговор идет о движении слоя жидкости, бесконечной в направлении, перпецдикулярном к плоскости течения, толщины.
Каждая линия в таком плоском движении, проведенная в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендиьулярными к плоскости хОу. Контур обтекаемого тела представится некоторой ливией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание цилиндрического тела и т. д. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и др.
будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении оси 02. Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом случае задача сводится прежде всего к решению уравнения Лапласа, которое для плоского случая имеет вид". плоское везвиквввое движений а 47! в условий на бесконечности: де и= — =- В' сов 0 дх з о = — = В' вшб, дф ду (24) йгт 4г= — + — = О ди до дх ду (25) вытекает, что всегда можно найти функцию ф(х,у), тождественно удовлетворяющую уравнению (25) н связанную с проекциями скорости и в о равенствами: дф ду ' дх' (26) действительно, подстановка этих величин в уравнение (25) превращает его в тождество.
Функция ф(х, у) имеет простой гндродинамическнй смыаь В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий тока (формула (34) гл. Ц и подставим в него значения проекций скорости по (26), тогда будем иметь: йх йу дф7ду — дфг/дх вли — йх+ — йу = йф = О. д' дф дх ду гтз последнего равенства следует, что функция ф сохраняет "остоянное значение вдоль линии тока, иными словами, семейство линий уровня функции ф ф(.,у) =с представляет совокупность линий тока. Функция ф(х у) в связи с згям называется функггией тока. Нроведем в плоскости течения контур МоМ, (рис.
54) и вычислим с~~ундный об.ьемный расход я (отнесенный, конечно, к единице длины направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это — угол между вектором скорости Ч и осью Ох. такого рода задача представляет классическую задачу Неймана, решению ее посвящены многочисленные математические исследова„на, В настоащем кУРсе УдовольствУемса изложением одного, наиболее щного метода решения этой задачи — метода теории Функций комллексного леременного. Из уравнения неразрывности плосков ввзвихгввоз двнжвнив жидкости (гл ч сечение; будем иметь (и„, пв — направляющие косинусы нормали и к элементу Вв): ж, и, Ж, Д = ~ У'„йт = ~ (или+ оп„) Ьз= ~ (и Ь . пи + о дь ° и ) = ьб = 1''( йу — '.). Ф„ или по (26): Ю= ~ (~ чу+ д.
ех) = ~ йФ=Ф(Мь) Ф(Мо)=Ф1 Фо (зо) жн и, Следовательно, разность значений функции токи в двух каких- нибудь точках потока равна секундному обьелнолу расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной линилли тока, проходящими через выбранные точки. Напомним, что в плоском движении часть плоскости, ограниченная двумя линиями тока, например, проходящими через точки М„н М Рис.
54. на рнс. 54, представляет на самом деле трубку тока, образованную двумя цилиндрическими поверхностями. тока, имеющими в качестве направляющих линии тока в плоскости хОу, а образующих — перпендикуляры к этой плоскости, и двумя плоскостямн, параллельнымн координатной плоскости хбу и отстоящими друг от друга на расстоянии, равном единице длины.
плоское еезвнхяеяое движение и выражения (26) тех же проекций через функцию тока ф' будем иметь следующую систему соотношений: дх дуэ дг д) о= — = —— ду дх' (30) Функции ~7 и ф не являются независимыми друг от друга функциями, онн связаны дифференциальными соотношениями (30), обычно называемыми условиями Коши — Рамаяна, прн выполнении которых комплексная величина у о+й)=о(х, у)+ЕХ(х,у) (31) будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функцией одной комплексной переменной х=х+ду. Действительно, если величина )( есть функция только положения точки Л( с координатой в, то щюизводная от нее в этой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т.
е. координаты .е, и не зивисеть от направления дифференцирования в плоскости. Йными словами, можно, например, утверждать равенство производной по любому направлению — производным по направлениям действительной и мни- иХ вв Мой ОСЕЙ дХ дй дХ (32) д, д.» л (!У) ' Замечая, что: дй д (т+ гд) дт . д(' — +1 —, дх дх дх дх ' гх д(т+ Ч) дд 1 дт И (Иу) ду ду ду ' 15 з пня л.г.лв»иа у лошшся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую- небудь линию тока рассматривать как нулевую, полагая ф(х, у)=0, что можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26), ф,нкцня тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если принять такое условие, то можно сказать, что значение кон«нты в (27) на некоторой линии тока равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной втой линней тока и выбранной произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения проекций скорости через потенциал ско- ростей (5) предыдущего параграфа, которые в случае плоского дви- жения сводятся к системе двух равенств и= —, де дт дх' ду ' (29) плОскОе вззвихгввоз движение жидкости (гл. у н приравнивая, согласно равенству (32), друг другу правые час!в э!их равенств, получим ге же выражения условий Коши — Риманна (30) Отсюда сразу следует„что, отделяя в любой функции комплексного аргумента у(х) действительную (д. ч.) и мнимую (и. ч.) части, получим потенциал скоростей !г(х, у) и функцию тока ф(х,у) некоторого плоского безвихревого движения: Их у)=д.
ч. 7(е), ф(х,у)=м. ч. Х(е). Приравнивая функци!о о(х,у) различным постоянным значениям ф(х,у) = С, получим семейство изоаотенниальных линий (следов пересечения плоскости хбу цилиндрическими нзопотенцнальными поверхностями); аналогично совокупность равенств ф(х,у)= С, согласно (27), представит семейство линий тока. Легко убедиться, что изолотенциальные линии и линии тона езаилгно ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом.
Для этого достаточно вычислить скалярное произведение между ортами п и п' нормалей к рассматриваемым линиям в любой точке потока: йтад т йгад ф !йгаат~ ~йтадф! Вычисляя скалярное произведение градиентов и применяя соотношения Коши — Риманна (30), получим: дт дф дт дв де ! дт ! дт д втаб ч! ° ягаб ф = — — + — — = — / — — ~ + ° — 0 дх дх ду ду дх ~ ду) ау дх что н доказывает взаимную ортогональность нзопотенциальных линий и линий тока.
Совокупность равенств: ф=ср(х,у), ф =ф(х,у) люжно рассматривать как формулы перехода от декартовых координат х, у некоторой точки к криволинейным ее координатам ф и ф. При этом изопотенциальные линии !а=С и линии тока ф=С' иредсгавят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные координаты ф и ф, полученные путем отделения действительной и мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, буду~ всегда ортогональныли координатами. Установление взаимной связи между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским безвихревым движением и ортогональными криволинейными координатами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
